应用多元统计分析习题解答因子分析Word文档下载推荐.docx
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但有时直接
根据特征根、特征向量求得的因子载荷阵难以看出公共因子的含义。
这种因子模型反而是不
利于突出主要矛盾和矛盾的主要方面的,也很难对因子的实际背景进行合理的解释。
这时需
要通过因子旋转的方法,使每个变量仅在一个公共因子上有较大的载荷,而在其余的公共因
子上的载荷比较小。
最大方差旋转法是一种正交旋转的方法,其基本思路为:
①
A
d2
Uij
i1
(dij2dj)2
***_d
其中令AAr(aij)pm,dijaij/hidj-
A的第j列元素平方的相对方差可定义为Vj—
②VViV2LVm
最大方差旋转法就是选择正交矩阵r,使得矩阵A所有m个列元素平方的相对方差之和达
到最大。
7.5试分析因子分析模型与线性回归模型的区别与联系。
而回归分析模型中多元线性回归方程模型为:
bpfcIb
,即各个特殊因子不相关,方差不要求相等。
正态性:
随机误差(即残差)e服从均值为0,方差为
x,残差e的条件方差为2,且为常数;
x的条件下,残差e的条件期望值为0(本假设又称零均值假设)
无自相关性:
各随机误差项e互不相关。
两种模型的联系在于都是线性的。
因子分析的过程就是一种线性变换。
XpSC
7.6设某客观现象可用X=()'
来描述,在因子分析时,从约相
关阵出发计算出特征值为=17541;
.-1%=025S.由于,所以找前两个特
征值所对应的公共因子即可,又知对应的正则化特征向量分别为(0.707,-0.316,0.632)
及(0,0.899,0.4470)'
要求:
(1)计算因子载荷矩阵A,并建立因子模型。
hf古11213
(2)计算共同度
(3)计算第一公因子对X的“贡献”。
解:
(1)根据题意,A=
I建立因子模型为
(3)因为是从约相关阵计算的特征值,所以公共因子对X的“贡献”为
77
76
64
70
55
3
67
63
49
65
57
4
80
69
75
74
5
84
81
6
78
62
71
7
66
52
8
72
86
9
83
100
79
41
50
10
94
97
51
11
88
73
12
53
58
56
13
14
61
15
96
89
16
17
90
68
60
18
19
85
20
21
91
22
87
23
82
24
25
95
59
26
27
98
47
28
29
54
30
解:
令数学成绩为Xl,物理为X2,化学为X3,语文为X4,历史为X5,英语为Xl,用SpSS分析学生成绩的因子构成的步骤如下:
1.在SPSS窗口中选择AnalyzeDataReductionFactor,调出因子分析主界面,并将
六个变量移入Variables框中。
yorbflblK;
7x1
$总
…;
!
iLir
QKJ||~EQJtej[Exa]|Caned
图7.1因子分析主界面
2.点击Descriptives按钮,展开相应对话框,见图7.2。
选择Initialsolution复选项。
这
个选项给出各因子的特征值、各因子特征值占总方差的百分比以及累计百分比。
单击
Continue按钮,返回主界面。
塞FactorAnal/sis;
r'
Gscripti\GS
Statistics
'
~~IdescFtJthesI*1Initialsolution
□CoefficiertsnsigniTicfln;
elevelsIIITriant
C6rrol34iortMatrix
Iri'
^erse
[reproduced
:
—ytiipiaje
□
KMOand3arJetrs怙stofsphsricit/
图7.3Extraction子对话框
4.点击Rotation按钮,择Display栏中的RotatedContinue按钮,返回主界面。
图7.2Descriptives子对话框
3.点击Extraction按钮,设置因子提取的选项,见图7.3。
在Method下拉列表中选择
因子提取的方法,SPSS提供了七种提取方法可供选择,一般选择默认选项,即“主成分法”。
在Analyze栏中指定用于提取因子的分析矩阵,分别为相关矩阵和协方差矩阵。
在Display
栏中指定与因子提取有关的输出项,如未旋转的因子载荷阵和因子的碎石图。
在Extract栏
中指定因子提取的数目,有两种设置方法:
一种是在Eigenvaluesover后的框中设置提取的
因子对应的特征值的范围,系统默认值为1,即要求提取那些特征值大于1的因子;
第二种
设置方法是直接在Numberoffactors后的矩形框中输入要求提取的公因子的数目。
这里我们
均选择系统默认选项,单击
设置因子旋转的方法。
这里选择Varimax(方差最大旋转),并选
solution复选框,在输出窗口中显示旋转后的因子载荷阵。
i_(a.jfiffkrflx(I^usrnax匚1OOfrSK
屮
rMethod
.11
JuVerimaKlj'
DriCtQtlHlf.
i-■
两尺阿tgJSQlutcnI—Lc«
frqfjew)
Masibmuntt*i!
<
i3ntfarCcrii/#fgi*-ic*;
25|
|ConccI]Hdp|
图7.4Rotation子对话框
5.点击Scores按钮,设置因子得分的选项。
选中Saveasvariables复选框,将因子得分
作为新变量保存在数据文件中。
选中Displayfactorscorecoefficientmatrix复选框,这样在
结果输出窗口中会给出因子得分系数矩阵。
单击Continue按钮返回主界面。
□主weasvariables
Mettiod
Regression
厂)Bailleft
GAnder^urhl^uLiiri
[gfesplayfactorscoreccefficientmatrix|
QontiniieH[Cancel_]:
Help
图7.5Scores子对话框
6.单击OK按钮,运行因子分析过程。
结果分析:
成份矩阵a
成份
1
x1
-.662
.503
x2
-.530
.478
x3
-.555
.605
x4
.900
.233
x5
.857
.357
从表7.1中可以看出,每个因子在不同原始变量上的载荷没有明显的差别,为了便于对因
子进行命名,需要对因子载荷阵进行旋转,得表7.2。
经过旋转后的载荷系数已经明显地两极分化了。
第一个公共因子在后三个指标上有较大载荷,说明这三个指标有较强的相关性,
可以归为一类,属于文科学习能力的指标;
第二个公共因子在前三个指标上有较大载荷,
表7.3因子得分系数矩阵
成ft}得分索数鼻直阵
.064
.439
.085
.400
.137
.484
X4
.332
-011
.370
.073
Z6
.432
.1E9
F2大的适合学理。
计算结果为学号是1、16、24的学生适合学文,其余均适合学理。
7.8某汽车组织欲根据一系列指标来预测汽车的销售情况,为了避免有些指标间的相关关系
影响预测结果,需首先进行因子分析来简化指标系统。
下表是抽查欧洲某汽车市场7个品牌
不同型号的汽车的各种指标数据,试用因子分析法找出其简化的指标系统。
品牌
价格
发动机
功率
轴距
宽
长
燃料
容量
效率
21500
1.8
140
101.2
67.3
172.4
2.639
13.2
28400
3.2
225
108.1
70.3
192.9
3.517
17.2
42000
3.5
210
114.6
71.4
196.6
3.850
18.0
B
23990
150
102.6
68.2
178.0
2.998
16.4
33950
2.8
200
108.7
76.1
192.0
3.561
18.5
62000
4.2
310
113.0
74.0
198.2
3.902
23.7
7.7。
令价格为X1,发动机为X2,功率为X3,轴距为X4,宽为X5,长为X6,轴距为X7,燃料容量为X8,燃料效率为X9,用SPSS找简化的指标系统的具体步骤同
此时在系统默认情况下提取因子,结果是只抽取了一个成分,从方差贡献来看,前三个
成分贡献了90.9%,因此重复因子分析过程,并在第三步Extraction子对话框中的Numberoffactors后的矩形框中输入3,即为要提取的公因子的数目。
因子分析结果如下:
表7.4旋转后的因子得分系数矩阵
成伯儈分系數3&
电阵
Xi
-.399
.対9
.342
a
-015
.575
”石3
y.3
-.060
.700
-.409
.305
-.344
.341
妬
.354
.1S5
-.3S3
xe
.599
-.100
-332
035
-.201
434
汨
-.138
QI
.651
071
.062
-.2J9
其简化了指标体系为F1、F2、
F3,从旋转后的因子得分系数矩阵得:
F1
0.399X1
0.015X2
0.060X3
0.305X4
0.354X5
0.599X6
0.036X7
0.186X8
0.071X9
F2
0.289X1
0.525X2
0.700X3
0.344X4
0.195X5
0.100X6
0.291X7
0.221X8
0.082X9
F3
0.342X1
0.278X2
0.409X3
0.241X4
0.338X5
0.332X6
0.494X7
0.651X8
0.239X9
7.9
根据人均
GDP、第三产业从业人员占全部从业人员的比重、
第三产业增加值占
GDP勺比
重、
人均铺装道路面积、万人拥有公共汽电车、万人拥有医生、百人拥有电话机数、万人拥有高等学校在校学生人数、人均居住面积、百人拥有公共图书馆藏书、人均绿地面积等十一项指标对目前我国省会城市和计划单列市的城市化进行因子分析,并利用因子得分对其进行
排序和评价。
(数据可从《中国统计年鉴》查获)
(略)7.10根据习题5.10中2003年我国省会城市和计划单列市的主要经济指标数据,利用因子分析法对其进行排序和分类,并与聚类分析的结果进行比较。
对其进行因子分析的步骤与7.7相同,结果如下:
表7.5特征根与方差解释分析表
鮮郵的整育差
成船
含计
B差的踊
累釈%
合i+1
H差的%
&
帖e
56.199
5G.1S9
5.053
56.139
3.072
44.13S
2.390
26.551
82J50
26551
02.750
3.475
30.612
e?
75D
.814
9.041
341
3.784
.345
^759
53.333
.100
1.100
99.441
.027
U9J44
020
.219
99.964
.003
03B
100.000
由表7.5可知,提取的两个因子方差贡献达到了82.75%。
表7.6旋转后的因子得分系数矩阵
感得分萦教捶阵
>
-0阳
.315
-.1DC
.3ie
167
-.103
-X97
工5
.2伯
017
248
-.022
玄7
-067
.202
oee
.169
i9
-.DOB
由上面的因子得分矩阵可知:
F10.093X10.100X20.167X30.258X4
F
深圳
382417.42
392989.93
385811.19
上海
157848.03
52892.05
124157.16
厦门
114461.78
107589.61
112255.81
广州
125604.86
49740.69
101252.46
杭州
94835.17
45211.64
78906.02
宁波
91203.35
43854.84
76004.48
北京
102885.84
17864.73
75594.07
南宁
天津
89055.66
32589.70
70930.09
海口
南京
82495.01
39893.01
68819.77
青岛
79248.60
22497.55
61031.51
大连
71586.92
27254.60
57356.24
济南
56561.73
25507.43
46593.30
成都
76035.96
-27268.81
42875.13
福州
51129.12
25240.89
42818.99
乌鲁木齐
50117.93
23629.54
41615.16
沈阳
52143.03
19031.14
41514.12
武汉
53771.95
15104.91
41359.83
长春
48409.60
21920.52
39906.60
太原
43732.74
15165.88
34562.78
郑州
41745.50
15185.84
33219.85
39732.42
17509.21
32598.77
昆明
41593.76
13263.93
32499.88
兰州
37263.61
21287.59
32135.31
长沙
42382.92
9666.19
31880.85
石家庄
40997.75
11439.53
31509.56
重庆
62656.07
-34641.39
31423.58
呼和浩特
36273.21
20652.68
31259.02
西安
37702.57
7531.88
28017.78
哈尔滨
35493.87
9735.24
27225.35
南昌
32831.80
14359.21
26902.10
合肥
32205.35
13387.12
26164.70
贵阳
34499.43
6397.94
25478.85
银川
28935.56
16943.87
25086.23
西宁
23503.44
9499.18
19008.08
25923.91
4138.99
18930.95
根据F的最终数值进行分类,由于没有给出具体的分类标准,分类具有一定的主观性,只要
合理即可。
聚类分析的结果见5.11,可将两者进行比较。
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- 应用 多元 统计分析 习题 解答 因子分析