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0,y≥«
,这时取等号,则y为最小值«
0,y≤«
,这时取等号,则y为最大值«
有时自变量x定在某个区间内取值,求最大、最小值时,要用到临界点,一般用配方法方便.
2. 用上述两种方法,可推出如下两个定理:
定理一:
两个正数的和为定值时,当两数相等时,其积最大. 最大值是定值平方的四分之一.
例如:
两正数x和y, 如果x+y=10,那么xy的积有最大值,最大值是25.
定理二:
两个正数的积为定值时,当两数相等时,其和最小. 最小值是定值的算术平方根的2倍.
两正数x和y,如果xy=16,那么x+y有最小值,最小值是8.
证明定理一,可用配方法,也叫构造函数法.
设a>
0, b>
0, a+b=k. (k为定值).
那么ab=a(k-a)
=-a2+ka=-(a-«
k)2+«
当a=«
时,ab有最大值«
证明定理二,用判别式法,也叫构造方程法.
设a>
0, ab=k(k为定值),再设y=a+b.
那么y=a+«
a2-ya+k=0.(这是关于a的二次议程方程)
∵a为正实数,
∴△≥0.即(-y)2-4k≥0, y2-4k≥0.
∴y≤-2«
(不合题意舍去);
y≥2«
.
∴y最小值=2«
解方程组«
得a=b=«
∴当a=b=«
时,a+b有最小值2«
3. 在几何中,求最大、最小值还有下列定理:
定理三:
一条边和它的对角都有定值的三角形,其他两边的和有最大值. 当这两边相等时,其和的值最大.
定理四:
一条边和这边上的高都有定值的三角形,其他两边的和有最小值. 当这两边相等时,其和的值最小.
定理五:
周长相等的正多边形,边数较多的面积较大;
任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积.
乙例题
例1. 已知:
3x2+2y2=6x,x和y都是实数,
求:
x2+y2的最大、最小值.
解:
由已知y2=«
∵y是实数, ∴y2≥0.
即«
≥0, 6x-3x2≥0,x2-2x≤0.
解得 0≤x≤2.
这是在区间内求最大、最小值,一般用配方法,
x2+y2=x2+«
=-«
(x-3)2+«
在区间0≤x≤2中,当x=2时,x2+y2有最大值4.
∴当x=0时,x2+y2=0是最小值.
例2. 已知:
一个矩形周长的数值与它面积的数值相等.
这个矩形周长、面积的最小值.
用构造方程法.
设矩形的长,宽分别为a, b其周长、面积的数值为k.
那么2(a+b)=ab=k.
即 «
∴a和b是方程 x2-«
kx+k=0 的两个实数根.
∵a, b都是正实数,∴△≥0.
即(-«
)2-4k≥0.
解得k≥16;
或k≤0. k≤0不合题意舍去.
∴当k≥16取等号时,a+b, ab的值最小,最小值是16.
即这个矩形周长、面积的最小值是16.
例3. 如图△ABC的边BC=a,高AD=h,要剪下一个矩形EFGH,问EH取多少长时,矩形的面积最大?
最大面积是多少?
用构造函数法
设EH=x,S矩形=y,则GH=«
∵△AHG∽△ABC,
∴«
.
∴y=«
∴当x=«
时,y最大值=«
即当EH=«
时,矩形面积的最大值是«
例4. 如图已知:
直线m∥n,A,B,C都是定点,AB=a,AC=b,点P在AC上,BP的延长线交直线m于D.
问:
点P在什么位置时,S△PAB+S△PCD最小?
设∠BAC=α,PA=x,则PC=b-x.
∵m∥n,∴«
∴CD=«
S△PAB+S△PCD=«
axSinα+«
«
(b-x)Sinα
=«
aSinα(«
aSinα(2x+«
∵2x×
=2b2(定值), 根据定理二,2x+«
有最小值.
∴当2x=«
,x=«
时,
S△PAB+S△PCD的最小值是 («
-1)abSinα.
例5.已知:
Rt△ABC中,内切圆O的
半径r=1.
S△ABC的最小值.
∵S△ABC=«
ab ∴ab=2S△.
∵2r=a+b-c, ∴c=a+b-2r.
∴a+b-2r=«
.
两边平方,得 a2+b2+4r2+2ab-4(a+b)r=a2+b2. 4r2+2ab-4(a+b)r=0.
用r=1, ab=2S△代入, 得4+4S△-4(a+b)=0. a+b=S△+1.
∵ab=2S△ 且a+b=S△+1.
∴a, b是方程x2-(S△+1)x+2S△=0的两个根.
∵a,b是正实数,
∴△≥0,
即[-(S△+1)]2-4×
2S△≥0, S△2-6S△+1≥0.
解得 S△≥3+2«
或S△≤3-2«
. S△≤3-2«
不合题意舍去.
∴S△ABC的最小值是3+2«
例6.已知:
.如图△ABC中,AB=«
,∠C=30«
. 求:
a+b的最大值.
设a+b=y,则b=y-a.
根据余弦定理,得
(«
)2=a2+(y-a)2-2a(y-a)Cos30«
写成关于a的二次方程:
(2+«
)a2-(2+«
)ya+y2-(8+4«
)=0.
∵a是实数,
∴△≥0.
即(2+«
)2y2-4(2+«
)[y2-(8+4«
)]≥0,
y2-(8+4«
)2≤0.
∴ -(8+4«
)≤y≤(8+4«
).
∴a+b的最大值是8+4«
又解:
根据定理三 ∵AB和∠C都有定值.
∴当a=b时,a+b的值最大.
由余弦定理,(«
)2=a2+b2-2abCos30«
可求出 a=b=4+2«
. ………
丙练习64
1. x1,x2,x3,x4,x5满足.x1+x2+x3+x4+x5=.x1x2x3x4x5,那么.x5的最大值是______.
(1988年全国初中数学联赛题)
2. 若矩形周长是定值20cm,那么当长和宽分别为____,____时,其面积最大,最大面积是______.
3. 面积为100cm2的矩形周长的最大值是________.
4. a, b均为正数且a+b=ab,那么a+b的最小值是________.
5. 若x>
0, 则x+«
的最小值是________.
6.
如图直线上有A、B、C、D四个点.那么到A,B,C,D距离之和为最小值的点,位于_________,其和的最小值等于定线段___________..
(1987年全国初中数学联赛题)
7. 如右图△ABC中,AB=2,AC=3,Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ是
以AB,BC,CA为边的正方形,则阴影部份的面积
的和的最大值是____________.
(1988年全国初中数学联赛题)
8. 下列四个数中最大的是( )
(A)tan48«
+cot48«
..(B)sin48«
+cos48«
. (C)tan48«
.(D)cot48«
+sin48«
(1988年全国初中数学联赛题)
9.已知抛物线y=-x2+2x+8与横轴交于B,C两点,点D平分BC,若在横轴上侧的点A为抛物线上的动点,且∠BAC为锐角,则AD的取值范围是__________
(1986年全国初中数学联赛题)
10. 如图△ABC中,∠C=Rt∠,CA=CB=1,点P在AB上,
PQ⊥BC于Q.问当P在AB上什么位置时,S△APQ最大?
11. △ABC中,AB=AC=a,以BC为边向外作等边
三角形BDC,问当∠BAC取什么度数时AD最长?
12. 已知x2+2y2=1,x,y都是实数,求2x+5y2的最大值、最小值.
13. △ABC中∠B=«
,AC=1,求BA+BC的最大值及这时三角形的形状.
14. 直角三角形的面积有定值k,求它的内切圆半径的最大值.
15. D,E,F分别在△ABC的边BC、AC、AB上,若BD∶DC=CE∶EA=AF∶FA
=k∶(1-k)(0<
k<
1).问k取何值时,S△DEF的值最小?
16.△ABC中,BC=2,高AD=1,点P,E,F分别在边BC,AC,AB上,且四边形PEAF是平行四边形.问点P在BC的什么位置时,SPEAF的值最大?
答案:
1.5. 2.5,525. 3.40cm 4.4 5.6 6.BC上,BC+AD.
7.最大值是9,∵S△=«
×
3×
2×
SinBAC, ∠BAC=90度时值最大.
8. (A). 9.3<
AD≤9
10.P在AB中点时,S△最大值=«
, S△=«
x与«
-x的和有定值, 当x=«
-x时,S△值最大.
11. 当∠BAC=120度时,AD最大,在△ABD中,设∠BAD=α由正弦定理
,当150«
-α=90«
时, AD最大.
12. 当x=«
时,有最大值«
当x=-1时,有最小值-2(仿例3).
13. 当a=c时,a+c有最大值2,这时是等边三角形.
14.内切圆半径的最大值r=(«
-1)«
(仿例6).
15.当k=«
时,S△DEF=«
S△ABC,16.当PB=1时,S有最大值«
16.当点P是BC中点时,面积最大值是«
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