初中数学竞赛专题辅导代数式的求值Word格式.docx
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例2已知a,b,c为实数,且满足下式:
a2+b2+c2=1,①
rin
(in
fl1]
=P②
a
—+*
一*一
ibcj
卫bj
求a+b+c的值.
解将②式因式分解变形如下
riiin
r111r
—+—+———1+
———+c
=
Lbcaa/
Lcabbj
abcCj
即
11
所以(注厶孑厶***;
)三©
be+ac+ab
(a+b+c)0.
abc
所以
a+b+c=0或bc+ac+ab=O.
若bc+ac+ab=0,贝U
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)
=a2+b2+c2=1,
所以a+b+c=±
1.所以a+b+c的值为0,1,-1.
说明本题也可以用如下方法对②式变形:
ab+Qa+bg爲+b+
十十
abc
fl11)
前一解法是加一项,再减去一项;
这个解法是将3拆成1+1+1,最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的形式.
2•利用乘法公式求值
例3已知x+y=mx3+y3=n,0,求x2+y2的值.
解因为x+y=m所以
m=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m•xy,
洌1^厂「J』二求xW+y2的值.
分析将x,y的值直接代入计算较繁,观察发现,已知中x,y的值正好是一对共轭无理数,所以很容易计算出x+y与xy的值,由此得到以下解法.
解x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy
=(x+y)2+4xy
=(J5)3+4X1=5+2=1.
3•设参数法与换元法求值
如果代数式字母较多,式子较繁,为了使求值简便,有时可增设一些参数(也叫辅助未知数),以便沟通数量关系,这叫作设参数法.有时也可把代数式中某一部分式子,用另外的一个字母来替换,这叫换元法.
例5Z,求超的值.
a-bo-cc-a
分析本题的已知条件是以连比形式出现,可引入参数k,用它表示连
比的比值,以便把它们分割成几个等式.
解设=—=心
a-qb-cc-a
x=(a-b)k,y=(b-c)k,z=(c-a)k.
x+y+z=(a-b)k+(b-c)k+(c-a)k=0.
分析若从求4+^-^4的值入手,可考虑到应把条件兰丰abca
^+-=1两边平方,在平方之后,虽会出现一些交叉顼,但能从bc
另一个已知条件给予解决下面我们采用换元法求解
解令戸L—于是条件効
u+v+w=1,①
UVW
由②有
■UV+VW+WV=0,
UVW
所以+vw+wu=0.
把①两边平方得
u2+v2+W+2(uv+vw+wu)=1,
所以u2+v2+W=1,
例丫已吩K
兄&
-2血』-*十才-2羽/十2风-吃的值.
分析若直接代人:
的值计算,计算量较大,为此可先将分母有理化,整理变形后再求解.
解因为驶=羽_挖=馆昨更"
即X-=忑.
两边平方有
工"
一2区十1=0.同理,由K-.ya=73,可得
x2-2屁猛-1=0.
原式=*(茗$-忑一1)十疏孟了-2蓿盜十1)十梵-爲
-h4■0■0+s--../2-73.
4•禾U用非负数的性质求值
若几个非负数的和为零,则每个非负数都为零,这个性质在代数式求值中经常被使用.
例8若x2-4x+|3x-y|=-4,求yx的值.
分析与解x,y的值均未知,而题目却只给了一个方程,似乎无法求值,但仔细挖掘题中的隐含条件可知,可以利用非负数的性质求解.
因为x2-4x+|3x-y|=-4,所以
2
x-4x+4+|3x-y|=0,
即(x-2)2+|3x-y|=0.
所以yx=62=36.
例9未知数x,y满足
(x2+y2)m2-2y(x+n)m+y2+n2=0,其中mn表示非零已知数,求x,y的值.
分析与解两个未知数,一个方程,对方程左边的代数式进行恒等变形,经过配方之后,看是否能化成非负数和为零的形式.
将已知等式变形为
mx2+my2-2mxy2mny+y+n2=0,
(m2x2-2mxy+y)+(m2y2-2mny+帀=0,即(mx-y)2+(my-n)2=0.
-y=0*nay-n=0-
因为m尹0,l^Ly=—?
x=~.
mm
5.利用分式、根式的性质求值
分式与根式的化简求值问题,内容相当丰富,因此设有专门讲座介绍,这里只分别举一个例子略做说明.
例10已知xyzt=1,求下面代数式的值:
1
111
1+K
+xy+Kyz1+yq
kyz+yzt1+z+zt+zteHt+tK+toy
分析直接通分是笨拙的解法,可以利用条件将某些项的形式变一变.
解根据分式的基本性质,分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子,分式的值不变•利用已知条件,可将前三个分式的分母变为与第四个相同.
t
1+x+xy+xyz
t+xt+xyt+syzt
t+Kt+斗r
例口
己知更〉0,bi>
0,当址=
2处
b3Ti
同理
i
bi
i
1+yys+yzt
tx4hry+1+1
1
txy
1+£
+st+zU
fey+I-Ft+u
的値.
分析计算时应注意观察式子的特点,若先分母有理化,计算反而复
杂•因为这样一来,原式的对称性就被破坏了•这里所言的对称性是指分子与分母的形式相近•需右与石-忘的形式也相近.我们应当充分利用这种对称性,或称之为整齐性,来简化我们的计算.
解%=卷时,
b*]
.——I2^
Ja-hx*Ja+-7一-—勺’空,1t>
2+1b2+1
甘1)扁
同样(但请注意算术根!
)
将①,②代入原式有
(b+l)+|b-1|
(b+l)-|b-1|
bi当时;
=H
丁,当时.
练习六
1.己知筈==:
+書,7=2+<
11求左二期+刃的值.
2.已知x+y=a,x2+y2=b2,求x4+y4的值.
3.已知a-b+c=3,a2+b2+c2=29,a3+b3+c3=45,求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值.
5.设a+b+c=3m求(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)的值.
6.
求收卡£
的值.
U
7,己知兀丄』4(巧十1)-5如怎-9,试求/+必的值.
8.已知13x2-6xy+y2-4x+1=0,求(x+y)13•x10的值.
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- 初中 数学 竞赛 专题 辅导 代数式 求值