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1.平移的概念和特征

在平面内，一个图形沿着某个方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移．在平移过程中，对应点所连的线段也可能在一条直线上，平移的方向，不一定是水平的.

平移的特征：

①对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应点所连线段平行（或在同一条直线上）且相等；

②对应角分别相等且对应角的两边分别平行，方向一致；

③平移后的图形的形状和大小都没有发生变化.

2.平行作图的步骤

①确定平移的方向和平移的距离，②根据对应点所连线段平行（或在同一条直线上）且相等作出图形各顶点的对应点，③按原图形的连结方式连结各点.

知识点一：

平移的特征

例1.下列几种运动中属于平移的有（）

①水平运输带上的砖的运动；

②笔直的高速公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；

③升降机上下做机械运动；

④足球场上足球的运动.

A.1种

B.2种

C.3种

D.4种

思路分析：

题意分析：

本题考查实际生活中的平移问题.

解题思路：

决定平移的两个要素是距离和方向，其中方向是不变的（直线型），不能是不断变化的（曲线型）.

解答过程：

①②③都是平移，④中的足球属于曲线运动，不是平移．故选C.

解题后的思考：

平移是按一定的方向移动一段距离，方向不能不断地变化.

例2.将图1所示的图案通过平移后可以得到的图案是（）

本题考查平移的定义.

根据平移的特征，图B、C、D均不正确.

A

平移是指一个图形沿着某个方向移动一定的距离，在移动过程中方向不能变.

例3.如图所示，三角形ABC平移后得到三角形A’B’C’，请在图中画出平移的方向，量出平移的距离，指出对应顶点和对应线段.

只有找准对应顶点和对应线段，才能正确解决平移的问题.

寻找对应顶点和对应线段的基本依据是：

对应点的连线平行且相等，对应线段平行且相等.

从点C沿CC’到点C’的方向便是平移的方向．量得平移的距离约为1.2cm（即CC’的长约等于1.2cm）.

对应顶点：

A→A’，B→B’，C→C’．

对应线段：

AB→A’B’，BC→B’C’，AC→A’C’．

在找对应顶点和对应线段时，可根据平移前后图形的特征去找．如在三角形ABC中BC边最长，在三角形A’B’C’中B’C’边最长，这两条线段就是对应线段.

例4.如图所示，五边形ABCDE平移后得到五边形FGHMN，填空：

（1）AB＝__________；

（2）MN＝__________；

（3）∠E＝__________；

（4）∠H＝__________；

（5）EN＝__________＝__________＝__________＝__________.

此题虽然是找相等的线段、相等的角的问题，但实质上，还是找对应线段、对应顶点、对应角的问题.

一般情况下都能直观地观察出来，观察确有困难时，可采用量线段大小，量角大小，量线段是否平行来判断.

（1）FG；

（2）DE；

（3）∠N；

（4）∠C；

（5）AFBGCHDM

三角形、四边形、五边形平移后找对应边、对应顶点好找，但若是六边形、七边形或边更多时，就需格外注意了.

小结：

平移不改变图形的大小和形状，只改变图形的位置，经过平移后对应线段、对应角分别相等，连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等.

知识点二：

平移作图

例5.如图所示，平移线段AB，使点A移动到点A’的位置.

本题考查平移作图.

平移一个图形，首先要确定它移动的方向和距离，连接AA’，这个问题便获得解决．根据平移后的图形与原来图形的对应线段平行且相等，容易画出所求的线段.

解法一：

如图所示，连接AA’，过B作BB’∥AA’，且BB’＝AA’，得到点B’，连接A’B’，线段A’B’即为所求.

解法二：

如图所示，过点A’作A’B’∥AB，且A’B’＝AB，线段A’B’即为所求.

解法一根据的是平移后对应点所连线段平行且相等，解法二根据的是平移后的线段与原线段平行且相等的特征．注意：

线段本身的方向在移动过程中也不能改变.

例6.如图所示，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置，平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格）.

本题考查平移作图，方法可能不唯一.

要使房子移到位于左上角的位置并且不能出格，应将房子先向左移9个格至左边缘后，再上移5个格至上边缘；

或先向上移5个格至上边缘，再向左移9个格至左边缘.

如下图所示：

移至左上角可分解为两次移动（水平方向和竖直方向）叠加而成的.

例7.如图所示，平移等边三角形ABC，平移方向是由P到Q，平移距离为三角形ABC的边长.

三角形ABC的三边长都相等，平移的距离等于三角形ABC的边长，平移的方向已经给出.

分别过A、B、C三点画射线PQ的平行线，再在各条平行线上截取线段，且所截线段等于三角形ABC边长AB（或BC或CA）.

①分别过A、B、C三点画射线PQ的平行线.

②在三条平行线的PQ方向上截取线段AA’＝BB’＝CC’＝AB（或BC或CA）

三角形A’B’C’就是三角形ABC平移后的三角形.

本题还可以这样解：

①过点A作AA’∥PQ，截取AA’＝AB．②过点A’作A’B’∥AB，且A’B’＝AB．③过点A’作A’C’∥AC，且A’C’＝AC．④连接B’C’．三角形A’B’C’就是平移后的三角形.

例8.如图所示，请将三角形ABC沿着北偏东60°

方向平移2厘米，画出平移后的三角形A’B’C’.

应先选定三角形ABC的一个顶点作参照点，确定平移方向.

选点A：

过A点作方向线，画射线AM，使AM在北偏东60°

方向上，再在射线AM上截取AA’＝2cm；

B’、C’两点通过平移得到.

（1）过点A作方向线（上北、下南、左西、右东），

（2）过点A画∠NAM＝60°

，

（3）在射线AM上截取AA’＝2cm，

（4）依次作平移：

BB’∥AA’，且BB’＝AA’；

CC’∥AA’，且CC’＝AA’，得B’、C’．

连结A’B’，B’C’，C’A’得三角形A’B’C’为所求三角形，如图所示．

本题中的平移方向是以方位角的形式给出的，先选一个点作参照点，再画出南北、东西的方向线，画出方位角.

上面几例都涉及了平移的方向问题，我们把图形的移动方向问题归结为图形上一个点的移动方向问题，一般来说，图形的移动方向是从点A到A’的方向就是这个意思．从点A到A’的方向实际上就是一条线段AA’的方向.

对于平移我们可以这样理解：

把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．解答平移问题应紧紧围绕“形状和大小完全相同”这一特点去观察、比较，从线段、角入手寻找问题的突破口.

（答题时间：

60分钟）

一、选择题

1.下列命题错误的是（）

A.若线段a平移后得到线段b，则a∥b（或共线）

B.若线段a平移后得到线段b，则a＝b

C.一个五角星平移后还是五角星，但大小有可能不同

D.平移的过程中，任何对应的角的大小都不变

2.下列关于平移的特征叙述正确的是（）

A.平移后的图形与原图形的对应线段必定互相平行

B.平移后对应点所连的线段必定互相平行

C.平移前线段的中点经过平移之后，可能不是新线段的中点

D.平移前后图形的形状与大小都没有发生变化

3.通过平移得到的新图形中的每一点与原图形中的对应点的连线（）

A.平行B.相等C.共线D.平行（或共线）且相等

4.如图所示，下列哪个图形中，三角形A1B1C1是三角形ABC经过平移得到的（）

5.线段AB经过平移得到线段CD，若CD＝5cm，则AB等于（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

6.下列各组图形，可经平移变换由一个图形得到另一个图形的是（）

*7.平移直线a使其经过直线a外一点P的直线有（）

A.无数条B.两条C.有且只有一条D.不存在

**8.如图所示，王飞打算在院子里种上蔬菜，已知院子为东西长32m，南北宽20m的长方形．为了行走方便，要修筑同样宽的三条道路：

东西两条，南北一条，南北道路垂直于东西道路，余下的部分要分别种上西红柿、青椒、黄瓜等蔬菜．若每条道路的宽均为1m，则蔬菜的总种植面积是（）

A.540m2B.558m2C.600m2D.640m2

二、填空题

9.将线段AB平移1cm，得到线段A’B’，则点A到点A’的距离是__________.

10.列举生活中两个平移的例子：

__________，__________.

11.平移后的图形与原图形的对应线段平行且__________，对应角__________，图形的__________都未改变．在平移过程中对应线段也可以在同一条__________上.

12.平移后的图形与原图形对应点的连结线段__________且相等，有时对应线段也在__________.

13.如图所示，平移线段AB到CD的位置，则AB＝__________，CD∥__________，BD＝__________.

*14.将一条2cm的斜线段向右平移3cm，连结对应点，得到的四边形的周长是__________cm.

三、解答题

15.如图所示，将字母A按箭头所指的方向平移1cm.

16.如图所示，平移四边形ABCD，使点A移动到点C，记作A1点，画出平移后的四边形A1B1C1D1.

*17.如图所示，点A、B、C分别平移到了点D、E、F，请你指出图中有哪些相等的线段和相等的角？

*18.如图是国际奥林匹克运动会会旗（五环旗）的标志图案，它象征着五大洲体育健儿为发展人类的体育事业而团结起来，携手拼搏．观察此图，回答下列问题：

此图案可以把上排中间一个圆经过多少次平移变换而得到？

指出平移的方向和平移的距离.

四、拓广探索

**19.如图所示的直角三角形ABC.

（1）沿BC方向平移BC长度作第一次平移；

（2）将直角三角形ABC沿BA方向、平移BA长度作第二次平移，平移后得到的两个三角形与原三角形组成一个新的图形，探索这个图形的特征．新图形的面积是原直角三角形面积的多少倍？

为什么？

1.C

2.D解析：

平移后的图形与原图形的对应线段有可能在一条直线上，对应点所连线段也有可能在一条直线上.

3.D4.A5.C6.A

7.C解析：

平移后的直线与原直线a平行，且经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故选C.

8.B解析：

将东西向的两条路平移到长方形的一边，将南北向的道路也平移到长方形的一边．种植蔬菜的面积为（32－1）×

（20－2）＝558m2.

9.1cm

10.电梯、推拉窗等

11.相等相等形状和大小直线

12.平行同一条直线上

13.CDABAC14.10

15.略．

16.解：

如图所示：

17.解：

相等的线段有：

AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，AD＝BE＝CF；

相等的角有：

∠BAC＝∠EDF，∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE.

18.解：

可以将图看作一个圆经过四次平移得到的，平移方向和平移距离由圆心间的连线确定.

**19.解：

如图所示，平移两次后组成一个大的直角三角形，大直角三角形和小直角三角形比较，底边和高都变为原来的2倍，故面积是原来的4倍.