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巧算的几种常见方法
巧算的几种常见方法
一、知识梳理:
1、有理数的相关概念和性质法则
有理数的运算法则
①加法法则:
同号相加一边倒,异号相加大减小,符号跟着大的跑。
②减法法则:
减去一个数,等于加上这个数的相反数。
③乘法法则:
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。
0乘任何数都得0。
④除法法则:
除以一个数等于乘上这个数的倒数。
0不能作除数。
⑤有理数的乘方运算:
正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。
2、运算顺序及注意事项:
①有理数的加、减、乘、除四则混合运算,一定要先把减法改成加法,除法改成乘法。
这样可以防止出错。
②对含有三级运算的情况,按先乘方、开方,再乘除,最后加减的运算顺序。
同级运算从左到右依次运算。
有括号时按小、中、大括号顺序进行,有时也可灵活去括号。
③应注意灵活运用运算律,使计算简便化,对互为相反数其和为零的要优先解决。
3、常用运算技巧
⑴巧用运算律⑵凑整法⑶拆项法(裂项相消)⑷分组相约法⑸倒写相加法
⑹错位相减法⑺换元法⑻观察探究、归纳法
二、【典型例题】
(一).符号与括号
有理数运算是代数入门的重点,又是难点,怎样突破这一难点,除了要正确理解概念和掌握运算法则外,还必须熟练有理数运算的一些技巧和方法,由于负数的引入,符号“+”与“-”具有了双重涵义,它既是表示加法与减法的运算符号,也是表示正数与负数的性质符号,因此进行有理数运算时,一定要正确运用有理数的运算法则和运算律,去掉或者添上括号,以此来改变运算的次序,从而使复杂问题变得较简单,在此应特别注意去添括号时符号的变化。
例1.计算
(二).巧用运算律
例2.计算
例3计算:
(三).巧用添项法凑整
例4计算
(四).巧用拆项法
例5.计算:
例6.
计算=________
例7.
(五).巧用反序相加减的方法
例8.计算_____
(六).巧用整体换元法
例9.计算
(七)、巧用错位相减
例10.;
(八).巧用倒数法
例11、计算
(九)、等比数列
例12.计算:
(十)、巧用整体
例13.购买5种物品,,,,的件数和用钱总数列成下表:
那么,购买每种物品各一件共需多少元?
(十一)、巧相约
例14、计算:
例15、计算
三、培优训练
1、
2、
3、计算:
4.计算:
5、计算:
6、计算:
7、计算:
8、计算
9、已知0为数轴的原点,A、B两点对应的数分别为1、2,设P1为AB的中点,P2为AP1的中点,…,P100为P99的中点,求P1,P2,P3,…,P100所对应的各数之和。
10、
11、(分析:
由加法交换律和结合律将分母相同的数结合相加,可改变原式繁难的计算。
)
12、计算:
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