第八章 一元一次不等式 Microsoft Word 文档 2Word下载.docx
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按实际人数买票x张,要付款5x(元)
买30张票,要付款4×
如果买30张票合算,那么应有
120<
5x
现在的问题就是:
x取哪些数值时,上式成立?
前面已经算过,当x=27时,上式成立。
让我们再取一些值试一试,将结果填入下表。
x
5x
比较120与5x的大小
120<
5x
21
105
120>
不成立
22
23
24
25
26
27
成立
…
由上表可见,当x=___________时,不等式120<
5x成立。
也就是说,少于30人时,至少要有_____人进公园时,买30张票反而合算。
概括
像上面出现的120<
135,x<
30,120<
5x那样用不等号“<
”或“>
”表示不等关系的式子,叫做不等式。
不等式120<
5x中含有未知数x。
能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。
如上例中,x=25,26,27,…都是不等式120<
5x的解,而x=24,23,22,21则不是它的解。
例用不等式表示:
(1)x的一半小于-1
(2)y与4的和大于0.5
(3)a是负数;
(4)b是非负数;
解:
(1)
x<
-1
(2)y+4>
0.5
(3)a<
(4)b是非负数,就是b不是负数,它可以是正数或零,即b>
0或b=0,通常可表示成b≥0。
三、巩固练习
P42练习1、2、3
四、小结
本节课结合实际问题给出了不等式及其解的概念。
现实世界中大量存在着数量间的不等关系,比较量的大小,研空它们的变化规律,是人们在工作和生活中解决实际问题的需要,因此,同学们要学好不等式的有关知识。
五、作业布置
P42习题8.11、2、3
8.2解一元一次不等式
1、不等式的解集
教学目标:
1、知识与技能:
(1)使学生理解不等式的解集的含义,明确不等式的解是在某范围内的所有数。
(2)通过学习数轴表示不等式的解集,使学生感受到数形结合的作用。
让学生经历实验、观察、分析、概括过程,自主探索不等式的解集等概念,培养学生的思维能力。
培养学生与他人合作学习的习惯。
不等式的解集。
对不等式解集含义的理解。
一、复习提问
1、什么是不等式?
2、什么是不等式的解?
实验:
将如下重量的法码分别放入天平的左边。
请大家仔细观察,哪些砝码放入天平左边后能使天平向左边倾斜?
如果砝码重x克,要使x+2>
5,即:
天平左边放入x克砝码后使天平向左边倾斜。
那么这样的x应取什么数?
这样的数是有限个还是无限个?
通过实验、讨论、交流、归纳得到:
大于3的每一个数都是不等式x+2>
5的解,而小于3的每一个数都不是不等式x+2>
5的解。
因此不等式x+2>
5的解有无限多个,它们组成集合,称为不等式x+2>
5的解集。
由实例概括出不等式解集以及解不等式的概念:
一个不等式的所有解,组成这个不等式的解的集合,简称为这个不等式的解集。
求出不等式的解集。
求不等式的解集的过程,叫做解不等式。
不等式x+2>
5的解集,可以表示成x>
3,它也可以在数轴上直观地表示出来,如图8.2.1所示。
同样,如果某个不等式的解集为x≤-2,也可以在数轴上直观地表示出来,如图8.2.2所示。
说明:
图8.2.1在表示3的点画空心圆圈,表示不包括这一点,表示大时应往右拐;
图8.2.2在表示-2的点画黑点表示包括这一点,表示小时应向左拐。
P44练习1、2
1、什么叫做不等式的解集?
它与方程的解有何区别?
2、用数轴表示不等式的解集有什么优点?
用数轴表示不等式解集时应该注意哪些问题?
P49习题8.22
2、不等式的简单变形
(一)
(1)使学生理解和掌握不等式的基本性质1。
(2)会用不等式的基本性质1将不等式变形,并渗透类比思想方法。
让学生经历实验和探索不等式性质1的过程,培养学生观察,分析、归纳能力。
通过合作、交流,使学生感受合作、交流带来的好处。
运用不等式基本性质1对不等式进行变形。
不等式基本性质1对不等式进行变形。
不等式基本性质1的应用。
1、什么叫不等式?
2、什么叫不等式的解?
3、不等式的解与解不等式有何区别?
4、不等式的解与方程的解有何区别?
5、方程有哪些简单变形?
提出问题:
一个倾斜的天平两边分别放有重物,其质量分别为a和b(显然a>
b),如果在两边盘内分别加上等量的砝码c,请同学们猜一猜天平会发生什么变化?
如果再把砝码c拿出来呢?
通过实验操作验证,归纳得到:
不等式的性质1:
如果a>
b,那么
a+c>
b+c,a-c>
b-c
注意:
a、b、c可以是数字,也可以是字母。
提问:
你能用文字语言加以叙述吗?
让学生思考后回答,得出结论:
不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变。
例1解不等式:
(1)x-7<
8
(2)3x<
2x-3
(1)不等式的两边都加上7,不等式的方向不变,所以
x-7+7<
8+7,
得x<
15
(2)不等式的两边都减去2x(即加上-2x),不等号的方向不变,所以
3x-2x<
2x-3-2x
得x<
-3
这里的变形,与方程变形中的移项相类似,你能说出不等式变形的“移项”该怎么进行吗?
相当于x-7<
8得x<
8+7
3x<
2x-3得3x-2x<
这就是说,解不等式也可以“移项”,即把不等式一边的某项变号后移到另一边,不改变不等号方向。
P47练习1、2
1、不等式性质1的内容是什么?
2、应用不等式性质1进行不等式的简单变形,可否采用解方程中的移项方法解不等式,应注意什么?
P49习题8.21.
(1)
(2)、2
2、不等式的简单变形
(二)
(1)使学生会用不等式性质2、3,将不等式进行简单变形。
(2)通过不等式性质的学习,使学生感受到“转化”思想在数学学习中的运用。
2、过程与方法:
让学生经历不等式性质2、3的探索过程,培养学生观察、分析、归纳能力。
3、情感态度与价值观:
让学生积极参与对数学问题的讨论,能从交流中获益,初步形成与他人合作学习的习惯。
不等式性质2、3,用不等式性质求解不等式。
不等式性质3的准确应用。
一、复习引入
1、叙述不等式的性质1。
2、如何运用“移项”把不等式进行变形?
请举例说明。
二、探索新知
我们已经经过实验,得到结论:
当不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变。
现在要问:
若不等式的两边都乘以(或除以)同一个不为零的数,不等式的方向是否也不变呢?
试一试
将不等式7>
4两边都乘以同一个数,比较所得的数的大小,用“<
”填空:
7×
3_______4×
3,
2_______4×
2,
1_______4×
1,
0_______4×
0,
(-1)_______4×
(-1),
(-2)_______4×
(-2),
(-3)_______4×
(-3),
………………………………………………
从中你能发现什么?
不等式的性质2如果a>
b,并且c>
0,那么ac>
bc。
不等式的性质3如果a>
b,并且c<
0,那么ac<
这就是说,不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;
不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。
与解方程一样,解不等式的过程,就是要将不等式变形成x>
a或x<
a的形式。
例2解不等式:
x>
-3;
(2)-2x<
6。
(1)不等式的两边都乘以2,不等号的方向不变,所以
x×
2>
(-3)×
得x>
-6。
(2)不等式的两边都除以-2(即乘以-
),不等式的方向改变,所以
-2x×
(-
)>
6×
),
-3。
这两小题中不等式的变形与方程的什么变形类似?
这里的变形,与方程变形中的“将未知数的系数化为1”相类似,它依据的是不等式的性质2或3,要注意不等式两边乘以(或除以)同一个负数时要改变不等式的方向,这是与解方程系数化为1不同的地方。
三、巩固练习
P47练习3、4
四、小结
应用不等式性质1解不等式可以对照解一元一次方程中的移项;
应用不等式性质2、3来解不等式时,要注意区别,特别是不等式两边乘以(或除以)同一个负数时要改变不等式的方向,不能简单地照搬解方程中未知数系数化1的做法。
五、作业布置
P49习题8.21.(3)(4)、3
3.解一元一次不等式
(1)使学生了解一元一次不等式的概念。
(2)使学生掌握一元一次不等式的解法。
(3)使学生能用一元一次不等式解决简单的实际问题。
(1)让学生通过联系方程的基本变形,自主探索解一元一次不等式的一般步骤,体会数学学习中比较和转化的作用。
(2)通过自主探索一元一次不等式在实际问题中的应用,感受数学建模思想。
激发学生学习数学的兴趣和热情,培养学生运用数学知识分析问题,解决实际问题的意识,以及主动探索合作交流的精神。
一元一次不等式的解法。
在实际问题中建立一元一次不等式的数量关系。
1、不等式的性质有哪些?
2、解不等式的过程,要将不等式变形成什么样的形式?
请同学们观察前面已学过的不等式:
x+2>
5,x-7<
8,3x<
2x-3.它们有什么共同的特点?
观察、思考、交流,归纳得到:
它们都只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的系数是1。
具有以上共同点的不等式叫做一元一次不等式。
例3解下列不等式,并将解集在数轴上表示出来:
(1)2x-1<
4x+13;
(2)2(5x+3)≤x-3(1-2x).
(1)2x-1<
4x+13,
2x-4x<
13+1,
-2x<
14,
x>
-7.
它在数轴上的表示如图8.2.4.
(2)2(5x+3)≤x-3(1-2x),
10x+6≤x-3+6x,
3x≤-9,
x≤-3.
它在数轴上的表示如图8.2.5
例4当x取何值时,代数式
与与
的值的差大于1?
根据题意,得
-
>
2(x+4)-3(3x-1)>
6,
2x+8-9x+3>
-7x+11>
-7x>
-5,
得x<
所以,当x取小于
的任何数时,代数式
的值的差大于1。
问题2
在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有20道题,对于每一道题,答对得10分,答错或不答扣5分,总得分不少于80分者通过预选赛。
育才中学25名学生通过了预选赛,它们分别可能答对了多少道题?
实践与探索
(1)试解决这个问题(不限定方法)。
你是用什么方法解决的?
有没有其他方法?
与你的同伴讨论和交流一下。
(2)如果你是利用不等式的知识解决这个问题的,在得到不等式的解集以后,如何给出原问题的答案?
应该如何表述?
P48练习1、2
P49练习1、2
1、解一元一次不等式的解题步骤是什么?
2、在解一元一次不等式时应注意什么?
让学生讨论、交流,总结解一元一次不等式的解题步骤:
(1)去分母;
(2)去括号;
(3)移项;
(4)合并同类项;
(5)系数化为1。
在解题时应注意正确应用不等式性质3,防止不等式变化上的错误。
P50习题8.25
8.3一元一次不等式组
(一)
(1)了解一元一次不等式组和它的解集的概念。
(2)使学生掌握一元一次不等式组的解法。
(3)会应用数轴确定一元一次不等式组的解集,感受数形结合的作用,逐步熟悉和掌握数形结合的思想方法。
(1)让学生经历通过具体问题抽象出不等式组的过程,即经历知识的拓展过程。
(2)结合实际问题,让学生体会到数学学习的内容是现实的、有意义的、富有挑战性的。
让学生体验成功的感受,增强学好数学的信心。
一元一次不等式的概念和它的解法。
确定两个不等式的解集的公共部分。
1、什么是一元一次不等式?
2、什么是一元一次不等式的解集?
3、求解一元一次不等式有哪些步骤?
4、解下列不等式,并把它的解集在数轴上表示出来。
(1)4x-3<
1-2x;
(x<
)
(2)5+2x
3x-6;
(x
11)
(3)3(x-2)>
4(x-3);
6)(4)
;
-2)
问题3
用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水,估计积存的污水不少于1200吨且不超过1500吨,那么大约需要多少时间才能将污水抽完?
分析:
设需要x分钟才能将污水抽完,那么总的抽水量为30x吨。
由题意,积存的污水在1200吨到1500吨之间,应有
1200≤30x≤1500
上式实际上包括了两个不等式
30x≥1200
和30x≤1500
它说明了在这个实际问题中,未知量x应同时满足这两个条件。
我们把这两个一元一次不等式合在一起,就得到一个一元一次不等式组:
①②
分别求这两个不等式的解集,得
①
②
同时满足不等式①、②的未知数x应是这两个不等式解集的公共部分。
在数轴上表示这两个不等式的解集(图8.3.1),可知其公共部分是40和50之间的数(包括40和50),记作40≤x≤50。
这就是所列不等式组的解集。
所提问题的答案为:
大约需要40到50分钟才能将污水抽完。
几个不等式的解集的公共部分,叫做由它们所组成的不等式组的解集。
解一元一次不等式组,通常可以先分别求出不等式组中每一个不等式的解集,再求出它们的公共部分。
利用数轴可以直观地帮助我们求出不等式组的解集。
例1解不等式组:
解不等式①,得x>
2
解不等式②,得x>
4
在数轴上表示不等式①、②的解集,如图8.3.2,可知所求不等式组的解集是
x>
P52练习1、2、3、4
1、什么叫一元一次不等式组?
2、填好下表空格:
不等式组
数轴表示(a<
b)
解集
法则
P54习题8.31
8.3一元一次不等式组
(二)
(1)巩固和提高一元一次不等式组的解法。
(2)应用一元一次不等式组解有关的简单应用题。
通过对实际问题的探索和交流,让学生体会到对题意分析和理解是建立数学模型的基础,并认识到现实世界中的数量关系是错综复杂的。
让学生充分发表意见,并鼓励学生提出不同的解法,培养学生能够与他人交流的习惯。
一元一次不等式的解法和一元一次不等式的简单应用。
确定一元一次不等式的解法和一元一次不等式的简单应用。
1、什么叫一元一次不等式组?
2、什么叫一元一次不等式组的解集?
一元一次不等式组的解法步骤是什么?
3、解下列不等式组:
例(补充)当x取哪些整数时,不等式2(x+2)<
x+5与不等式3(x-2)+9>
2x同时成立?
分析:
先求出两个不等式解集的公共部分,再由公共部分求出符合条件的整数值。
问题4
小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板,爸爸体重为72千克,坐在跷跷板的一端;
体重只有妈妈一般的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的一端。
这时,爸爸的一端仍然着地。
后来,小宝借来一副质量为6千克的哑铃,加在他和妈妈坐的一端,结果,爸爸被高高地跷起。
猜猜看,小宝的体重约多少千克(精确到1千克)?
问题1:
问题的已知条件有哪些?
问题2:
从跷跷板的状况可以概括出怎样的不等关系?
问题3:
用什么方法可以解决这个问题?
设小宝的体重为x千克,则妈妈的体重为2x千克,根据题意,得:
解这个不等式组,得:
22<
答:
小宝的体重在22千克至24千克之间。
P53练习1、2、3、4
四、小结:
本节课复习巩固了一元一次不等式组的解法,在掌握了一元一次不等式组的基础上,对应用一元一次不等式组解决有关实际问题进行了探索和研究。
我们现在所学的方程和不等式基本知识只是认识客观世界的基础,同学们要很好地打好这个基础,为将来进一步学习估准备。
五、作业布置:
P54习题8.32、3
小结与复习
(1)使学生进一步认识不等式的意义,了解不等式的性质,并能进行简单的应用。
(2)使学生进一步理解不等式解集的意义,会解简单的一元一次不等式,并能在数轴上表示出不等式的解集。
会解由含两个相同未知数的一元一次不等式组成的不等式组,会利用数轴求出不等式组的解集。
体会类比、化归思想的作用。
(3)能根据简单的实际问题中的数量关系,列出一元一次不等式或一元一次不等式组成的不等式组并求解。
能从所找到的不等式解集中,确定符合题意的解,并根据实际意义检验它是否合理。
(1)使学生经历实际问题中的数量关系的分析、抽象的过程,体会到现实世界中的各种各样错综复杂的数量关系,有相等关系和不等关系。
(2)进一步强化学生对数学学习中经历“问题情境---建立模型---回顾拓展”过程的感受和体会,进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。
(3)引导学生有目的梳理知识,形成这一章完整的知识体系。
使学生在数学活动中学会总结、归纳,形成反思自己学习过程的意识,积累学习数学的经验。
一元一次不等式(组)解集的确定;
以及不等式的性质的运用。
一、知识结构
二、注意事项
1.不等式的只是源于生活实际。
要学会分析现实世界中量与量的不等关系,并抽象出不等式。
2.解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,不等式的变形要注意与方程的变形相对照,特别是注意不等式的性质3:
当不等式两边都乘以同一个负数时,不等号要改变方向。
3.将一元一次不等式的解集在数轴上表示出来,可以加深对一元一次不等式和一元一次不等式组的解集的理解,也便于直观地得到一元一次不等式组的解集。
P55复习题2、3、4、5、6、8、9、10
四、作业布置
P55复习题1、7、11
- 配套讲稿:
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- 关 键 词:
- 第八章 一元一次不等式 Microsoft Word 文档 第八 一元 一次 不等式