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三角形三边关系定理及推论
教学难点:
三角形按边分类及利用三角形三边关系解题
教学用具:
直尺、微机
教学方法:
谈话、探究式
教学过程:
1、阅读新课,回答问题
先让学生阅读教材的第一部分,然后回答下列问题:
(1)这一部分教材中的数学概念有哪些?
(指出来并给予解释)
(2)等腰三角形与等边三角形有什么关系?
估计有的学生可能把等腰三角形和等边三角形看成独立的两类.
(3)写出三角形按边的相等关系分类的情况.
教师最后板书给出.
(要求学生之间可互相补充,从一开始就鼓励双边交流与多边交流)
2、发现并推导出三边关系定理
问题1:
用长度为4cm、 10cm 、16cm的线绳(课前准备好的)能否搭建一个三角形?
(让学生动手操作)
问题2:
你能解释上述结果的原因吗?
问题3:
任何三条线段都能组成一个三角形吗?
满足什么条件时,三条线段可组成一个三角形?
定理:
三角形两边的和大于第三边
(发现过程采用小步子原则,让学生在不知不觉中发现数学中的真理)
3、导出三边关系定理的推论及其它两种方法
由前面得到了判断所给三条线段能否组成三角形的一个依据.那么是否还有其它方法呢?
请同学们在定理的基础上来找:
估计学生很容易得到推论,让学生用自己的语言叙述,教师稍加整理后给出规范叙述.
推论:
三角形两边的差小于第三边
(给每一个学生表现个人数学语言表达才能的机会)
能否简化上面定理及推论?
从而得到如下两种判定方法:
(1)、已知线段,(),若第三条线段c满足-c则线段,,c可组成一个三角形.
4、三角形三边关系定理及推论的应用
例1 判断题:
(出示投影)
(1)等边三角形是等腰三角形
(2)三角形可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形
(3)已知三线段满足,那么为边可构成三角形
(4)等腰三角形的腰比底长
(本例主要考察学生对概念、定理及推论的理解程度,不要求做在本上,只需口答即可)
(本例要求学生说出解题思路,教师点到为止)
例3 一个等腰三角形的周长为18.
(1)已知腰长是底边长的2倍,求各边长.
(2)其中一边长4,求其他两边长.
这是一道有课堂练习性质的例题,允许学生有3分钟左右的独立思考,允许想出来的同学表达自己的想法,其它同学补充完善.
(数学教师的课堂教学应该是敢于放手,尽可能多地给学生创造展示自己的思维空间和时间)
例4草原上有4口油井,位于四边形ABCD的4个顶点,
如图1现在要建一个维修站H,试问H建在何处,
才能使它到4口油井的距离HA+HB+HC+HD为最小,
说明理由.
本例有一定的难度,给出的方法是解决此类型问题常见的极为简捷的方法,略微构造就可以使用三角形三边关系定理得出答案.
5、小结
本节课我们学习了三角形三边关系的定理和推论,还知道了定理和推论的一系列灵活运用:
(1)判断三条已知线段能否组成三角形
采用一种较为简便的判法:
若最短边与较长边的和大于最长边,则可构成三角形,否则不能.
(2)确定三角形第三边的取值范围
两边之差<第三边<两边之和
若时间宽裕,让学生经讨论后自由表述,其他同学补充,自己将知识系统化,以自己的方式进行建构.
6、布置作业
a.书面作业P41#8、9
b.思考题:
1、在四边形ABCD中,AC与BD相交于P,求证:
(AB+BC+CD+AD)<AC+BD<AB+BC+CD+AD
2、用15根等长的火柴棒摆成的三角形中,最长边最多可以由几根火柴棒组成?
(提示:
由上面方法2,a+b+c>
2a又a+b+c 板书设计:
重点与难点分析:
本节内容的重点是等腰三角形的判定定理.本定理是证明两条线段相等的重要定理,它是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据,此定理为证明线段相等提供了又一种方法,这是本节的重点.推论1、2提供证明等边三角形的方法,推论3是直角三角形的一条重要性质,在直角三角形中找边和角的等量关系经常用到此推论.
本节内容的难点是性质与判定的区别。
等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理,题设与结论正好相反.学生在应用它们的时候,经常混淆,帮助学生认识判定与性质的区别,这是本节的难点.另外本节的文字叙述题也是难点之一,和上节结合让学生逐步掌握解题的思路方法.由于知识点的增加,题目的复杂程度也提高,一定要学生真正理解定理和推论,才能在解题时从条件得到用哪个定理及如何用.
教法建议:
本节课教学方法主要是“以学生为主体的讨论探索法”。
在数学教学中要避免过多告诉学生现成结论。
提倡教师鼓励学生讨论解决问题的方法,引导他们探索数学的内在规律。
具体说明如下:
(1)参与探索发现,领略知识形成过程
学生学习过互逆命题和互逆定理的概念,首先提出问题:
等腰三角形性质定理的逆命题的什么?
找一名学生口述完了,接下来问:
此命题是否为真命?
等同学们证明完了,找一名学生代表发言.最后找一名学生用文字口述定理的内容。
这样很自然就得到了等腰三角形的判定定理.这样让学生亲自动手实践,积极参与发现,满打满算了学生的认识冲突,使学生克服思维和探求的惰性,获得锻炼机会,对定理的产生过程,真正做到心领神会。
(2)采用“类比”的学习方法,获取知识。
由性质定理的学习,我们得到了几个推论,自然想到:
根据等腰三角形的判定定理,我们能得到哪些特殊的结论或者说哪些推论呢?
这里先让学生发表意见,然后大家共同分析讨论,把一些有价值的、甚至就是教材中的推论板书出来。
如果学生提到的不完整,教师可以做适当的点拨引导。
(3)总结,形成知识结构
为了使学生对本节课有一个完整的认识,便于今后的应用,教师提出如下问题,让学生思考回答:
(1)怎样判定一个三角形是等腰三角形?
有哪些定理依据?
(2)怎样判定一个三角形是等边三角形?
一.教学目标:
1.使学生掌握等腰三角形的判定定理及其推论;
2.掌握等腰三角形判定定理的运用;
3.通过例题的学习,提高学生的逻辑思维能力及分析问题解决问题的能力;
4.通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受;
5.通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征.
二.教学重点:
等腰三角形的判定定理
三.教学难点:
性质与判定的区别
四.教学用具:
直尺,微机
五.教学方法:
以学生为主体的讨论探索法
六.教学过程():
1、新课背景知识复习
(1)请同学们说出互逆命题和互逆定理的概念
估计学生能用自己的语言说出,这里重点复习怎样分清题设和结论。
(2)等腰三角形的性质定理的内容是什么?
并检验它的逆命题是否为真命题?
启发学生用自己的语言叙述上述结论,教师稍加整理后给出规范叙述:
1.等腰三角形的判定定理:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.
(简称“等角对等边”).
由学生说出已知、求证,使学生进一步熟悉文字转化为数学语言的方法.
已知:
如图,△ABC中,∠B=∠C.
求证:
AB=AC.
教师可引导学生分析:
联想证有关线段相等的知识知道,先需构成以AB、AC为对应边的全等三角形.因为已知∠B=∠C,没有对应相等边,所以需添辅助线为两个三角形的公共边,因此辅助线应从A点引起.再让学生回想等腰三角形中常添的辅助线,学生可找出作∠BAC的平分线AD或作BC边上的高AD等证三角形全等的不同方法,从而推出AB=AC.
注意:
(1)要弄清判定定理的条件和结论,不要与性质定理混淆.
(2)不能说“一个三角形两底角相等,那么两腰边相等”,因为还未判定它是一个等腰三角形.
(3)判定定理得到的结论是三角形是等腰三角形,性质定理是已知三角形是等腰三角形,得到边边和角角关系.
2.推论1:
三个角都相等的三角形是等边三角形.
推论2:
有一个角等于60°
的等腰三角形是等边三角形.
要让学生自己推证这两条推论.
小结:
证明三角形是等腰三角形的方法:
①等腰三角形定义;
②等腰三角形判定定理.
证明三角形是等边三角形的方法:
①等边三角形定义;
②推论1;
③推论2.
3.应用举例
例1.求证:
如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形.
分析:
让学生画图,写出已知求证,启发学生遇到已知中有外角时,常常考虑应用外角的两个特性①它与相邻的内角互补;
②它等于与它不相邻的两个内角的和.要证AB=AC,可先证明∠B=∠C,因为已知∠1=∠2,所以可以设法找出∠B、∠C与∠1、∠2的关系.
∠CAE是△ABC的外角,∠1=∠2,AD∥BC.
证明:
(略)由学生板演即可.
补充例题:
(投影展示)
1.已知:
如图,AB=AD,∠B=∠D.
CB=CD.
分析:
解具体问题时要突出边角转换环节,要证CB=CD,需构造一个以CB、CD为腰的等腰三角形,连结BD,需证∠CBD=∠CDB,但已知∠B=∠D,由AB=AD可证∠ABD=∠ADB,从而证得∠CDB=∠CBD,推出CB=CD.
连结BD,在中,(已知)
(等边对等角)
(已知)
即
(等教对等边)
求线段相等一般在三角形中求解,添加适当的辅助线构造三角形,找出边角关系.
2.已知,在中,的平分线与的外角平分线交于D,过D作DE//BC交AC与F,交AB于E,求证:
EF=BE-CF.
对于三个线段间关系,尽量转化为等量关系,由于本题有两个角平分线和平行线,可以通过角找边的关系,BE=DE,DF=CF即可证明结论.
DE//BC(已知)
,
BE=DE,同理DF=CF.
EF=DE-DF
EF=BE-CF
(1)等腰三角形判定定理及推论.
(2)等腰三角形和等边三角形的证法.
七.练习
教材P.75中1、2、3.
八.作业
教材P.83中1.1)、2)、3);
2、3、4、5.
11.10
列一元二次方程解应用题
一、
教学目标
1、能分析应用题中的数量关系,并找出等量关系.
2、能用列一元二次方程的方法解应用题.
3、培养学生化实际问题为数学问题的能力及分析问题、解决问题的能力.
二、
教学重难点
教学重点:
能分析应用题中的数量间的关系,列出一元二次方程解应用题.
教学难点:
例2涉及比例、平均增长率与多年的增长量之间的关系.
三、
教学过程
(一)引入新课
设问:
已知一个数是另一个数的2倍少3,它们的积是135,求这两个数.
(由学生自己设未知数,列出方程).
问:
所列方程是几元几次方程?
由此引出课题.
(二)新课教学
1、对于上述问题,设其中一个数为x,则另一个数是2x-3,根据题意列出方程:
135,整理得:
这是一个关于x的一元二次方程.下面先复习一下列一元一次方程解应用题的一般步骤:
(1)
分析题意,找出等量关系,分析题中的数量及其关系,用字母表示问题里的未知数;
(2)
用字母的一次式表示有关的量;
(3)
根据等量关系列出方程;
(4)
解方程,求出未知数的值;
(5)
检查求得的值是否正确和符合实际情形,并写出答案.
列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤一样,只不过所列的方程是一元二次方程而非一元一次方程而已.
2、例题讲解
例1
在长方形钢片上冲去一个小长方形,制成一个四周宽相等的长方形框(如图11—1).已知长方形钢片的长为30cm,宽为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm,求这个长方形框的框边宽.
分析:
(1)复习有关面积公式:
矩形;
正方形;
梯形;
三角形;
圆.
(2)全面积=原面积–截去的面积
30
(3)设矩形框的框边宽为xcm,那么被冲去的矩形的长为(30—2x)cm,宽为(20-2x)cm,根据题意,得.
注意:
方程的解要符合应用题的实际意义,不符合的应舍去.
例2
某城市按该市的“九五”国民经济发展规划要求,1997年的社会总产值要比1995年增长21%,求平均每年增长的百分率.
分析:
(1)什么是增长率?
增长率是增长数与原来的基数的百分比,可用下列公式表示:
增长率=
何谓平均每年增长率?
平均每年增长率是在假定每年增长的百分数相同的前提下所求出的每年增长的百分数.(并不是每年增长率的平均数)
有关增长率的基本等量关系有:
①增长后的量=原来的量(1+增长率),
减少后的量=原来的量(1--减少率),
②连续n次以相同的增长率增长后的量=原来的量(1+增长率);
连续n次以相同的减少率减少后的量=原来的量(1+减少率).
(2)本例中如果设平均每年增长的百分率为x,1995年的社会总产值为1,那么
1996年的社会总产值=
;
1997年的社会总产值=
=
.
根据已知,1997年的社会总产值=
于是就可以列出方程:
3、巩固练习
p.152练习及想一想
补充:
将进货单价为40元的商品按50元售出时,就能卖出500个,已知这种商品每个涨价1元,其销售量就减少10个,问为了赚得8000元的利润,售价应定
为多少?
这时应进货多少?
(三)课堂小结
善于将实际问题转化为数学问题,要深刻理解题意中的已知条件,严格审题,注意解方程中的巧算和方程两根的取舍问题.
(第2课时)
一、教学目标
1.掌握相似三角形的性质定理2、3.
2.学生掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理2、3来解决问题.
3.进一步培养学生类比的教学思想.
4.通过相似性质的学习,感受图形和语言的和谐美
二、教法引导
先学后教,达标导学
三、重点及难点
1.教学重点:
是性质定理的应用.
2.教学难点:
是相似三角形的判定与性质等有关知识的综合运用.
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪、胶片、常用画图工具.
六、教学步骤
[复习提问]
叙述相似三角形的性质定理1.
[讲解新课]
让学生类比“全等三角形的周长相等”,得出性质定理2.
性质定理2:
相似三角形周长的比等于相似比.
∽,
同样,让学生类比“全等三角形的面积相等”,得出命题.
“相似三角形面积的比等于相似比”教师对学生作出的这种判断暂时不作否定,待证明后再强调是“相似比的平方”,以加深学生的印象.
性质定理3:
相似三角形面积的比,等于相似比的平方.
注:
(1)在应用性质定理3时要注意由相似比求面积比要平方,这一点学生容易掌握,但反过来,由面积比求相似比要开方,学生往往掌握不好,教学时可增加一些这方面的练习.
(2)在掌握相似三角形性质时,一定要注意相似前提,如:
两个三角形周长比是,它们的面积之经不一定是,因为没有明确指出这两个三角形是否相似,以此教育学生要认真审题.
例1
已知如图,∽,它们的周长分别是60cm和72cm,且AB=15cm,,求BC、AB、、.
此题学生一般不会感到有困难.
例2
有同一三角形地块的甲、乙两地图,比例尺分别为1:
200和1:
500,求甲地图与乙地图的相似比和面积比.
教材上的解法是用语言叙述的,学生不易掌握,教师可提供另外一种解法.
解:
设原地块为,地块在甲图上为,在乙图上为.
∽∽
且,.
.
学生在运用掌握了计算时,容易出现的错误,为了纠正或防止这类错误,教师在课堂上可举例说明,如:
,而
[小结]
1.本节学习了相似三角形的性质定理2和定理3.
2.重点学习了两个性质定理的应用及注意的问题.
七、布置作业
教材P247中A组4、5、7.
八、板书设计
- 配套讲稿:
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