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设v1关联6条红边,对应6个顶点必有蓝K3或红K3.
对于K8,存在一种涂色方案,既没有蓝色三角形,也没有红色完全四边形.
R(3,4)=9.
Ramsey(1903–1930)定理
定理设p,q为正整数,p,q≥2,则存在最小正整数R(p,q),使得当n≥R(p,q)时,用红蓝两色涂色Kn的边,则或存在一个蓝色的Kp,或存在一
个红色的Kq.
证明思路:
归纳法
核心思想是:
“任何一个足够大的结构中必定包含一个给定大小的规则子结构”
归纳基础R(p,2)≤p,R(2,q)≤q,
归纳步骤R(p-1,q),R(p,q-1)存在
⇒R(p,q)≤R(p-1,q)+R(p,q-1)
证明
采用数学归纳法。
设p为任意正整数,q=2。
用红、蓝两色涂色Kp的边:
若没有一条红边,则存在一个蓝色的完全p边形;
若有一条红边,则构成一个完全红2边形,因此R(p,2)≤p。
同理可证R(2,q)≤q。
假设对正整数p’,q’命题为真,其中p’≤p,q’≤q,p’+q’<
p+q,则R(p-1,q),R(p,q-1)存在.
令
n≥R(p-1,q)+R(p,q-1).
用红、蓝两色涂色Kn的边,则v1或关联R(p-1,q)条蓝边或关联R(p,q-1)条红边。
否则,v1至多关联
R(p-1,q)-1+R(p,q-1)-1=R(p-1,q)+R(p,q-1)-2
条边,与n≥R(p-1,q)+R(p,q-1)矛盾。
case1v1关联R(p-1,q)条蓝边,
case2v1关联R(p,q-1)条红边.
对于case1,由归纳假设这R(p-1,q)个顶点中或含有一个蓝色的完全p-1边形,或含有一个红色的完全q边形。
若为前者,则这个p-1边形加上v1构成一个蓝色的完全p边形,命题为真;
若为后者,命题也为真。
对于case2可以类似分析。
因此,
R(p,q)≤R(p-1,q)+R(p,q-1),p≥3,q≥3
定义对于任意给定的两个正整数a和b,a,b≥2,最小的正整数R(a,b),使得当n≥R(a,b)时,对Kn任意进行红、蓝两种着色,Kn中均有蓝色Ka或红色Kb,称R(a,b)为Ramsey数.
小Ramsey数的值
q
p
2
3
4
5
6
7
8
9
10
14
18
23
28
36
40–43
25
36–41
49–61
56–84
73–115
92–149
43–49
58–87
80–143
101–216
126–316
144–442
102–165
113–298
132–495
169–780
179–1171
205–540
217–1031
241–1713
289–2826
282–1870
317–3583
331–6090
565–6588
581–12677
798–23556
GeoffreyExoo:
“Irecently(March2012)improvedthelowerbound
forR(4,6)to36.”9
Ramsey数的性质
(1)R(a,b)=R(b,a),R(a,2)=R(2,a)=a
(2)R(a,b)≤R(a-1,b)+R(a,b-1),a≥3,b≥3.
性质
(2)给出上界
9=R(3,4)≤R(2,4)+R(3,3)=4+6=10
18=R(4,4)≤R(3,4)+R(4,3)=9+9=18
25=R(4,5)≤R(3,5)+R(4,4)=14+18=32R(3,10)≤R(2,10)+R(3,9)=10+36=46R(3,10)≤43
推论对任意正整数a≥2,b≥2,有
R(a,b)≤
⎛a+b-2⎫=
(a+b-2)!
ç
a-1⎪
(a-1)!
(b-1)!
⎝⎭
对a+b作归纳.
当a+b≤5时,a=2或b=2,由前面定理知推论成立。
假设对一切满足5≤a+b<
m+n的a,b,推论成立,从而有
R(m,n)≤R(m,n-1)+R(m-1,n)≤
m+n-3m-1
m+n-3m-2
m+n-2m-1
所以,对任意的正整数a≥2,b≥2,推论均成立。
Ramsey定理的推广
(1)R(p,q)的图表示R(p,q)的集合表述:
Kn的顶点集V集合S
Kn的边集ES的2元子集的集合T
用2色涂色Kn的边将T划分成E1,E2
存在蓝色完全p边形存在S的p子集其所有2元子集∈E1存在红色完全q边形存在S的q子集其所有2元子集∈E2集合表述具有更强的表达能力.
(2)将2元子集推广到r元子集
(3)将T划分成E1,E2,…,Ek12
推广的Ramsey定理
定理2
对于任意给定的正整数p,q,r,(p,q≥r),存在一个最
小的正整数R(p,q;
r),使得当|S|≥R(p,q;
r)时,将
S的r元子集族任意划分成E1,E2,则:
或者S有p元子集A1,A1的所有r元子集属于E1;
或者S有q元子集A2,A2的所有r元子集属于E2.
13
定理3
设r,k≥1,qi≥r,i=1,2,…,k,是给定正整数,则存在一个最小的正整数R(q1,q2,…,qk;
r),使得当n≥R(q1,q2,…,qk;
r)时,将n元集S的所有r元子集划分成k个子集族E1,E2,…,Ek,那么
存在S的q1元子集A1,其所有r元子集属于E1;
或者存在S的q2元子集A2,A2的所有r元子集属于E2;
…,
或者存在S的qk元子集Ak,其所有r元子集属于
Ek.14
关于一般Ramsey数的说明
R(q1,q2,…,qk;
r)
(1)条件:
r,k≥1,qi≥r,i=1,2,…,k,都是给定正整数
(2)当r=2时,可以简记为R(q1,q2,…,qk)
(3)Ramsey定理断定Ramsey数的存在性.
Ramsey数的确定是一个很困难的问题.
(4)r=1,是鸽巢原理,
R(q1,q2,…,qk;
1)=q1+q2+…+qk-k+1r=2,k=2,是简单的Ramsey定理.
结果:
9个(不含q=2)Ramsey数的精确值,部分上界、下界
r=2,k=3,只有一个精确值R(3,3,3)=17
几个Ramsey数的上下界
51≤R(3,3,3,3)≤6265→62
162≤R(3,3,3,3,3)≤307322→307
538≤R(3,3,3,3,3,3)≤1838500→538
30≤R(3,3,4)≤3132→31
45≤R(3,3,5)≤5759→57
55≤R(3,4,4)≤7981→79
93≤R(3,3,3,4)≤15384→93,159→153
128≤R(4,4,4)≤236242→236
Ramsey定理的应用
例10对于任意m≥3,m∈Z+,存在正整数N(m),使得当
n≥N(m)时,若平面的n个点没有三点共线,则其中总有
m个点构成一个凸m边形的顶点。
实例:
m=3,N(m)=N(3)=3,
m=4,N(m)=N(4)=5,
需证:
N(m)≤R(5,m;
4)
引理1平面上任给5点,没有3点共线,则必有4点是凸4边形
的顶点.
引理2平面上m个点,若没有3点共线且任4点都是凸4边形的顶点,则这m个点构成凸m边形的顶点
引理1的证明
引理1平面上任给5点,没有3点共线,则必有4点是凸4
边形的顶点.
证做最大的凸多边形T.如果T是4边形或5边形,则命题为真.如果为3边形,则3边形内存在2点,与过这
2点的直线一侧的另外2点构成凸4边形.
引理2的证明
引理2平面上m个点,若没有3点共线且任4点都是凸4边形的顶点,则这m个点构成凸m边形的顶点.
假设最大的凸多边形是p边形,p<
m.则必有点落入这个多边形内部.将这个多边形划分成三角形,必有点落入某个三角形,这个三角形的顶点与内部的点构成凹4边形.与已知矛盾.
命题证明
任意m≥3,存在正整数N(m),使得当n≥N(m)时,若平面的n个点没有三点共线,则其中总有m个点构成一个凸m边形的顶点
证不妨设m>
3,令n≥R(5,m;
4),S为n个点的集合.将S的所有的4元子集划分成两个子集族.如果构成凹4边形,放到T1,如果构成凸4边形,则放到T2.
根据Ramsey数定义,或有5个点,其所有4元子集都构成凹4边形;
或有m个点,其所有的4子集都构成凸4边形.
若为前者,与引理1矛盾.若为后者,根据引理2,这m个点构成凸m边形的顶点.
组合存在性定理的应用
例11最少连接缆线问题
条件:
15台工作站和10台服务器.
每个工作站可以用一条电缆直接连到某个服务器.
同一时刻每个服务器只能接受一个工作站的访问.
目标:
任何时刻,任意选10台工作站,保证这组工作站可以同时访问不同的服务器.
问题:
达到这个目标需要的最少缆线数目N是多少?
方案1:
每个工作站都连到每个服务器,需要
10⨯15=150
缆线数N≤150.21
22
例11的解决方案
方案2将工作站标记为W1,W2,…,W15,
服务器标记为S1,S2,…,S10.
对于k=1,2,…,10,我们连接Wk到Sk,
剩下5个工作站的每一个都连接到10个服务器
总共60条直接连线.
W1W2W3W4W5W11W12W13W14W15W6W7W8W9W10
S1S2......S10
方案的最优性
满足目标要求:
任取10个工作站.如果恰好为W1,W2,…,W10,Wi访问Si,
i=1,…10,满足要求;
如果W1-W10中只选中k个工作站,不
妨设为W1--Wk,剩下的10-k个选自W11-W15.那么Wi访问Si,
i=1,…,k.还剩下10-k个服务器空闲,恰好分配给10-k个工作站.
结论:
N≤60.
证明N≥60.
假设在工作站和服务器之间缆线至多59条.那么某个服务器将至多连接⎣59/10⎦=5工作站.如果选择剩下的10个工作站作为一组,那么只有9个空闲的服务器,必有2个工作站连接同一服务器.与题目要求矛盾.23
例12电路板排列问题
方案1
方案2
例13通信抗噪音编码问题
例13通信噪音干扰
混淆图G=<
V,E>
,V为有穷字符集,
{u,v}∈E⇔u和v易混淆.
xy与uv混淆⇔x与u混淆且y与v混淆
∨x=u且y与v混淆
∨x与u混淆且y=v
V1⨯V2的混淆图是两个混淆图G与H的正规积G⋅H
定理β0(G⋅H)≤R(β0(G)+1,β0(H)+1)-1
设|G|=5,β0(G)=3,则β0(G⋅G)≤R(β0(G)+1,β0(G)+1)-1
=R(4,4)-1=1727
Ramsey定理的应用和推广
☐应用
⏹数论、代数、几何、拓扑学、集合论、逻辑等;
⏹信息论、理论计算机科学
☐推广(超图、有向图、无限…)
☐
/ramsey.html
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