矩形的判定和性质Word文档格式.docx
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对称性
矩形
对边平行且相等
四个角都是直角
互相平分且相等
轴对称,中心对称
〔三〕矩形的判定:
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形;
2.对角线相等的平行四边形是矩形;
3.有三个角是直角的四边形是矩形;
4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
〔四〕直角三角形的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
〔如图:
OB=OC=OA=
AC〕
二、例题讲解
考点一:
矩形的根本性质
例1:
如图,在矩形ABCD中,AE⊥BD,垂足为E,∠DAE=2∠BAE,那么,∠BAE=________,
∠EAO=________,假设EO=1,那么OD=______,AB=________,AD=________.
练习1:
矩形ABCD中,,对角线AC与BD相交于点O,BC的长为6,△OBC的周长是15,求矩形的对角线的长度.
练习2:
如图,在矩形ABCD中,CE⊥BD,E为垂足,∠DCE∶∠ECB=3∶1,求∠ACD.
例2:
如图,矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形,如果四个小三角形的周长的和是86cm,对角线长是13cm,那么矩形的周长是多少"
练习1:
矩形ABCD中,,对角线AC与BD相交于点O,矩形ABCD的面积是12cm2,AB=4cm,求矩形的对角线长。
例3:
如图,在矩形ABCD中,相邻两边AB、BC分别长15cm和25cm,内角∠BAD的角平分线与边BC交于点E.试求BE与CE的长度.
如图,在矩形ABCD中,E是边AD上的一点.试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系.
例4:
〔2009年广西钦州〕:
如图1,在矩形ABCD中,AF=BE.求证:
DE=CF;
如图,矩形ABCD中,E为AD中点,∠BEC为直角,矩形ABCD的周长是20,求AD、AB的长。
〔2009年衢州〕如图,四边形ABCD是矩形,△PBC和△QCD都是等边三角形,且点P在矩形上方,点Q在矩形内.
求证:
〔1〕∠PBA=∠PCQ=30°
;
〔2〕PA=PQ.
考点二:
面积法
如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,BE⊥AC于E.试求出BE的长.
如图,矩形ABCD中,E点在BC上,且AE平分BAC。
假设BE=4,AC=15,那么AEC面积为〔〕
A.15B.30C.45D.60。
如图:
在矩形ABCD中,两条对角线AC、BD相交于点O,AB=4cm,AD=
cm.
(1)判定△AOB的形状.
〔2〕计算△BOC的面积.
练习3:
如图,将矩形ABCD沿着直线BD折叠使点C落在点C'处,BC'交AD于E,AD=8,AB=4,BE=5,求△BED的面积。
考点三:
矩形对角线平分且相等
矩形的两条对角线相交成60°
角,较短边与一条对角线之和为15cm,那么矩形的对角线长为
cm。
矩形的对角线所成的角之一是65°
,那么对角线与各边所成的角度是〔〕.
A.57.5°
B.32.5°
C.57.5°
、33.5°
D.57.5°
、32.5°
矩形两条对角线的夹角是120°
,短边长4cm;
那么矩形的对角线长;
如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,∠AOB=120°
,AD=5cm,那么AC=。
考点四:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
如图,△ABC中,∠A=2∠B,CD是△ABC的高,E是AB的中点,求证:
DE=
AC.
如图,矩形ABCD的对角线AC交BD于D,E为CB延长线上一点,连接AE,M为AE中点且BM⊥DM于点M,
(1)连接OM,假设AD=8,CD=6,求OM的长。
(2)求证:
AD+BE=2AO
角平分线
,四边形ABCD是矩形,CH⊥BD,H为垂足,AE是∠BAD的平分线,交HC的延长线于E。
求证:
CE=BD。
矩形ABCD,AC、BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC于E,假设∠CAE=15°
,求∠BOE的度数;
〔2009年佳木斯中考卷第25题〕如图,将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,使点B落到点B′的位置,AB′与CD交于点E.
〔1〕试找出一个与△AED全等的三角形,并加以证明.
〔2〕假设AB=8,DE=3,P为线段AC上的任意一点,PG⊥AE于G,PH⊥EC于H,试求PG+PH的值,并说明理由.
如图,E为矩形ABCD边AD上一点,BE=DE,P为BD上一点,PF⊥BE于F,PG⊥AD于G。
PF+PG=AB。
课后练习:
1、矩形的两条对角线的夹角为60°
,一条对角线与短边的和为15,对角线长是________,两边长分别等于________
2、矩形周长为36cm,一边中点与对边两顶点的连线所夹的角是直角,那么矩形各边长是______.
3、如图,矩形ABCD中,E是BC中点,∠BAE=30°
,AE=4,那么AC=______.
4、如图,矩形ABCD中,AB=2BC,在CD上取上一点M,使AM=AB,那么∠MBC=_______.
5、:
如图,矩形ABCD中,EF⊥CE,EF=CE,DE=2,矩形的周长为16,求AE的长.
6、将矩形纸片ABCD按如下图的方式折叠,得到菱形AECF.假设AB=3,那么BC的长为〔〕
A.1 B.2
C.
D.
7、如图1,在矩形ABCD中,动点P从点B出发,沿BC,CD,DA运动至点A停顿.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y,如果y关于x的函数图象如图2所示,那么△ABC的面积是〔〕
A.10
B.16
C.18
D.20
8、〔2009年遂宁〕如图,矩形ABCD中,AB=4cm,AD=10cm,点P在边BC上移动,点E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点.
⑴求证:
EF+GH=5cm;
⑵求当∠APD=90o时,
的值.
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