直线和平面综合练习3.docx
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直线和平面综合练习3
第一章直线和平面综合练习(3)
【例题精选】
例1已知α∥β,AB、CD为夹在αβ间的异面线段,E、F分别为AB、CD的中点,求证:
EF∥α,EF∥β
分析一、要证线面平行,只要证明直线平等于平面中的一条直线即可,由中线,联想到构造三角形,然后利用三角形的中位线平行于底边的性质求证
证明一、连结AF并延于交β于G
∵AG∩CD=F
∴AG与CD确定平面γ
则rnα=ACrnβ=DG
∵α∥β
∴AC∥DC
∴
∵AF=FG
在ΔABG中
∵AE=BEAF=FG
∴EF∥BG
∵BGα且EFα
∴EF∥α
同理EF∥β
分析二、要证线面平面,只要找到过直线的一个平面与平面平行即可,问题转化为如何找过直线EF的平面与平面αβ平行。
过C点作AB的平行线交β于H,取CH的中点,平面EGF为所要找的平面,即利用中点的性质找平面。
然后证明还将有同EGF与αβ平行即可
证明:
过C作CH∥AB交β于H
取CH的中点G,
连结EG、GF、EF
∵CH∥AB
∴CH与AB确定一个平面γ
则rnα=ACrnβ=BH
∵α∥β
∴AC∥BH
∵AE=BE,CG=GH
∴EG∥BF
∴EG∥β
在ΔCHD中
∵CG=GH,CF=FD
∴GF∥HD
∴GF∥β
∵EG∩GF=G
∴平面EFG∥β
∵EF平EFG
∴EF∥β
同理EF∥α
评述:
①本题主要考查线面平行、面面平行的判定与性质
②证明线面平行的问题,可以通过线线平行或面面平行来证明,例如本例中法一选构造三角形,由三角形中位线的性质得到线线平行(即EF∥BG),从而得到线面平行(即EF∥β)。
法二构造平面EFG,然后通过中点的性质,证明线面平行(即EG∥β,FG∥β)从而得到面面平行,最终得到线面平行(即EF∥β)
③在证明平行的问题中,线线平行,线面平行,面面平行这三者之间可以相互转化,反复论证,直到证明出结论为止。
例2已知SA、SB、SC是共点于S的且不共面的三条射线,∠BSA=∠ASC=45°,∠BSC=60°,求二面角B-SA-C的大小
分析:
先作二面角B-SA-C的平面角,根据给定的条件,在棱S上取一点P,分别是在两个平面内作直线与棱垂直
解:
在SA上取一点P
过P作PR⊥SA交SC于R
过P作PQ⊥SA交SB于Q
∴∠QPR为二面角B-SA-C的平面角设PS=a
∵∠PSQ=45°,∠SPQ=90°
∴PQ=a,SQ=a
同理PR=a,SR=a
∵∠PSQ=60°,SR=SQ=a
∴ΔRSQ为正三角形则RQ=a
∵PR2+PQ2=2a2=QR2
∴∠QPQ=90°
∴二面角B-SA-C为90°
评述:
①本题主要考查二面角
②作二面角的常用方法有三种,其中一种是定义法,即指在二面角的棱上取一特殊点,直接依定义作出平面角,例如本例
例3如图平面S⊥平面ACB,ΔSAC是边长为4的等边三角形,ΔACB为直角三角形,∠ACB=90°,BC=,求二面角S-AB-C的余弦值。
分析:
先作出二面角的平面角。
由面面垂直可得线面垂直,作SD⊥平面ACB,然后利用三垂线定理作出二面角的平面角
解:
过S点作SD⊥AC于D,过D作DM⊥AB于M,连SM
∵平面SAC⊥平面ACB
∴SD⊥平面ACB
∴SM⊥AB
又∵DM⊥AB
∴∠DMS为二面角S-AB-C的平面角
在ΔSAC中SD=4×
在ΔACB中过C作CH⊥AB于H
∵AC=4,BC=
∴AB=
∵S=1/2AB·CH=1/2AC·BC
∴CH=
∵DM∥CH且AD=DC
∴DM=1/2CH=
∵SD⊥平面ACBDM平面ACB
∴SD⊥DM
在RTΔSDM中
SM=
=
=
∴cos∠DMS=
=
=
评述:
①本题主要考查二面角的作法和转化。
②用三垂线定理或其逆定理作二面角的平面角边是一种常用的方法。
一般过其中一个面的一特殊点作另一个平面的垂线,然后再用定理作二面角的平面角,如本例中,过平面SAB中的一点S作⊥平面ACB,要判断定出垂足的位置,然后过D作DM⊥AB,并且SM由三垂线定理得SM⊥AB,从而∠SMD为二面角的平面角,或过S作SM=AB,并连DM,由三垂线定理的逆定理得DM⊥AB,从而∠SMD为二面角的平面角,或过S作SM⊥AB,并连DM,由三垂线定理的逆定理得DM⊥AB,从而∠SMD为二面角的平面角
例4如图:
二面角α 分析: 从棱与平面角所在平面的位置关系入手,即棱与所在平面垂直,边就是说找到一个平面与棱垂直,这样平面角也就出来了 解: 过P作PA⊥α于A 过P作PB⊥β于B则PA=,PM=4PA、PB确定平面γ 设γnl=M,则αnγ=AMβnγ=BM ∵PA⊥αl∈α ∴PA⊥l 同理PB⊥l ∴l⊥γ则PM= ∵AM,BM ∴LAM,LBM ∴AMB为二面角α 连PM 在RTΔPAM中 sin∠AMP= ∴∠AMP=30° 在RTΔPMB中 sin∠PMB= ∴∠PMB=45° ∴∠AMB=∠AMP+∠BMP =45°+30° =75° ∴二面角α-l-β为75° 叙述: ①本题主要考查二面角 ②垂面法也是作二面角的平面角的一种常用方法。 一般过一个特殊点或一条特殊线段(该线段与棱是垂直的)作棱的垂面,这样平面角就能作出来了。 例5已知如图,P平面ABC,PA=PB=PC,∠APB=∠APC=60°,∠BPC=90°求证: 平面ABC⊥平面PBC 分析一: 要证明面面垂直,只要在其呈平面内找一条线,然后证明直线与另一平面垂直即可。 显然BC中点D,证明AD垂直平PBC即可 证明一、: 取BC中点D连结AD、PD ∵PA=PB;∠APB=60° ∴ΔPAB为正三角形 同理ΔPAC为正三角形 设PA=a 在RTΔBPC中,PB=PC=a BC=a ∴PD=a 在ΔABC中 AD= =a ∵AD2+PD2= =a2=AP2 ∴ΔAPD为直角三角形 即AD⊥DP 又∵AD⊥BC ∴AD⊥平面PBC ∴平面ABC⊥平面PBC 分析二、要证明面面垂直,只要在其中一平面内取一点,并过该点作另一平面的垂线,然后证明垂线在该平面。 本题过A点作AD⊥平面PBC,然后证明AD在平面ABC内即可 证明: 过A点作AD⊥平面PBC,连PD、BD、CD ∵PA=PB,∠APB=60° ∴ΔPAB为正三角形 同理ΔPAC为正三角形 ∴PA=AB=AC ∴AD⊥平面PBC ∴PD=BD=DC ∴D点为ΔPBC的外心 ∵ΔPBC为直角三角形且∠BPC=90° ∴D在直线BC上 ∵BC平面ABC A平面ABC ∴AD平面ABC ∴平面ABC⊥平面PBC 分析三: 要证明面面垂直,只要证明两平面所构成的二面角为直二面角即用定义证明 证明三: 取BC中点D,连AD、PD ∵PA=PB,∠APB=60° ∴ΔPAB为正三角形 同理ΔPAC为正三角形 ∵AC=AD,DB=DC ∴AD⊥BC 同理PD⊥BC ∴∠ADP为二面角A-BC-P的平面角 在RTΔBPC中,BD=DC ∴PD=BD 又∵AD=AD,AP=AB ∴∠ADP=∠ADB=90° ∴二面角A-BC-P为90° 即平面AB⊥平面PBC 评述: ①本题主要考查面面垂直的判定 ②证明面面垂直常用的两种方法: ⑴利用判定定理,在一个平面内找到一条垂直于另外一个平面的垂线,法一中,是在平面中找出一条特殊的线段,然后证明该线段垂直于另外一个平面,法二中过其中一个平面上一点作另外一个平面的垂线,然后证明该垂线在平面内。 ⑵利用定义 例6如图正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角,求异面直线AD与BF所成角的余弦值。 分析: ①由于AD∥BC,所以把AD与BF所成角转化为∠FBC,②把∠FBC放到ΔFBC中求解,显然要找FC与BC、BF的关系③把FC转化到ΔFDC中求解 解: 连结FC、FD,设AB=a ∵AD⊥ABAF⊥AB ∴∠DAF为二面角D-AB-F的平面角 ∴∠DAF=60° ∵AD=AF=a ∴ΔADF为正三角表则DF=a ∵CD∥AB,AB⊥面ADF ∴CD⊥面ADF ∴CD⊥DF 在RTΔFDC中 FC= = 在ΔFCB中,BC=a,BF= ∴cos∠FBC= = 评述: ①本题主要考查异面直线所成角和二面角 ②题目中有线线角,线面角,面面角时,应先把它们作出来,然后放到三角形中,充分利用三角形中边角的关系解决问题。 例7正方形ABCD中,以对角线BD为折线,把ΔABD折起,使二面角Aˊ-BD-C为60°,求二面角B-AˊC-D的余弦值 分析: 要求二面角B-AˊC-D的余弦值,先作出二面角的平面角,抓住图形中AˊB=BC,AˊD=DC的关系,采用定义法作出平面角∠BED(E为AC的中点)然后利用余弦定理求解 解: 连BD、AC交于O点 则AˊO⊥BD,CO⊥BD ∴∠AˊOC为二面角Aˊ-BD-C的平面角 ∴∠AˊOC=60° 设正方形ABCD的边长为a ∵A′O=OC=1/2AC= ∠A′OC=60° ∴ΔA′OC为正三角形则A′C= 取A′C的中点,连DE、BE ∵A′B=BC ∴BE⊥A′C 同理DE⊥A′C ∴∠DEB为二面角B-A′C-D的平面角在ΔBA′C中 BE= 同理DE= 在ΔBED中,BD= ∴cos∠BED= = =-- ∴二面角B-A′C-D的余弦值为- 评述: ①本题主要考查二面角的求法 ②本题也是一个“折叠问题”,在解题过程中要分析清楚折叠前后的不变量和变量(主要指线段长度和角度。 一般情况下,折痕两边图形中的“对应”的量通常是变化的。 例如本例中ΔABD折到ΔA′BD时,A′O与BD的垂直关系没有变,但ΔA′BD中的A′点与ΔBDC中的C点之间的距离发生了变化。 例8如图在二面角α-β-γ中,A、B∈α,C、D∈l,ABCD为矩形,P∈β,PA⊥α,且PA=AD,MN依次是AB、PC的中点 ⑴求二面角α-β-γ的大小 ⑵求证明: MN⊥AB ⑶求异面直线PA与MN所成角的大小 分析⑴用垂线法作二面角的平面角 ⑵只要证明AB垂直于过MN的一个平面即可 ⑶过点A作MN的平行线,转化为平面角求解 解: ⑴连PD ∵PA⊥α,AD⊥l ∴PD⊥l ∴∠PDA为二面角α-β-γ的平面角 在RTΔPAD中 ∵PA=PD ∴∠PDA=45° ∴二面角α-β-γ为45° ⑵设E是DC的中点,连ME、NE ∵M、N、E分别为AB、PC、D的中点 ∴ME∥AD,NE∥PD ∴ME⊥l,NE⊥l ∴l⊥平面MEN ∵AB∥l ∴AB⊥平面MEN ∵MN平面MNE ∴MNAB ⑶设Q是DP听中点,连NQ、AQ 则NQ∥DC,且NQ=1/2DC ∵AM∥DC,且AM=1/2AB=1/2DC ∴QN∥AM,QN=AM ∴QNMQ为平行四边形 ∴AQ∥MN ∴∠PAQ为PA与MN所成的角 ∵ΔPAQ为等腰直角三角形,AQ为斜边上的中线 ∴∠PAQ=45° 即PA与MN所成角的大小为45° 评述: ①本题综合考查线线角、二面角和线面垂直 ②在综合题中,要把涉及到的各种角、距离在图片正确的表示出来,然后再从三角形的边角关系出发求解 例9如图平面AC和BD交
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