八年级数学上册一次函数图像应用题Word文档格式.docx
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120﹣80=40km.
【解答】①由函数图象,得a=120÷
3=40故①正确,
②由题意,得﹣3﹣120÷
(40×
2),=﹣,=1.
∴甲车维修的时间为1小时;
故②正确,
③如图:
∵甲车维修的时间是1小时,∴B(4,120).
∵乙在甲出发2小时后匀速前往B地,比甲早30分钟到达.
∴E(5,240).∴乙行驶的速度为:
240÷
3=80,
∴乙返回的时间为:
80=3,∴F(8,0).
设BC的解析式为y1=k1t+b1,EF的解析式为y2=k2t+b2,由图象,得
,解得,,
∴y1=80t﹣200,y2=﹣80t+640,
当y1=y2时,80t﹣200=﹣80t+640,t=.
∴两车在途中第二次相遇时t的值为小时,故弄③正确,
④当t=3时,甲车行的路程为:
120km,乙车行的路程为:
(3﹣2)=80km,
∴两车相距的路程为:
120﹣80=40千米,故④正确,故选:
A.
5.甲、乙两车从A地驶向B地,并以各自的速度匀速行驶,甲车比乙车早行驶2h,并且甲车途中休息了,如图是甲乙两车行驶的距离y(km)与时间x(h)的函数图象.则下列结论:
(1)a=40,m=1;
(2)乙的速度是80km/h;
(3)甲比乙迟h到达B地;
(4)乙车行驶小时或小时,两车恰好相距50km.
正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4
【分析】
(1)先由函数图象中的信息求出m的值,再根据“路程÷
时间=速度”求出甲的速度,并求出a的值;
(2)根据函数图象可得乙车行驶﹣2=1小时后的路程为120km进行计算;
(3)先根据图形判断甲、乙两车中先到达B地的是乙车,再把y=260代入y=40x﹣20求得甲车到达B地的时间,再求出乙车行驶260km需要260÷
80=,即可得到结论;
(4)根据甲、乙两车行驶的路程y与时间x之间的解析式,由解析式之间的关系建立方程求出其解即可.
【解答】
(1)由题意,得m=﹣=1.
120÷
(﹣)=40(km/h),则a=40,故
(1)正确;
(2)120÷
(﹣2)=80km/h(千米/小时),故
(2)正确;
(3)设甲车休息之后行驶路程y(km)与时间x(h)的函数关系式为y=kx+b,由题意,得解得:
∴y=40x﹣20,
根据图形得知:
甲、乙两车中先到达B地的是乙车,
把y=260代入y=40x﹣20得,x=7,
∵乙车的行驶速度:
80km/h,∴乙车的行驶260km需要260÷
80=,
∴7﹣(2+)=h,∴甲比乙迟h到达B地,故(3)正确;
(4)当<x≤7时,y=40x﹣20.
设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y=k'
x+b'
,由题意得
解得:
∴y=80x﹣160.
当40x﹣20﹣50=80x﹣160时,解得:
x=.
当40x﹣20+50=80x﹣160时,解得:
x=.∴﹣2=,﹣2=.
所以乙车行驶小时或小时,两车恰好相距50km,故(4)错误.故选(C)
二.填空题(共3小题)
6.如图,已知A1,A2,A3,…,An是x轴上的点,且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1,分别过点A1,A2,A3,…,An+1作x轴的垂线交一次函数的图象于点B1,B2,B3,…,Bn+1,连接A1B2,B1A2,A2B3,B2A3,…,AnBn+1,BnAn+1依次产生交点P1,P2,P3,…,Pn,则Pn的坐标是 (n+,) .
【分析】由已知可以得到A1,A2,A3,…点的坐标分别为:
(1,0),(2,0),(3,0),…,又得作x轴的垂线交一次函数y=x的图象于点B1,B2,B3,…的坐标分别为(1,),(2,1),(3,),…,由此可推出点An,Bn,An+1,Bn+1的坐标为(n,0),(n,),(n+1,0),(n+1,).由函数图象和已知可知要求的Pn的坐标是
直线AnBn+1和直线An+1Bn的交点.在这里可以根据推出的四点求出两直线的方程,从而求出点Pn.
【解答】由已知得A1,A2,A3,…的坐标为:
(1,0),(2,0),(3,0),…,
又得作x轴的垂线交一次函数y=x的图象于点B1,B2,B3,…的坐标分别为
(1,),(2,1),(3,),….
由此可推出An,Bn,An+1,Bn+1四点的坐标为,(n,0),(n,),(n+1,0),
(n+1,).
所以得直线AnBn+1和An+1Bn的直线方程分别为:
y﹣0=(x﹣n)+0,
y﹣0=(x﹣n﹣1)+0,即,解得:
,
故答案为:
(n+,).
7.如图是护士统计一位病人的体温变化图,这位病人中午12时的体温约为 ℃.(精确到℃)
【分析】由于图象是表示的是时间与体温的关系,而在10﹣14时图象是一条线段,根据已知条件可以求出这条线段的函数解析式,然后利用解析式即可求出这位病人中午12时的体温.
【解答】∵图象在10﹣14时图象是一条线段,∴设这条线段的函数解析式为y=kx+b,
而线段经过(10,)、(14,),∴,∴k=﹣,b=,
∴y=﹣x+,
当x=12时,y=,∴这位病人中午12时的体温约为℃.
8.“渝黔高速铁路”即将在2017年底通车,通车后,重庆到贵阳、广州等地的时间将大大缩短.9月初,铁路局组织甲、乙两种列车在该铁路上进行试验运行,现两种列车同时从重庆出发,以各自速度匀速向A地行驶,乙列车到达A地后停止,甲列车到达A地停留20分钟后,再按原路以另一速度匀速返回重庆,已知两种列车分别距A地的路程y(km)与时间x(h)之间的函数图象如图所示.当乙列车到达A地时,则甲列车距离重庆 km.
【分析】先设乙列车的速度为xkm/h,甲列车以ykm/h的速度向A地行驶,到达A地停留20分钟后,以zkm/h的速度返回重庆,依据题意列方程,求得未知数的值,进而得到重庆到A地的路程,以及乙列车到达A地的时间,最后得出当乙列车到达A地时,甲列车距离重庆的路程.
【解答】设乙列车的速度为xkm/h,甲列车以ykm/h的速度向A地行驶,到达A地停留20分钟后,以zkm/h的速度返回重庆,
则根据3小时后,乙列车距离A地的路程为240,而甲列车到达A地,可得3x+240=3y,①
根据甲列车到达A地停留20分钟后,再返回重庆并与乙列车相遇的时刻为4小时,可得x+(1﹣)z=240,②
根据甲列车往返两地的路程相等,可得(﹣3﹣)z=3y,③
由①②③,可得x=120,y=200,z=180,∴重庆到A地的路程为3×
200=600(km),
∴乙列车到达A地的时间为600÷
120=5(h),
∴当乙列车到达A地时,甲列车距离重庆的路程为600﹣(5﹣3﹣)×
180=300(km),
300.
三.解答题(共10小题)
9.为倡导绿色出行,某共享单车近期登陆徐州,根据连续骑行时长分段计费:
骑行时长在2h以内(含2h)的部分,每计费1元(不足按计算);
骑行时长超出2h的部分,每小时计费4元(不足1h按1h计算).
根据此收费标准,解决下列问题:
(1)连续骑行5h,应付费多少元
(2)若连续骑行xh(x>2且x为整数)需付费y元,则y与x的函数表达式为 ;
(3)若某人连续骑行后付费24元,求其连续骑行时长的范围.
(1)连续骑行5h,要分两个阶段计费:
前两个小时,按每个小时2元计算,后3个小时按每个小时计算,可得结论;
(2)根据超过2h的计费方式可得:
y与x的函数表达式;
(3)根据题意可知:
里程超过2个小时,根据
(2)的表达式可得结果.
(1)当x=5时,y=2×
2+4×
(5﹣2)=16,∴应付16元;
(2)y=4(x﹣2)+2×
2=4x﹣4;
y=4x﹣4;
(3)当y=24,24=4x﹣4,x=7,∴连续骑行时长的范围是:
6<x≤7.
10.“十一”期间,小明一家乘坐高铁前往某市旅游,计划第二天租用新能源汽车
自驾出游.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)设租车时间为x小时,租用甲公司的车所需费用为y1元,租用乙公司的车所需费用为y2元,分别求出y1,y2关于x的函数表达式;
(2)当租车时间为多少小时时,两种方案所需费用相同;
(3)根据
(2)的计算结果,结合图象,请你帮助小明选择怎样的出游方案更合算.
(1)根据函数图象中的信息,分别运用待定系数法,求得y1,y2关于x的函数表达式即可;
(2)当y1=y2时,15x+80=30x,可得x的值;
(3)当y1=y2时,15x+80=30x,当y1>y2时,15x+80>30x,当y1<y2时,15x+80>30x,分求得x的取值范围即可得出方案.
(1)设y1=k1x+80,
把点(1,95)代入,可得:
95=k1+80,解得k1=15,∴y1=15x+80(x≥0);
设y2=k2x,
把(1,30)代入,可得30=k2,即k2=30,∴y2=30x(x≥0);
(2)当y1=y2时,15x+80=30x,解得x=;
答:
当租车时间为小时时,两种方案所需费用相同;
(3)由
(2)知:
当y1=y2时,x=;
当y1>y2时,15x+80>30x,解得x<;
当y1<y2时,15x+80<30x,解得x>;
∴当租车时间为小时,任意选择其中的一个方案;
当租车时间小于小时,选择方案二合算;
当租车时间大于小时,选择方案一合算.
11.如表给出A、B、C三种上网的收费方式:
收费方式
月使用费/元
包时上网时间/小时
超时费/(元/分钟)
A
30
25
B
50
C
120
不限时
(1)假设月上网时间为x小时,分别直接写出方式A、B、C三种上网方式的收费金额分别为y1、y2、y3与x的函数关系式,并写出自变量的范围(注意结果要化简);
(2)给出的坐标系中画出这三个函数的图象简图;
(3)结合函数图象,直接写出选择哪种上网方式更合算.
【分析】从题意可知,本题中的一次函数又是分段函数,关键是理清楚自变量的取值范围,由取值来确定函数值,从而作出函数图象.
(1)收费方式A:
y=30(0≤x≤25),y=30+3x(x>25);
收费方式B:
y=50(0≤x≤50),y=50+3x(x>50);
收费方式C:
y=120(0≤x);
(2)函数图象如图:
(3)由图象可知,上网方式C更合算。
12.某化工厂生产一种产品,每件产品的售价50元,成本价为25元.在生产过程中,平均每生产一件产品有的污水排出,为净化环境,工厂设计了如下两种方案对污水进行处理,并准确实施:
为案A:
工厂将污水先进行处理后再排出,每处理1m3污水所用原料费为2元,每月排污设备的损耗费为3000元.
方案B:
工厂将污水排到污水处理厂统一处理,每处理1m3污水需付14元排污费.
(1)设工厂每月生产x件产品,每月利润为y元,分别求出A、B两中方案处理污水时,y与x的函数关系式.
(2)当工厂每月生产量为6000件时,作为厂长在不污染环境又节约资金的前提下,应选用哪种污水的处理方案请通过计算说明理由.
(3)求:
一般的,每月产量在什么范围内,适合选用方案A.
(1)每件产品的售价50元,共x件,则总收入为50x,成本费为25x,产生的污水总量为,根据利润=总收入﹣总支出即可得到y与x的关系;
(2)根据
(1)中得到的x与y的关系,将x=6000代入,比较y的大小即可得采用哪种方案工厂利润高;
(3)当两种方案所得利润相等时,所得的x值即为临界点,如此可根据产量选择适合的方案.
(1)采用方案A时的总利润为:
y1=50x﹣25x﹣(×
2+3000)=24x﹣3000;
采用方案B是的总利润为:
y2=50x﹣25x﹣×
14=18x;
(2)x=6000,当采用第一种方案是工厂利润为:
y1=24×
6000﹣3000=114000﹣3000=111000;
当采用方案B时工厂利润为:
y2=18×
6000=108000;
y1>y2所以工厂采用方案A.
(3)假设y1=y2,即方案A和方案B所产生的利润一样多。
则有:
24x﹣3000=18x,解得x=500
所以当x>500时,y1>y2;
即每月产量在500件以上时,适合选用方案A.
13.甲、乙两人利用不同的交通工具,沿同一路线从A地出发前往B地,甲比乙先出发1小时.设甲出发x小时后,甲、乙两人离A地的距离分别为y甲、y乙,并且y甲、y乙与x之间的函数图象如图所示.
(1)A、B两地之间的距离是 km,甲的速度是 km/h;
(2)当1≤x≤5时,求y乙关于x的函数解析式;
(3)求甲、乙两人之间的距离不超过20km时,x的取值范围.
(1)可由函数图象直接解得;
(2)可设一次函数的一般关系式,代入两个点(1,0)和(5,360)从而解得;
(3)有图象可知,甲乙不超过20km的情况有三种,起点、终点、相遇点,然后分别列出不等式求解.
(1)依函数图象可知,y甲、y乙的最大值均为:
360km,所以AB两地的距离为360km.
甲行驶了6小时,所以甲的行驶速度是:
360÷
6=60(km/h);
故而答案为:
36060.
(2)设y乙=kx+b则解得
∴当1≤x≤5时,y乙关于x的函数解析式:
y乙=90k﹣90
(3)当0≤x≤1时,60x≤20,解得X≤
当1≤x≤5时|60x﹣(90x﹣90)|≤20解得≤x≤
当5≤x≤6时360﹣60x≤20解得≤x≤6
∴甲、乙两人之间的距离不超过20km时,x的取值范围是:
0≤x或≤x≤或≤x≤6.
14.一列动车从西安开往西宁,一列普通列车从西宁开往西安,两车同时出发,设普通列车行驶的时间为x(小时),两车之间的距离为y(千米),如图中的折线表示y与x之间的函数关系.
根据图象进行以下探究:
(1)西宁到西安两地相距 千米,两车出发后 小时相遇;
普通列车到达终点共需 小时,普通列车的速度是 千米/小时.
(2)求动车的速度;
(3)普通列车行驶t小时后,动车的达终点西宁,求此时普通列车还需行驶多少千米到达西安
(1)由x=0时y=1000及x=3时y=0的实际意义可得答案;
根据x=12时的实际意义可得,由速度=路程÷
时间,可得答案;
(2)设动车的速度为x千米/小时,根据“动车3小时行驶的路程+普通列出3小时行驶的路程=1000”列方程求解可得;
(3)先求出t小时普通列车行驶的路程,继而可得答案.
(1)由x=0时,y=1000知,西宁到西安两地相距1000千米,
由x=3时,y=0知,两车出发后3小时相遇,
由图象知x=t时,动车到达西宁,∴x=12时,普通列车到达西安,
即普通列车到达终点共需12小时,∴普通列车的速度是=千米/小时,
1000,3;
12,;
(2)设动车的速度为x千米/小时,
根据题意,得:
3x+3×
=1000,解得:
x=250,
动车的速度为250千米/小时;
(3)∵t==4(小时),∴4×
=(千米),∴1000﹣=(千米),
∴此时普通列车还需行驶千米到达西安.
15.如图所示,直线l1的解析式为y=﹣3x+3,且l1与x轴交于点D,直线l2经过点A(4,0)、B(3,﹣),直线l1、l2交于点C.
(1)求点D的坐标和直线l2的解析式;
(2)求△ADC的面积;
(3)在直线l2上存在异于点C的另一点P,使得S△ADP=2S△ADC,请直接写出点P的坐标.
(1)把y=0代入y=﹣3x+3解答即可得到点D的坐标;
利用待定系数法解答即可得到直线l2的解析式;
(2)根据方程组解得点C的坐标,再根据三角形的面积公式,即可得到△ADC的面积;
(3)根据直线l1的解析式y=﹣3x+3求得D(1,0),解方程组得到C(2,﹣3),设P(m,m﹣6),根据S△ADP=2S△ACD列方程即可得到结论.
(1)把y=0代入y=﹣3x+3,可得:
0=﹣3x+3,解得:
x=1,
所以D点坐标为(1,0),
设直线l2的解析式为y=kx+b,把A(4,0)、B(3,﹣)代入得,
解得.所以直线l2的解析式为y=x﹣6;
(2)解方程组得,所以C点坐标为(2,﹣3),
所以△ADC的面积=×
(4﹣1)×
3=;
(3)设P(m,m﹣6),∵S△ADP=2S△ACD,∴×
3×
|m﹣6|=2×
解得m=8或0,∴点P的坐标(8,6)或(0,﹣6).
16.如图,图中的曲线表示小华星期天骑自行车外出离家的距离与时间的关系,小华八点离开家,十四点回到家,根据这个曲线图,请回答下列问题:
(1)到达离家最远的地方是几点离家多远
(2)何时开始第一次休息休息多长时间
(3)小华在往返全程中,在什么时间范围内平均速度最快最快速度是多少
(4)小华何时离家21千米(写出计算过程)
(1)图中的点的横坐标表示时间,所以点E点距离家最远,横坐标表示距家最远的时间,纵坐标表示离家的距离;
(2)休息是路程不在随时间的增加而增加;
(3)往返全程中回来时候平均速度最快;
(4)求得线段DE所在直线的解析式,令y=21解得x的值就是离家21千米的相应的时间.
(1)到达离家最远的地方是11点,此时距离家30千米;
(2)到距家17千米的地方开始休息,休息了(10﹣)=小时;
(3)小华在返回的途中最快,平均速度为30÷
(14﹣12)=15千米/小时;
(4)由图象可知点D、E的坐标分别为(10,17),(11,30),F、G的坐标分别为(12,30),(14,0),
∴设直线DE所在直线的解析式为y=kx+b,直线FG的解析式为y=ax+c,
∴,,解得:
,,
∴解析式为y=13x﹣113,y=﹣15x+210,
令y=21,解得:
x=或,∴第或时离家21千米.
17.如图①,A,D分别在x轴,y轴上,AB∥y轴,DC∥x轴.点P从点D出发,以1个单位长度/秒的速度,沿五边形OABCD的边匀速运动一周,若顺次连接P,O,D三点所围成的三角形的面积为S,点P运动的时间为t秒,已知S与t之间的函数关系如图②中折线OEFGHM所示.
(1)图①中点B的坐标为 ;
点C的坐标为 ;
(2)求图②中GH所在直线的解析式;
(3)是否存在点P,使△OCP的面积为五边形OABCD的面积的若存在,请求出点P的坐标;
若不存在,请说明理由.
(1)由于点P从点D出发,根据图②中S与t的图象可知,点P按顺时针方向沿五边形OABCD的边作匀速运动,又运动速度为1个单位长度/秒,所以DC=5,BC=5,AB=2,AO=8,OD=6,由此得到点C的坐标,由图②20﹣12=8,得出B的坐标;
(2)先求出点G坐标,再用待定系数法即可求出;
(3)先求出五边形OABCD的面积和△OCP的面积,再分类讨论三种情况:
①当P在CD上时,CP=5﹣t,由△OCP的面积得出t的值,即可得出P的坐标;
②当P在OA上时,设P(x,0),由△OCP的面积得出x的值,即可得出P的坐标;
③当P在BC上时,过点(,0)作OC平行线l交BC于P,求出直线OC和过点(,0)与OC平行的直线l以及直线BC的解析式,l与BC的交点即为P,解方程组即可.
(1)由题意,可知点P的运动路线是:
D→C→B→A→O→D,
DC=5,BC=10﹣5=5,AB=12﹣10=2,AO=20﹣12=8,OD=26﹣20=6,
∴点C的坐标为(5,6);
由图②:
20﹣12=8,∴点B的坐标为(8,2);
(2)设GH的解析式为y=kx+b,
∵当点P运动到B时,S=×
6×
8=24,∴G(12,24),
把点G(12,24),H(20,0)代入得:
,解得:
k=﹣3,b=60,
∴图②中GH所在直线的解析式为:
y=﹣3x+60;
(3)存在点P,使△OCP的面积为五边形OABCD的面积的;
分三种情况:
作CM⊥OA于M,如图①所示:
五边形OABCD的面积=矩形ODCM的面积+梯形ABCM的面积
=5×
6+(2+6)(8﹣5)=42,△OCP的面积=×
42=14,
①由图象得:
当P在CD上时,CP=5﹣t,△OCP的面积=(5﹣t)×
6=14,
t=,∴P(,6);
②由①得,当P在OA上时,设P(x,0),则△OCP的面积=x×
x=,∴P(,0);
③当P在BC上时,过点(,0)作OC平行线l交BC于P;
如图①所示:
∵直线OC为y=x,设直线l的解析式为y=x+b,
把点(,0)代入得:
b=﹣,∴l的解析式为:
y=x﹣;
设直线BC的解析式为y=ax+c,把B(8,2),C(5,6)代入得:
k=﹣,b=,∴直线BC的解析式为:
y=﹣x+;
解方程组得:
∴P(,);
当P在OD上时,5OP=14×
2,OP=,∴P(0,)
综上所述:
点P的坐标为(,6),或(,0),或(,),或().
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