高中数学第七章75正态分布Word下载.docx
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(2)(多选)一次教学质量检测中,甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布密度曲线如图所示,下列说法中不正确的是( )
A.甲科总体的标准差最小
B.丙科总体的平均数最小
C.乙科总体的标准差及平均数都比甲小,比丙大
D.甲、乙、丙总体的平均数不相同
答案
(1)20 2
(2)BCD
解析
(1)从给出的正态曲线可知,该正态曲线关于直线x=20对称,最大值是
,所以μ=20,
=
,解得σ=
,因此总体的均值μ=20,方差σ2=(
)2=2.
(2)由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等,由正态分布密度曲线的性质,可知σ越大,正态曲线越“矮胖”,σ越小,正态曲线越“瘦高”,故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.
反思感悟 利用正态曲线的特点求参数μ,σ
(1)正态曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,由此特点结合图象求出μ.
(2)正态曲线在x=μ处达到峰值
,由此特点结合图象可求出σ.
跟踪训练1 (多选)下面给出的关于正态曲线的4个叙述中,正确的有( )
A.曲线在x轴上方,且与x轴不相交
B.当x>
μ时,曲线下降,当x<
μ时,曲线上升
C.当μ一定时,σ越小,总体分布越分散,σ越大,总体分布越集中
D.曲线关于直线x=μ对称,且当x=μ时,位于最高点
答案 ABD
解析 只有C错误,因为当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,总体分布越集中;
σ越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散.
二、利用正态分布求概率
例2 设ξ~N(1,22),试求:
(1)P(-1≤ξ≤3);
(2)P(3≤ξ≤5).
解 ∵ξ~N(1,22),∴μ=1,σ=2,
(1)P(-1≤ξ≤3)=P(1-2≤ξ≤1+2)
=P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.6827;
(2)∵P(3≤ξ≤5)=P(-3≤ξ≤-1),
∴P(3≤ξ≤5)=
[P(-3≤ξ≤5)-P(-1≤ξ≤3)]
[P(1-4≤ξ≤1+4)-P(1-2≤ξ≤1+2)]
[P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)-P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)]
≈
(0.9545-0.6827)=0.1359.
延伸探究
若本例条件不变,求P(ξ>
5).
解 P(ξ>
5)=P(ξ<
-3)=
[1-P(-3≤ξ≤5)]
[1-P(1-4≤ξ≤1+4)]
[1-P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)]
(1-0.9545)=0.02275.
反思感悟 利用正态分布的对称性求概率
由于正态曲线是关于直线x=μ对称的,且概率的和为1,故关于直线x=μ对称的区间上概率相等.
跟踪训练2 已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<
4)=0.8,则P(0<
ξ<
2)等于( )
A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2
答案 C
解析 ∵随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),
∴μ=2,对称轴是ξ=2.
∵P(ξ<
4)=0.8,∴P(ξ≥4)=P(ξ≤0)=0.2,
∴P(0<
4)=0.6,
2)=0.3.故选C.
三、正态分布的应用
例3 有一种精密零件,其尺寸X(单位:
mm)服从正态分布N(20,4).若这批零件共有5000个,试求:
(1)这批零件中尺寸在18~22mm间的零件所占的百分比;
(2)若规定尺寸在24~26mm间的零件不合格,则这批零件中不合格的零件大约有多少个?
解
(1)∵X~N(20,4),∴μ=20,σ=2,∴μ-σ=18,
μ+σ=22,
于是尺寸在18~22mm间的零件所占的百分比大约是68.27%.
(2)∵μ-3σ=14,μ+3σ=26,μ-2σ=16,μ+2σ=24,
∴尺寸在24~26mm间的零件所占的百分比大约是
=2.14%.
∴尺寸在24~26mm间的零件大约有5000×
2.14%=107(个).
反思感悟 求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法
(1)根据题目中给出的条件确定μ与σ的值.
(2)将待求问题向[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]这三个区间进行转化.
(3)利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果.
跟踪训练3 在某次大型考试中,某班同学的成绩服从正态分布N(80,52),现在已知该班同学中成绩在80~85分的有17人,该班成绩在90分以上的同学有多少人?
解 ∵成绩服从正态分布N(80,52),
∴μ=80,σ=5,则μ-σ=75,μ+σ=85.
∴成绩在[75,85]内的同学占全班同学的68.27%,成绩在[80,85]内的同学占全班同学的34.135%.
设该班有x名同学,则x×
34.135%=17,解得x≈50.
∵μ-2σ=80-10=70,μ+2σ=80+10=90,
∴成绩在[70,90]内的同学占全班同学的95.45%,成绩在90分以上的同学占全班同学的2.275%.
即有50×
2.275%≈1(人),即成绩在90分以上的仅有1人.
根据对称性求正态曲线在某个区间内取值的概率
典例 已知随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2),若P(ξ>
2)=0.023,则P(-2≤ξ≤2)等于( )
A.0.477B.0.954C.0.628D.0.977
答案 B
解析 画出正态曲线如图所示,结合图象知,P(-2≤ξ≤2)=1-P(ξ>
2)-P(ξ<
-2)=1-2×
0.023=0.954.
[素养提升] 借助图象较直观的分析出P(ξ>
2)与P(-2≤ξ≤2)概率的关系,提升了学生的直观想象素养.
1.设有一正态总体,它的正态曲线是函数f(x)的图象,且f(x)=
,则这个正态总体的均值与标准差分别是( )
A.10与8B.10与2
C.8与10D.2与10
解析 由正态密度函数的定义可知,总体的均值μ=10,方差σ2=4,即σ=2.
2.正态分布N(0,1)在区间(-2,-1)和(1,2)上取值的概率为P1,P2,则二者大小关系为( )
A.P1=P2B.P1<
P2C.P1>
P2D.不确定
答案 A
解析 根据正态曲线的特点,图象关于x=0对称,可得在区间(-2,-1)和(1,2)上取值的概率P1,P2相等.
3.已知某批零件的长度误差(单位:
毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )
(附:
若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈68.27%,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈95.45%)
A.4.56%B.13.59%
C.27.18%D.31.74%
解析 P(3<
6)=
[P(-6<
6)-P(-3<
3)]≈
(95.45%-68.27%)=13.59%.故选B.
4.设随机变量ξ服从正态分布N(2,9),若P(ξ>
c+1)=P(ξ<
c-1),则c=.
答案 2
解析 ∵ξ~N(2,9),
又P(ξ>
c-1),
∴
=2,∴c=2.
5.在某项测量中,测量结果X服从正态分布N(1,σ2)(σ>
0).若X在(0,1)内取值的概率为0.4,则X在(0,2)内取值的概率为.
答案 0.8
解析 如图,易得P(0<
X<
1)=P(1<
2),
故P(0<
2)=2P(0<
1)=2×
0.4=0.8.
1.知识清单:
(1)正态曲线及其特点.
(2)正态分布.
(3)正态分布的应用,3σ原则.
2.方法归纳:
转化化归、数形结合.
3.常见误区:
概率区间转化不等价.
1.关于正态分布N(μ,σ2),下列说法正确的是( )
A.随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件
B.随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件
C.随机变量落在[-3σ,3σ]之外是一个小概率事件
D.随机变量落在[μ-3σ,μ+3σ]之外是一个小概率事件
答案 D
解析 ∵P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973,∴P(X>
μ+3σ或X<
μ-3σ)=1-P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈1-0.9973=0.0027,∴随机变量落在[μ-3σ,μ+3σ]之外是一个小概率事件.
2.(多选)已知三个正态密度函数φi(x)=
(x∈R,i=1,2,3)的图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.σ1=σ2B.μ1>
μ2
C.μ1=μ2D.σ2<
σ3
答案 AD
解析 由图可知μ2=μ3>
μ1,σ1=σ2<
σ3,故AD正确.
3.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2)(σ>
0),P(ξ<
4)=0.84,则P(ξ≤0)等于( )
A.0.16B.0.32
C.0.68D.0.84
解析 ∵随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),∴μ=2,
4)=0.84,
∴P(ξ≥4)=1-0.84=0.16,
∴P(ξ≤0)=P(ξ≥4)=0.16.
4.若随机变量X服从正态分布,其正态曲线上的最高点的坐标是
,则该随机变量的方差等于( )
A.10B.100C.
D.
解析 由正态分布密度曲线上的最高点为
知
,∴D(X)=σ2=
5.如图所示是当σ取三个不同值σ1,σ2,σ3的三种正态曲线N(0,σ2)的图象,那么σ1,σ2,σ3的大小关系是( )
A.σ1>
1>
σ2>
σ3>
0B.0<
σ1<
σ2<
1<
C.σ1>
0D.0<
σ2=1<
解析 当μ=0,σ=1时,正态曲线f(x)=
在x=0处取最大值
,故σ2=1.由正态曲线的性质,当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,反之越“矮胖”.故选D.
6.已知随机变量X服从正态分布N(a,4),且P(X≤1)=0.5,则实数a的值为.
答案 1
解析 ∵X服从正态分布N(a,4),
∴正态曲线关于直线x=a对称,
又P(X≤1)=0.5,故a=1.
7.已知随机变量X~N(2,σ2),如图所示,若P(X<
a)=0.32,则P(a≤X≤4-a)=.
答案 0.36
解析 ∵随机变量X~N(2,σ2),∴μ=2,由正态分布图象的对称性可得曲线关于直线x=2对称,∴P(X>
4-a)=P(X<
a)=0.32,∴P(a≤X≤4-a)=1-P(X<
a)-P(X>
4-a)=1-2P(X<
a)=0.36.
8.已知X~N(4,σ2),且P(2<
6)≈0.6827,则σ=,P(|X-2|<
4)=.
答案 2 0.84
解析 ∵X~N(4,σ2),∴μ=4.
∵P(2<
6)≈0.6827,
∴σ=2.
∴P(|X-2|<
4)=P(-2<
6)
=P(-2<
2)+P(2<
[P(-2<
10)-P(2<
6)]+P(2<
P(-2<
10)+
P(2<
6)=0.84.
9.已知随机变量X~N(3,σ2),且P(2≤X≤4)=0.68,求P(X>
4)的值.
解 ∵随机变量X~N(3,σ2),
∴正态曲线关于直线x=3对称,
又P(2≤X≤4)=0.68,可得P(X>
4)=
×
[1-P(2≤X≤4)]=
(1-0.68)=0.16.
10.一投资者在两个投资方案中选择一个,这两个投资方案的利润X(万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(7,12),投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大,那么他应该选择哪一个方案?
解 对于第一个方案有X~N(8,32),其中μ=8,σ=3,P(X>
5)=
+P(5<
X≤11)=
≈0.84135;
对于第二个方案有X~N(7,12),其中μ=7,σ=1,
P(X>
≈0.97725,
显然第二个方案“利润超过5万元”的概率比较大,故他应该选择第二个方案.
11.在某市2020年3月份的高三线上质量检测考试中,学生的数学成绩服从正态分布N(98,100).已知参加本次考试的全市学生有9455人,如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分,那么他的数学成绩大约排在全市第( )
A.1500名B.1700名C.4500名D.8000名
解析 因为学生的数学成绩X服从正态分布N(98,100),所以P(X>
108)=
[1-P(88≤X≤108)]=
[1-P(μ-σ≤X≤μ+σ)]≈
(1-0.6827)=0.15865.所以0.15865×
9455≈1500.
12.一批电阻的电阻值X(单位:
Ω)服从正态分布N(1000,52),现从甲、乙两箱出厂的成品中各随机抽取一个电阻,测得电阻值分别为1011Ω和982Ω,可以认为( )
A.甲、乙两箱电阻均可出厂
B.甲、乙两箱电阻均不可出厂
C.甲箱电阻可出厂,乙箱电阻不可出厂
D.甲箱电阻不可出厂,乙箱电阻可出厂
解析 ∵X~N(1000,52),∴μ=1000,σ=5,
∴μ-3σ=1000-3×
5=985,
μ+3σ=1000+3×
5=1015.
∵1011∈(985,1015),982∉(985,1015),
∴甲箱电阻可出厂,乙箱电阻不可出厂.
13.某工厂生产一种螺栓,在正常情况下,螺栓的直径X(单位:
mm)服从正态分布X~N(100,1).现加工10个螺栓的尺寸(单位:
mm)如下:
101.7,100.3,99.6,102.4,98.2,103.2,101.1,98.8,100.4,100.0.X~N(μ,σ2),有P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997.根据行业标准,概率低于0.003视为小概率事件,工人随机将其中的8个交与质检员检验,则质检员认为设备需检修的概率为( )
A.
B.
C.
解析 10个螺栓的尺寸,只有103.2不在区间[97,103]内,∴工人随机将其中的8个交与质检员检验,质检员认为设备需检修的概率为
,故选B.
14.已知随机变量X~N(2,22),且aX+b(a>
0)服从标准正态分布N(0,1),则a=,b=.
答案
-1
解析 ∵随机变量X~N(2,22),
∴E(X)=2,D(X)=22=4.
∴E(aX+b)=aE(X)+b=2a+b=0,
D(aX+b)=a2D(X)=4a2=1,
又a>
0,∴a=
,b=-1.
15.(多选)设X~N(μ1,σ
),Y~N(μ2,σ
),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中错误的是( )
A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C.对任意正数t,P(X≤t)>
P(Y≤t)
D.对任意正数t,P(X>
t)>
P(Y>
t)
解析 由题图可知μ1<
0<
μ2,σ1<
σ2,
∴P(Y≥μ2)<
P(Y≥μ1),故A错;
P(X≤σ2)>
P(X≤σ1),故B错;
当t为任意正数时,由题图可知P(X≤t)>
P(Y≤t),
而P(X≤t)=1-P(X>
t),P(Y≤t)=1-P(Y>
t),
∴P(X>
t)<
t),故C正确,D错.
16.十九大以来,某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求,带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏,新农村建设取得巨大进步,农民年收入也逐年增加,为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划,该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图:
(1)根据频率分布直方图,估计50位农民的年平均收入
(单位:
千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示);
(2)由频率分布直方图,可以认为该贫困地区农民收入X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为年平均收入
,σ2近似为样本方差s2,经计算得s2=6.92,利用该正态分布,求:
①在扶贫攻坚工作中,若使该地区约有84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准,则最低年收入大约为多少千元?
②为了调研“精准扶贫,不落一人”的政策要求落实情况,扶贫办随机走访了1000位农民.若每位农民的年收入互相独立,记这1000位农民中的年收入高于12.14千元的人数为ξ,求E(ξ).
附参考数据:
≈2.63,
若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则
P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.
解
=12×
0.04+14×
0.12+16×
0.28+18×
0.36+20×
0.10+22×
0.06+24×
0.04=17.40(千元),
故估计50位农民的年平均收入
为17.40千元.
(2)由题意知X~N(17.40,6.92),
①P(X>
μ-σ)=0.5+
≈0.8414,
所以μ-σ=17.40-2.63=14.77时,满足题意,
即最低年收入大约为14.77千元.
②由P(X>
12.14)=P(X>
μ-2σ)=0.5+
≈0.9773,
每个农民的年收入高于12.14千元的事件的概率为0.9773,
则ξ~B(1000,p),其中p=0.9773,
所以E(ξ)=1000×
0.9773=977.3.
高考数学:
试卷答题攻略
一、“六先六后”,因人因卷制宜。
考生可依自己的解题习惯和基本功,选择执行“六先六后”的战术原则。
1.先易后难。
2.先熟后生。
3.先同后异。
先做同科同类型的题目。
4.先小后大。
先做信息量少、运算量小的题目,为解决大题赢得时间。
5.先点后面。
高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”,解答时不必一气审到底,应走一步解决一步,步步为营,由点到面。
6.先高后低。
即在考试的后半段时间,如估计两题都会做,则先做高分题;
估计两题都不易,则先就高分题实施“分段得分”。
二、一慢一快,相得益彰,规范书写,确保准确,力争对全。
审题要慢,解答要快。
在以快为上的前提下,要稳扎稳打,步步准确。
假如速度与准确不可兼得的话,就只好舍快求对了。
三、面对难题,以退求进,立足特殊,发散一般,讲究策略,争取得分。
对于一个较一般的问题,若一时不能取得一般思路,可以采取化一般为特殊,化抽象为具体。
对不能全面完成的题目有两种常用方法:
1.缺步解答。
将疑难的问题划分为一个个子问题或一系列的步骤,每进行一步就可得到一步的分数。
2.跳步解答。
若题目有两问,第一问做不上,可以第一问为“已知”,完成第二问。
四、执果索因,逆向思考,正难则反,回避结论的肯定与否定。
对一个问题正面思考受阻时,就逆推,直接证有困难就反证。
对探索性问题,不必追求结论的“是”与“否”、“有”与“无”,可以一开始,就综合所有条件,进行严格的推理与讨论,则步骤所至,结论自明。
理综求准求稳求规范
第一:
认真审题。
审题要仔细,关键字眼不可疏忽。
不要以为是“容易题”“陈题”就一眼带过,要注意“陈题”中可能有“新意”。
也不要一眼看上去认为是“新题、难题”就畏难而放弃,要知道“难题”也可能只难在一点,“新题”只新在一处。
第二:
先易后难。
试卷到手后,迅速浏览一遍所有试题,本着“先易后难”的原则,确定科学的答题顺序,尽量减少答题过程中的学科转换次数。
高考试题的组卷原则是同类题尽量按由易到难排列,建议大家由前向后顺序答题,遇难题千万不要纠缠。
第三:
选择题求稳定。
做选择题时要心态平和,速度不能太快。
生物、化学选择题只有一个选项,不要选多个答案;
对于没有把握的题,先确定该题所考查的内容,联想平时所学的知识和方法选择;
若还不能作出正确选择,也应猜测一个答案,不要空题。
物理题为不定项选择,在没有把握的情况下,确定一个答案后,就不要再猜其他答案,否则一个正确,一个错误,结果还是零分。
选择题做完后,建议大家立即涂卡,以免留下后患。
第四:
客观题求规范。
①用学科专业术语表达。
物理、化学和生物都有各自的学科语言,要用本学科的专业术语和规范的表达方式来组织答案,不能用自造的词语来组织答案。
②叙述过程中思路要清晰,逻辑关系要严密,表述要准确,努力达到言简意赅,切中要点和关键。
③既要规范书写又要做到文笔流畅,不写病句和错别字,特别是专业名词和概念。
④遇到难题,先放下,等做完容易的题后,再解
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- 高中数学 第七 75 正态分布
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