三角形内交和定理教学设计Word文件下载.docx
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学习目标
(1)知识与技能:
掌握“三角形内角和定理”的证明过程,并能根据这个定理解决实际问题。
(2)过程与方法:
通过学生猜想动手实验,互相交流,师生合作等活动探索三角形内角和为180度,发展学生的推理能力和语言表达能力。
对比过去撕纸等探索过程,体会思维实验和符号化的理性作用。
逐渐由实验过渡到论证。
通过一题多解、一题多变等,初步体会思维的多向性,引导学生的个性化发展。
(3)情感态度与价值观:
通过猜想、推理等数学活动,感受数学活动充满着探索以及数学结论的确定性,提高学生的学习数学的兴趣。
使学生主动探索,敢于实验,勇于发现,合作交流。
教学重点:
三角形内角和定理的证明思路及应用。
教学难点:
三角形内角和定理的证明方法。
创设问题情境
你能回答本章情境导航中提出的问题吗?
1、提出问题
我们知道三角形的内角和等于180°
,即三角形三个内角和等于平角,你能用剪纸拼图的方法验证这个结论吗?
教师引导学生用准备好的三角形硬纸片剪纸拼图,如图,把∠A剪下放在∠1位置上,∠B剪下放在∠2位置上,较直观得到三角形内角和是180°
。
教师指出:
这只是实验得出的命题,不能当做定理,只有经过严格的几何证明,证明命题的正确性,才能作为几何定理,今后,在几何里,常采用这种方法得到新知识。
那么如何证明此命题是真命题呢?
能否用学过的旧知识来证明呢?
2、教师引导
要证三角形三个内角和是180°
,观察图形,三个角间没什么关系,能不能象前面那样,把这三个角拼在一起呢?
拼成什么样的角呢?
学生思考与180°
有关的角后回答,可拼成:
①平角,②两平行线间的同旁内角。
教师引导,要把三角形三个内角转化为上述两种角,就要在原图形上添加一些线,这些线叫做辅助线,在平面几何里,辅助线常画成虚线,添辅助线是解决问题的重要思想方法。
如何把三个角转化为平角或两平行线间的同旁内角呢?
下面同学们利用准备好的3三角形纸片拼一拼,画一画。
3、学生通过自主探究,可以得出以下几种辅助线的作法
(教师演示课件)
①
如图11-4,延长BC得到一平角∠BCD,然后以CA为一边,在△ABC的外部画∠1=∠A。
11-4
②
如图11-4,延长BC,过C作CE∥AB
③
如图11-5,过A作DE∥AB
11-5
④
如图11-6,在BC边上任取一点P,作PR∥AB,PQ∥AC。
11-6
⑤
如图11-7,在△ABC内部任取一点P,过P点作QR∥BC,MN∥AB。
ST∥AC。
11-7
⑥
如图11-8,在△ABC外部任取一点P,过P点作QR∥BC,MN∥AB。
11-8
学生可能还有其它画法。
“抓住根本”抓住“把三个角‘搬’到一起,让三个顶点重合、两条边形成一条直线,以便利用平角的定义”这一基本思想,可以把三个角集中到三角形的某一个顶点;
可以把三个角集中到三角形的某一边上;
可以把三个角集中到三角形的内部的一点;
可以把三个角集中到三角形的外部的一点。
学数学要善于抓住不变的根本,又要灵活地在变化中认识、处理和解决问题。
让学生学会“抓住根本”,而不在于有几种证明方法。
培养学生的推理与证明能力。
[师]好,下面同学们来证明一下:
三角形的内角和等于180°
这个真命题。
这是一个文字命题,证明时需要先干什么呢?
[生]需要先画出图形,根据命题的条件和结论,结合图形写出已知、求证。
[师]对,下面大家来证明,哪位同学能把证明过程叙述一下?
(学生边叙述证明过程,边观看课件上的分析和证明过程)
[生甲]已知,如图11-4,△ABC,
求证:
∠A+∠B+∠C=180°
证明:
作BC的延长线CD,过点C作射线CE∥AB。
则
∠ACE=∠A(两直线平行,内错角相等)
∠ECD=∠B(两直线平行,同位角相等)
∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°
(1平角=180°
)
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
(等量代换)
[师]同学们写得证明过程很好,在证明过程中,我们仅仅添画了射线CE、CD,使处于原三角形中不同位置的三个角,巧妙地拼凑到一起来了。
为了证明的需要,在原来的图形上添画的线叫做辅助线。
在平面几何里,辅助线通常画成虚线。
我们通过推理的过程,得证了命题:
是真命题,这时称它为定理。
即:
三角形的内角和定理:
你能用其他添加辅助线的方法,证明三角形内角和定理吗?
(找学生板演图11-5,11-6的证明过程。
从图11-4及三角形内角和定理,你还发现了什么?
由∠ACE=∠A,∠ECD=∠B,可知∠ACD=∠A+∠B,
所以∠ACD﹥∠A,∠ACD﹥∠B
挑战自我
1.求证:
直角三角形的两个锐角互余。
2.已知:
如图,四边形ABCD是一个任意四边形。
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=3600
4,回顾联系,形成结构(观看课件)
这堂课,我们证明了一个很有用的三角形内角和定理。
证明的基本思想是:
运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起,拼成一个平角。
辅助线是联系命题的条件和结论的桥梁,今后我们还要学习它。
我们还学习了两个推论。
还记得是什么吗?
5,作业
课本128页A组1,2题。
第11章《几何证明初步》单元教学设计
店子中学梁铭慧
教材分析
(一)教学内容
青岛版数学八年级下册第11章的主要内容定义与命题、为什么要证明、什么是几何证明、三角形内角和定理、几何证明举例、反证法。
(二)
教材所处的地位与作用
本章是在学习了角、平行线、平面图形的认识,轴对称和轴对称图形以及全等形与相似形等内容的基础上安排的。
在这之前学生已积累了一定的观察、实验、归纳、类比、猜测、交流表达的技能和合情推理的能力。
因此,学习平面图形性质的证明,体会证明的必要性,理解证明的基本过程,掌握演绎推理的基本格式,已势必然。
要判断一个数学结论是否正确,仅仅依靠经验、观察、实验、归纳、类比是不够的,必须一步一步、有理有据地进行推理,肯定结论正确。
推理的过程就是证明,它是根据数学事实,依据形式逻辑的原则,陈述判断有关数学命题真假的一种规范化的表达模式,也是一种数学说理方式。
学会用综合法证明对培养学生的推理能力、抽象能力、想象能力和创造能力有着重要的、不可取代的作用。
本章只是几何证明的初步,目的在于使学生掌握基本的证明格式,体会通过合情推理探索的某些结果,运用演绎推理加以证明,从而获取数学结论的过程。
这是继续学习平行四边形、圆以及高中数学知识的重要基础。
(三)单元教学目标
(1)理解定义、命题、真命题、假命题、定理的含义,会区分命题的条件和结论,奠定推理论证的基础。
(2)会根据公理:
同位角相等,两直线平行证明判定定理:
同旁内角互补,两直线平行和内错角相等,两直线平行,并能对上述公理、定理进行简单的运用。
(3)探索并掌握几何证明的条件,并能运用它们判别两个三角形是否全等。
(4)经历比较、证明等探究过程,提高分析、归纳、表达、逻辑推理等能力;
并通过对只是方法的总结,培养反思的习惯及缜密的数学思维能力。
(5)了解反证法的基本步骤,会用反证法证明简单的命题。
(四)本章教学重点、教学难点和关键
重点:
知道利用反例可以判断一个命题是错误的;
学会用综合法证明的格式,会利用全等三角形证明角平分线和线段垂直平分线的定理,以及等腰三角形和直角三角形的性质定理和判定定理。
难点:
区分命题的条件和结论,推理论证能力的培养,反证法。
关键:
一步一步地,循序渐进地、由由简到繁地引入推理证明,培养推理论证能力。
二学情分析
在几何证明初步这一章中,让学生通过观察、操作与类比,探索并掌握几何证明的方法与步骤。
理解定义、命题、真命题、假命题、定理的含义,特别是全等三角形的特征与性质以及识别方法。
让学生在以前的说理基础上,进一步学习一些主要的推理论证的方法,加强数学的理性训练。
引导学生认识证明的必要性,学会由定理、公理出发,证明有关的命题,解决一些简单的逻辑推理问题,使学生养成言必有据的正确思维习惯。
三、单元教学思路与策略
1、让学生通过观察、操作、探索来掌握几何证明的步骤和方法,引导学生认识证明的必要性。
2、教授教材内容时,教师应尽量提供大量的实例,并展开充分的交流,要求学生能在了解定义与命题的概念的基础上,能对简单的真命题、假命题做出判断,让学生自主讨论,主动参与、探索。
课堂教学一般由探索新知、引出概念等环节组成,但每个环节的时间安排不宜过多。
3、在教学中通过多种思考方法的交流,激发学生放入发散性思维,在交流中,发展学生的逻辑思维及表达能力,所以在课堂上要注意给学生留出自主的空间。
随后引入典型或精选的例题,让学生进一步感受到几何证明的原理性,例如在证明三角形三个内角的和等于180度时,要请学生思考不同的证明方法,越多越好,以此培养学生的创新精神。
4、在几何的证明教学中,要大量呈现例题,反复求证。
在教学中要注意把未知的问题转化为已知的条件,用学过的定理、公理来推导命题的正确性。
四、
课时分配
11.1定义与命题1课时
11.2为什么要证明1课时
11.3什么是几何证明2课时
11.4三角形内角和定理2课时
11.5几何证明举例4课时
11.6反证法1课时
回顾与总结2课时
共计13课时
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