23函数的单调性与最值学案高考一轮复习Word文档格式.docx
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设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
条件
①对于任意x∈I,都有_________;
②存在x0∈I,使得_________.
①对于任意x∈I,都有________;
②存在x0∈I,使得
__________,
结论
M为最大值
M为最小值
五.复习前测:
1.函数f(x)=
在R上是( )
A.减函数B.增函数
C.先减后增D.无单调性
2.下列四个函数中,在(0,1)上为增函数的是( )
A.y=sinxB.y=-log2x
C.y=(
)xD.y=(x-
)2
3.(2013·
保定一中质检)已知f(x)是R上的减函数,则满足f(|
|)<
f
(1)的实数x的取值范围是( )
A.(-1,1)B.(0,1)
C.(-1,0)∪(0,1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
4.函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是__________.
5.(2013·
无锡模拟)若函数f(x)=mx2+x+5在[-2,+∞)上是增函数,则m的取值范围是__________.
要点点拨:
1.函数的单调性是局部性质
函数的单调性,从定义上看,是指函数在定义域的某个子区间上的单调性,是局部的特征.在某个区间上单调,在整个定义域上不一定单调.
2.函数的单调区间的求法
函数的单调区间是函数定义域的子区间,所以求解函数的单调区间,必须先求出函数的定义域.对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解,如二次函数、对数函数、指数函数等;
如果是复合函数,应根据复合函数的单调性的判断方法,首先判断两个简单函数的单调性,再根据“同则增,异则减”的法则求解函数的单调区间.
六.复习过程:
题型一:
函数单调性的判断
[例1]
(1)(2011·
重庆高考卷)下列区间中,函数f(x)=|ln(2-x)|在其上为增函数的是( )
A.(-∞,1] B.[-1,
]
C.[0,
)D.[1,2)
(2)试讨论函数f(x)=
的单调性.
[规律总结] 判断(或证明)函数单调性的主要方法有:
(1)函数单调性的定义;
(2)观察函数的图象;
(3)利用函数和、差、积、商和复合函数单调性的判断法则;
(4)利用函数的导数等.
变式训练1
设函数f(x)=x+
的图象过点A(2,
).
(1)求实数a的值,并证明f(x)的图象关于原点对称;
(2)证明函数f(x)在(0,1)上是减函数.
题型二:
求函数的单调区间
[例2] 求下列函数的单调区间:
(1)y=-x2+2|x|+1;
(2)y=a1-2x-x2(a>
0且a≠1).
[思路点拨] 对于
(1)可先将函数化为分段函数,画出函数的图象,然后结合图象求出单调区间;
对于
(2)应对a的取值进行讨论,然后根据复合函数单调性法则求解.
[规律总结]
(1)带有绝对值的函数实质上就是分段函数,对于分段函数的单调性,有两种基本的判断方法:
一是在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间,最后对各个段上的单调区间进行整合;
二是画出这个分段函数图象,结合函数的图象、性质进行直观的判断.
(2)求复合函数y=f(g(x))的单调区间的步骤:
①确定定义域;
②将复合函数分解成两个基本初等函数(常称内、外层函数);
③分别确定两基本初等函数的单调性;
④按“同增异减”的原则,确定原函数的单调区间.
变式训练2
(1)(2013·
长沙模拟)设函数y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义.对于给定的正数k,定义函数fk(x)=
取函数f(x)=2-|x|.当k=
时,函数fk(x)的单调递增区间为( )
A.(-∞,0) B.(0,+∞)
C.(-∞,-1)D.(1,+∞)
(2)(2013·
枣庄质检)函数y=x-|1-x|的单调增区间为__________.
题型三:
函数单调性的应用
[例3]
抚顺模拟)已知函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,g(x)=-f(|x|),若g(lgx)>
g
(1),则x的取值范围是( )
A.(0,10) B.(10,+∞)
C.(
,10)D.(0,
)∪(10,+∞)
(2)已知函数y=f(x)是偶函数,y=f(x-2)在[0,2]上是单调减函数,试比较f(-1),f(0),f
(2)的大小.
[思路点拨]
(1)g(x)是偶函数且在[0,+∞)上是减函数,则由g(lgx)>
g
(1)可得-1<
lgx<
1.
(2)根据函数f(x)的性质先得到y=f(x)在[0,2]上的单调性或[-2,2]上的图象,进而借助于单调性或图象比较出函数值的大小.
[规律总结] 1.当已知函数的单调性,解含有“f”号的不等式时,首先要根据函数的性质,转化为如“f(g(x))>
f(h(x))”的形式,再利用单调性,转化为具体不等式求解,但要注意函数的定义域.
2.比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,要利用其函数性质,转化到同一个单调区间上进行比较,对于选择、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.
变式训练3
(1)已知f(x)=
,是(-∞,+∞)上的增函数,那么a的取值范围是( )
A.(1,+∞)B.[
,+∞)
C.[
,3)D.(1,3)
(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( )
A.f(-25)<
f(11)<
f(80)
B.f(80)<
f(-25)
C.f(11)<
f(80)<
D.f(-25)<
f(11)
题型四:
利用函数的单调性求最值
[例4] 已知函数f(x)=
-
(a>
0,x>
0),
(1)求证:
f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数;
(2)若f(x)在[
,2]上的值域是[
,2],求a的值.
[规律总结] 这类问题应利用函数的单调定义或基本初等函数的性质判定函数的单调性然后再求最值,对于含参数的问题可能需要分类讨论.
变式训练4
函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,则函数g(x)=
在区间(1,+∞)上一定( )
A.有最小值B.有最大值
C.是减函数D.是增函数
创新探究——函数单调性的客观题解法
[例题]
(1)(2012·
广东)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( )
A.y=ln(x+2) B.y=-
C.y=-(
)-xD.y=x+
(2)(2012·
浙江)设a>
0,b>
0,( )
A.若2a+2a=2b+3b,则a>
b
B.若2a+2a=2b+3b,则a<
C.若2a-2a=2b-3b,则a>
D.若2a-2a=2b-3b,则a<
链接高考:
1.(2011·
新课标全国卷)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是( )
A.y=x3B.y=|x|+1
C.y=-x2+1D.y=2-|x|
2.(2013·
泰安模拟)在下列四个函数中,满足性质:
“对于区间(1,2)上的任意x1,x2(x1≠x2),|f(x2)-f(x1)|<
|x2-x1|恒成立”的只有( )
A.f(x)=
B.f(x)=|x|
C.f(x)=2xD.f(x)=x2
抚顺模拟)设偶函数f(x)=loga|x+b|在(0,+∞)上单调,则f(b-2)与f(a+1)的大小关系为( )
A.f(b-2)=f(a+1)B.f(b-2)>
f(a+1)
C.f(b-2)<
f(a+1)D.不能确定
七.反馈练习:
1.关于函数y=
的单调性的叙述正确的是( )
A.在(-∞,0)上是递增的,在(0,+∞)上是递减的
B.在(-∞,0)∪(0,+∞)上递增
C.在[0,+∞)上递增
D.在(-∞,0)和(0,+∞)上都是递增的
2.函数f(x)中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1<
x2时,都有f(x1)>
f(x2)”的是( )
B.f(x)=(x-1)2
C.f(x)=exD.f(x)=ln(x+1)
3.函数f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是( )
A.(-∞,
]B.[
C.(-1,
]D.[
,4)
4.(2013·
山西运城质检)已知函数f(x)=
则“c=-1”是“函数f(x)在R上递增”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.若函数f(x)=loga(x2-ax+
)有最小值,则实数a的取值范围是( )
A.(0,1)B.(0,1)∪(1,
)
C.(1,
)D.[
6.(2013·
威海模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,若x1+x2>
0,则f(x1)+f(x2)的值( )
A.恒为负值B.恒等于零
C.恒为正值D.无法确定正负
7.函数f(x)=(
)x-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为__________.
8.(2013·
天津模拟)已知函数f(x)=
,若f(2-a2)>
f(a),则实数a的取值范围是__________.
9.(2013·
山东滨州一模)已知定义在R上的函数y=f(x)满足以下三个条件:
①对于任意的x∈R,都有f(x+1)=
;
②函数y=f(x+1)的图象关于y轴对称;
③对于任意的x1,x2∈[0,1],且x1<
x2,都有f(x1)>
f(x2),则f(
),f
(2),f(3)从小到大的关系是__________.
10.已知f(x)=
(x≠a).
(1)若a=-2,试证f(x)在(-∞,-2)内单调递增;
(2)若a>
0且f(x)在(1,+∞)内单调递减,求a的取值范围.
11.函数f(x)=x2+x-
.
(1)若定义域为[0,3],求f(x)的值域;
(2)若f(x)的值域为[-
,
],且定义域为[a,b],求b-a的最大值.
12.定义:
已知函数f(x)在[m,n](m<
n)上的最小值为t,若t≤m恒成立,则称函数f(x)在[m,n](m<
n)上具有“DK”性质.
(1)判断函数f(x)=x2-2x+2在[1,2]上是否具有“DK”性质,说明理由.
(2)若f(x)=x2-ax+2在[a,a+1]上具有“DK”性质,求a的取值范围.
八.思维总结:
九.自我评价:
1.你对本章的复习的自我评价如何?
A.很好B.一般C.不太好
2.你认为在这章复习中还有哪些知识漏洞?
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- 23 函数 调性 最值学案 高考 一轮 复习