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例5指出z=ocosf+ibsiiu表示什么曲线?
=1椭圆。
22解•/z=x+yi,:
.x=acost,y=hsint,=>罕+厶cTb~
⑵曲线类型:
简单曲线z二z(J,te[a,b]:
z(/)wC[o,对且片iw(a,b)时,zCJhz&
z)。
又称为约当曲线。
若Z(a)=Z0),称为简单闭曲线,如图:
光滑曲线Z=z(t):
兀'
(/),yQ)ec[a,b]且兀;
2+”2丰0。
;
±
:
1°
.导数连续:
•・•%;
2+v;
2=0«
x;
=y;
=0n岂
2
光滑非光滑、按段光滑
2°
.切线连续变化,几何如图:
相接各节光滑的曲线称为按段光滑曲线。
⑶单连通域和多连通域
单连通域对任简单闭曲线CuD,总有/(C)oDo否则,称D为多连通域或复连通域。
注:
单连通域的几何特征:
无洞!
三、复变函数的极限与连续
1.极限概念及性质
定义4limjf(z)=A:
Vg>
0,»
>
O,O<
|z~zo<
^,|/(z)-A<
£
。
复函数极限定义本质和表述与一元实函数完全相同,但ZTZ。
的方式是任意的——同二元函数相同。
运算性质设lim/(z),limg(z)存在,贝【J
(1)lim[/(z)±
g(z)]=lim/(z)±
limg(z);
(2)lim/(z)・g(z)=lim/(z)•limg(z);
ZTSZ->
ZoZTS
“Jlim/他、
(3)lim牛=一心(、limg(z)H0o
f0g⑵limg(z八f丿
—%
定理1设f(z)=u+vi,A=w0+ivQ,z()=x0+iy{},则
lim/(z)=Aolimm(x,y)=w(plimv(x,)'
)=「()。
乙一>
5X->
X()XTX0
)fo
证明利用定义见教材。
2.连续概念及性质
定义5函数/(z)在点5处连续:
lim/(z)=/(s)。
若/(z)在区域D上处处连续,称/(z)在区域D上连续。
例6证明:
argz在原点及负实轴上不连续。
证明当z=0时,argz无定义,故不连续;
当zhO时,•••一;
rvargzS%,对负实轴上的点z=x<
0:
limarg^===^,而limarg^=^==o/.limargz不存在,故不连续;
ZTX若y>
0ZTX若)y0ZTX
综上讨论知,argz在原点及负实轴上不连续。
定理2函数f(z)=u+vi在点z0=x0+iyQ处连续ow(x,y),v(x,y)在点(无0,儿)处连续。
运算性质连续函数的和、差、积、商(分母不为零处)及复合函数仍为连续函数。
例7指出函数/(z)=ln(x2+y2)+z(x3-y)的连续区域。
解要使其实部与虚部连续,则需〉()0兀,),不同时为0。
从而,函数的连续域为z平面除z=0外的区域。
第二章解析函数
1解析函数的概念与充要条件
导数与微分
1•定义及运算
定义设zoeD(/),若lim/(5+“)-/(5)古则称/("
在点
A-->
0AztO
s处可导,其值称为/(z)在5处的导数,记为广(知)或也
Z=Zo
dz
/(z)在区域Q内可导o/C)在区域D内处处可导。
例1证明:
(丄'
丿
z2
证明
=lim
Azt()
/(z+Az)-/(z)_恤蛊zl=Hm-1_L
山t()Az&
t()z(z+Az)v
Az
-1
二丿
由导数的定义式,与一元函数完全相同,借鉴例1,可以证明,实函数的求导公式及其运算法则,如四则求导法则、复合求导法则、反函数求导法则等对于复变函数均成立。
例2设/(z)=(z?
+2z—l)'
+A,求广(z)。
z
解广(z)=5(Z?
+2z-1)4(3才+2)一丰=5(3/+2&
+2z-1)4-三。
zz
但是,Az^o或"
5+&
t5:
方向任意,方式无穷。
使得复函数多不可导。
例3讨论/(z)=Z的可导性
解•・•/(z)=Z=x-yi,
Ax+/Ay
1,沿实轴t=0),
-1,沿虚轴Tz(Ar=0)°
・lim于(z+△"
_/(?
)=Hm(兀+山)_心+0)_(兀-刃)Az->
()AyAattO
iAy->
Ax-zAy
=lim=
Ar+iAy
从而,/(z)=1处处不可导。
2.可导、可微与连续的关系性质可导必连续,但反之不然.
证明对Vz0,设厂(5)存在,则lim‘匕)=广(5),
AztO&
lima=0
>
o
/(5+Az)-/(勺)=广匕)+jiimQ=°
)
△znz->
o1
/(“+Az)-/(Zo)=广(5)"
+a△(*)
lim/(z0+Az)=/(z0),即f(z)在点5处连续。
&
t0
反之,如/(z)=z•・•lim/(z0+Az)=lim(x04-Ar)-i(y0+Ay)=x0-iyQ=zQt
Az->
0Ar->
Ay->
即/(z)=z处处连续,但由例3的讨论知道,/(z)=z处处不可导。
定义2设如=/("
在点5处可导,则由(*)式知
△w=广Co)Az+o(Az)
成立,称广(s)Az为/(z)在点5处的微分,记为dw=广(s)Az。
此时也称/(z)在5处可微。
由定义知道,可导o可微。
特别地,・・・dz=l・Az,・・・又记dw=/'
(zo)dz。
/⑺在区域D内可微o/("
在区域Q内处处可微。
3.可微或可导的充分必要条件
du
dvdu
dv
dx'
8y'
dy
dx
定理1函数f(z)=W+VI在点Zq=XO+iyQ处可微或可导ou{x.y\v(x,y)
在点(兀0,儿)可微且满足柯西——黎曼(C—R)方程:
FI
dxox
证明见教材。
特别注意在证明过程中,有结论厂(z)=8U,6V注:
1°
.判断弘,卩可微用其充分条件:
一阶偏导连续;
亠e加5vdudv亠
.C—R方程—=的记忆法:
dx8ydydx
例4讨论函数w=|才的可导性。
0,于是,
0,
22。
92
=对+厂二u=对+y,v=
Ux=2x,uy=2y;
vx=vy
易见,仅当x=y=0时,ux-Vytiy--vx且一阶偏导连续,
从而,函数在z=0处可导,除此之外,处处不可导。
例5
广G)。
证明函数f(z)=x2-y2-x+i(2xy-y)在复平面上处处可导,并求
u=x--x.v=2xy-y,
:
.ux=2x-l,uy=-2y;
vx=2y,vy=2x-l,显然,对Vx,y,恒有ux=v},wv=-Vv且一阶偏导连续,于是,函数/(z)在复平面上处处可导;
且广(z)=ux+ivx=2x-1+2iy=2z-1即为所求。
二、解析概念与运算性质
1.定义
定义3若/(z)在点5及其某邻域内处处可导,则称/G)在点勺处解析,否则称点5为/("
的奇点。
/(z)在区域Q内解析O/⑺在区域D内点点解析,此时称/(込)是区域D内的解析函数。
./(z)在点%处解析n/(z)在点细处可导,但反之不然;
./("
在区域D内解析o/G)在区域D内可导;
即解析是函数的区域性质。
3°
.解析函数必有解析点,可以有奇点。
如解析函数/(z)=丄有奇点z=0,但Z
是=w斗|等均非解析函数。
2.性质
例6研究函数/("
=二二Z的解析性。
'
丿z2-l
解・・・"
1时,处)=「:
2吿-2)=4:
严*],・兀)在除点U2-1;
U2-1;
ZH±
1外处处可导,即/(Z)在其定义域内可导或解析。
而Z=±
l是其两个奇点。
由例6及其解析的定义注2,易知,解析函数有运算性质:
解析函数的和、差、积、商(分母不为零)及复合函数仍为解析函数。
三、解析函数的充要条件与应用
由解析的定义注2及可导的充分必要条件知道:
定理2函数/(z)=u^vi在区域£
>内解析«
>u(x,y),v(x,y)在£
>内可微且满足柯西——黎曼(C-R)方程:
L学=_二。
dxdydydx
1•判断解析——正问题
例7判断下列函数的解析性:
(1)f(z)=x-iy2;
(2)f(z)=ex(cosy+isiny)
解
(1)vu=x.v=一)厂=>
ux=\,uv=0;
vx=0,vv=-2y,
当-2y=l,即y=~^时,满足C-R条件且一阶偏导连续,从而
f^=x-iy2在直线y=--±
处处可导,但由解析定义知,/(z)二兀-O’在2
复平面内处处不解析;
(2)•••u=excosy,v=exsiny,
ux=excosy,uv=-exsiny\vx=exsiny,vx=excosy,
.=vyuy=-vx且一阶偏导连续,于是,函数/(z)在复平面上处处解析。
并且广(z)=ex(cosy+isiny)=f(z)。
2.应用解析——反问题和逆问题
例8求常数a,b,使得函数/(^:
)=+ay+i(3x+by)在复平面内处处解析。
解•/w=x4-ay,v=3x+by=>
ux=1,uv=a;
vv=3°
),=b,
又•・•/(z)解析,.•.由C—R条件ux=vyuy=-v¥
知,b=l,a=-3即为所求。
例9若/(z)解析且arg/(z)=常数,证明:
证明设/(z)=w+V/,Varg/(^)=常数,
.—=tan(arg/(z))=k,即v=kuu
VA.=kux,vv=kuyo又•・•/(z)解析,/.Ux=vyuy=-vA.,从而,
vx=kvy-k2ux=-k2vx,即(1+Z:
2)i\=0=>
vv=0,于是,有iiv="
)‘=x=°
,f=wiv=常数。
3.重要结论
推论1若广(z)三0o/(z)三C(常数)。
证明“U”显然;
cii=dv八
—+i—=0,从而,——=—=0odxdxdxdx
再由C-R条件,¥
,¥
=£
知普占=0»
=“(』常dxdydyoxdxoy
0=^>
V=v(x,y)三常数,即f(z)=u+vi=C常数。
dxdy
推论2若/(z)解析,则/(z)可表示为复变量z的表达式。
证明•/w=f{z)=u(x,y)+/v(x,y)=w
z+Z
"
T~
z-z
~2T)
+iv
解析…矢于是,
dxdydyox
dy.(dvdxdv莎、
•—+l1—
Idxdz8ydz丿1(du
31fixdy)
duoxdu
—=1
dzdxdzdydz
1du1cu.(1dv
p/
2dx2idy
15v、
2dx2idy丿
1dudv
H
2\^dydx
“=>
”・・・%)»
+诡解析,・・.广
(2)dU,dV
从而,w=/(z)=w(z,Z)仅是z的函数。
推论3若函数/(z)=w+rv解析,且广(Z)HO,则曲线厶:
w(x,y)=G与曲线L2:
v(x,y)=C2互相正交。
证明由隐函数求导公式知,二曲线在交点处的切线斜率:
心=k2=y=^
uyvy〜w.v-v.v
•//(z)=u+iv/.ux=vy,uy=-vx,于是,k^k2=-i.
从而,曲线厶:
w(x,y)=G与曲线厶:
v(x,y)=C2互相正交。
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