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题号
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6
总分
习题1
S系中两事件坐标{x,y,ct}为A:
{0,0,0},B:
{6,6,7},且z=0。
(1)计算两事件A和B之间的时空间隔的平方。
它表示一个类空还是类时的间隔?
由于空间项比时间项大,这两个事件的间隔是类空的。
采用另一种符号规定也可行,只不过负号表示类空间隔。
(2)以速度
运动的S’系中对应的时空间隔为多少?
由于所有洛仑兹参考系中时空间隔为不变量,故ds2=23。
(3)找出一个参考系S’’(速度大小和方向),其中
。
和往常一样,令t=0时刻两坐标系的原点重合,这样最为简便。
则在所有参考系中,事件A的所有坐标值均为0。
故事件B必须放生在S’’系中x坐标为负值处。
这可在一个沿x轴正方向运动的参考系中实现。
由xB的变换可求出参考系的最小速度
(4)找出一个参考系S’’’(速度大小和方向),其中A和B的时间先后倒转。
即找出S’’’,其中
若运用与(3)中相同的方法,将得到大于c的变换速度。
然而,若S’’’系沿与x轴成45°
方向运动,时间B能在事件A之前发生。
(注意:
S’’’的选择不唯一!
)重新标度坐标轴,得事件B的坐标为{
}。
所考虑的变换为:
习题2
我们知道「速度」可以变换成如下的4-向量形式。
其中
运用洛仑兹变换得出
和
(即在S’系)。
假设S’系沿x方向向右运动,速度由β及相应的γβ表征。
运用变换后的值计算S’系中的
并将结果与课上用变换Δx’和Δt’得到的结果进行比较。
两方程相除得
习题3
多普勒效应中,观察到的频率的普遍变换式由下式给出:
其中ν’为S’系观察到的频率。
频率ν和角度θ为S系中所观察到的量。
假设S’系沿+x方向以速度β运动。
(θ=0对应光沿+x方向运动。
)
(1)求出沿与观察者联机方向前进或后退的源产生的多普勒效应的表达式,保留到β的最低次项。
说明什么情况对应什么符号。
前进(后退)的源有θ=0(π),故:
γ已经是β的二次项,故可以忽略之,得到:
(2)一个激光器以速度v向右运动,如图所示。
激光束在S系中沿固定方向运动,使辐射沿-y方向传播。
若在相对激光静止的系中其频率为ν’,求出S系中观察到的辐射频率ν。
(结果精确到β的所有次项。
)解释结果的含义—即非经典行为。
由θ=3π/2,可以得到因时间延缓造成的横向多普勒效应的简单表达式—一个纯相对论效应:
(3)若激光束在S系中静止时发出光的频率为ν,且光束沿+y方向运动,S’系中观察者观测到的频率为多少?
若这是横向多普勒效应的一个例子,则ν’应比ν小。
解释该情形为何不是横向多普勒效应的一个例子?
(2)中的表达式仍然成立:
这并不是
(2)中的横向多普勒效应,因为S’观察到的光束的角度并不与运动方向垂直。
换言之,在时间延缓之外,在S’中事实上还有相对于经典多普勒效应得第一阶蓝移。
习题4
S系中的两个孪生子初始时刻在点(x,y)=(0,R)处静止,如图所示。
其中B沿一个很大的圆轨道(半径为R)加速,速度由u=at给出,其中加速度a是一个常数,且B在运行一圈后经过A。
这里,u,a,t均为S系中的物理量。
A在S系中保持静止。
在A看来B经过一圈的行程用时为T。
当B经过静止的A时,两兄弟比较他们的时钟上流逝的时间。
求出B在完成一圈行程的时间(即T’)的普遍表达式。
结果只能含有a,T和c,不能有R。
若a=8msec-2(=800cmsec-2)且T=3×
107sec(~1year),求出T’/T。
可能用到的积分公式:
习题5
下图为关于S’系的闵可夫斯基时空图,S’系向右以速度β=5/7运动,对应的
坐标轴上的标记相距1.0个单位(在各自参考系内)。
在图上仔细画线表示以下效应,并注明哪条线平行于哪条。
将从图上读出的值与由相对论定量计算出的值进行比较。
(1)S系中的静止时钟相对于S’系观察者缓慢运动。
画出该时钟的世界线。
(2)S’系中的静止时钟相对于S系观察者缓慢运动。
(3)光的多普勒效应
三条绿线(代表光线)在S系中间隔为Δx=1和Δt=1。
然而,图上显示在S’系中这些线在x’轴上的间隔为2.45个单位,在ct’轴上的间隔也为2.45个单位。
该伸长对应如下的多普勒效应:
类似地,
而频率与时间成反比,故从图中的时间轴上可读出相同的比例2.44。
习题6
一汽车从点A到B沿直线运动,其耗油率由以下表达式给出:
其中C均为常数,且v为汽车的速度。
运用运动积分(即适当的欧拉方程)得出汽车行驶固定距离耗油量最少时所需的速度。
[提示:
你建立的积分为在两定点之间,故独立变量为x而并非t。
]
故欧拉方程为:
则
该结果与位置无关。
我们通过将速度控制为一个恒量来最大限度地节约能量。
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