人教B版数学选修21课时分层作业 25 二面角及其度量.docx
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人教B版数学选修21课时分层作业25二面角及其度量
课时分层作业(二十五) 二面角及其度量
(建议用时:
60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1.已知平面α内有一个以AB为直径的圆,PA⊥α,点C在圆周上(异于点A,B),点D,E分别是点A在PC,PB上的射影,则( )
A.∠ADE是二面角APCB的平面角
B.∠AED是二面角APBC的平面角
C.∠DAE是二面角BPAC的平面角
D.∠ACB是二面角APCB的平面角
B [由二面角的定义及三垂线定理,知选B.]
2.已知△ABC和△BCD均为边长为a的等边三角形,且AD=a,则二面角ABCD的大小为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
C [如图取BC的中点为E,连接AE,DE,
由题意得AE⊥BC,DE⊥BC,
且AE=DE=a,又AD=a,
∴∠AED=60°,即二面角ABCD的大小为60°.]
3.如图所示,在正四棱锥PABCD中,若△PAC的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为∶8,则侧面与底面所成的二面角为( )
A.B.
C.D.
D [设正四棱锥的底面边长为a,侧面与底面所成的二面角为θ,高为h,斜高为h′,则=,∴=,∴sinθ=,即θ=.]
4.已知二面角αlβ中,平面α的一个法向量为n1=,平面β的一个法向量为n2=,则二面角αlβ的大小为( )
A.120°B.150°
C.30°或150°D.60°或120°
C [设所求二面角的大小为θ,则|cosθ|==,所以θ=30°或150°.]
5.如图所示,P是二面角αABβ棱上的一点,分别在α,β平面内引射线PM,PN,如果∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,那么二面角αABβ的大小为( )
A.60°B.70°C.80°D.90°
D [不妨设PM=a,PN=b,作ME⊥AB交AB于点E,NF⊥AB交AB于点F(图略),因为∠EPM=∠FPN=45°,故PE=,PF=,于是·=(-)·(-)=·-·-·+·=abcos60°-a·cos45°-·bcos45°+·=--+=0.因为EM,FN分别是α,β内的两条与棱AB垂直的线段,所以EM与FN之间的夹角就是所求二面角的大小,所以二面角αABβ的大小为90°.]
二、填空题
6.若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8,两垂足间的距离为7,则这个二面角的大小是________.
60°或120° [设二面角大小为θ,由题意可知
cosθ===,
所以θ=60°或120°.]
7.若P是△ABC所在平面外一点,且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形,PA=,则二面角PBCA的大小为________.
90° [取BC的中点O,连接PO,AO(图略),则∠POA就是二面角PBCA的平面角.又PO=AO=,PA=,所以∠POA=90°.]
8.在空间四面体OABC中,OB=OC,∠AOB=∠AOC=,则cos〈,〉的值为________.
0 [·=·(-)
=·-·
=||·||cos-||·||·cos
=||(||-||)=0.
∴cos〈·〉==0.]
三、解答题
9.如图所示,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,平面ABCD是一个直角梯形,AB⊥AD,AB,CD为梯形的两腰,且AB=AD=AA1=a.
(1)若截面ACD1的面积为S,求点D到平面ACD1的距离;
(2)当为何值时,平面AB1C⊥平面AB1D1?
[解]
(1)由VDACD1=VCADD1,过C作CE⊥AD,垂足为E.
∵AA1⊥平面ABCD,∴平面ABCD⊥平面AA1D1D,
∴CE⊥平面AA1D1D,∴CE=a是C到平面ADD1的距离,设点D到平面ACD1的距离为h,
由Sh=×a2×a,得h=.
(2)分别以A1B1,A1D1,A1A所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.
则A1(0,0,0),A(0,0,a),B1(a,0,0),
设C(a,b,a),且n1=(x,y,z)是平面AB1C的法向量,
∴=(a,0,-a),=(a,b,0).
则n1·=0,n1·=0,即ax-az=0,ax+by=0,
得z=x,y=-x,取x=1,则y=-,z=1,
则n1=为平面AB1C的一个法向量.
同理可得平面AB1D1的一个法向量为n2=(1,1,1).
若平面AB1C⊥平面AB1D1,则n1·n2=0,∴=2,
即当=2时,平面AB1C⊥平面AB1D1.
10.如图所示,四棱锥PABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.
(1)证明:
直线CE∥平面PAB;
(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角MABD的余弦值.
[解]
(1)证明:
取PA的中点F,连接EF,BF.
因为E是PD的中点,
所以EF∥AD,EF=AD.
由∠BAD=∠ABC=90°得BC∥AD.
又BC=AD,所以EF綊BC,
四边形BCEF是平行四边形,CE∥BF.
又BF⊂平面PAB,CE⊄平面PAB,故CE∥平面PAB.
(2)由已知,得BA⊥AD,以A为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,),=(1,0,-),=(1,0,0).
设M(x,y,z)(0 =(x-1,y,z),=(x,y-1,z-). 因为BM与底面ABCD所成的角为45°, 而n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量, 所以|cos〈,n〉|=sin45°, 即=, 即(x-1)2+y2-z2=0.① 又M在棱PC上,设=λ,则 x=λ,y=1,z=-λ.② 由①②解得(舍去),或 所以M, 从而=. 设m=(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量,则 即 所以可取m=(0,-,2). 于是cos〈m,n〉==. 因此二面角MABD的余弦值为. [能力提升练] 1.如图所示,已知点P为菱形ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC中点,则二面角CBFD的正切值为( ) A. B. C.D. D [如图所示,连接BD,AC∩BD=O,连接OF.以O为原点,OB,OC,OF所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Oxyz.设PA=AD=AC=1,则BD=.所以B,F,C,D. 结合图形可知,=且为平面BDF的一个法向量, 由=,=, 可求得平面BCF的一个法向量n=(1,,). 所以cos〈n,〉=,sin〈n,〉=, 所以tan〈n,〉=. 即二面角CBFD的正切值为.] 2.在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的二面角的余弦值为( ) A.-B. C.D. B [建系如图,设正方体棱长为1,则D(0,0,0)、A1(1,0,1)、E. ∴=(1,0,1),=. 设平面A1ED的一个法向量为n=(x,y,z). 则.令x=1,则z=-1,y=-, ∴n=.又平面ABCD的一个法向量为=(0,0,1). ∴cos〈n,〉==-. 又平面A1ED与平面ABCD所成的二面角为锐角, ∴平面A1ED与平面ABCD所成二面角的余弦值为.] 3.已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为2,则侧面与底面所成的二面角等于________. [∵底面对角线长为2,∴底面边长为2,从而利用体积得四棱锥的高为3,所求二面角的正切为==. ∴侧面与底面所成的二面角为.] 4.已知正四棱锥的底面边长为2,高为3.则侧面与底面所成的二面角等于________. 60° [如图,四棱锥PABCD为正四棱锥,连接AC,BD相交于点O,连接PO,则PO⊥平面ABCD.作OE⊥CD,连接PE,则∠PEO即为侧面与底面所成二面角的平面角. 由题意知PO=3, OE=,∴tan∠PEO==. ∴∠PEO=60°.] 5.如图所示,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,G是的中点. (1)设P是上的一点,且AP⊥BE,求∠CBP的大小; (2)当AB=3,AD=2时,求二面角EAGC的大小. [解] (1)因为AP⊥BE,AB⊥BE,AB,AP⊂平面ABP,AB∩AP=A,所以BE⊥平面ABP. 又BP⊂平面ABP,所以BE⊥BP. 又∠EBC=120°,所以∠CBP=30°. (2)法一: 如图,取的中点H,连接EH,GH,CH. 因为∠EBC=120°, 所以四边形BEHC为菱形, 所以AE=GE=AC=GC==. 取AG的中点M,连接EM,CM,EC, 则EM⊥AG,CM⊥AG, 所以∠EMC为所求二面角的平面角. 又AM=1, 所以EM=CM==2. 在△BEC中,由于∠EBC=120°, 由余弦定理得EC2=22+22-2×2×2×cos120°=12, 所以EC=2,所以△EMC为等边三角形, 故所求的角为60°. 法二: 以B为坐标原点,分别以BE,BP,BA所在的直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意得A(0,0,3),E(2,0,0),G(1,,3),C(-1,,0), 故=(2,0,-3),=(1,,0),=(2,0,3). 设m=(x1,y1,z1)是平面AEG的一个法向量, 由可得 取z1=2,可得平面AEG的一个法向量m=(3,-,2). 设n=(x2,y2,z2)是平面ACG的一个法向量, 由可得 取z2=-2,可得平面ACG的一个法向量n=(3,-,-2). 所以cos〈m,n〉==. 故所求的角为60°.
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