中考数学专题2待定系数法应用探讨2Word文档格式.docx
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∵解得或
∴
〖注本题实际用十字相乘▲答案
∴可设
∵
比较两边系数得
联立①②得a4b-1代入③式适合
2012四川南充3分分解因式▲
2012山东潍坊3分分解因式x34x212x▲贵州黔东南4分分解因式▲的形式其中kb为待定系数且k≠0而二次函数可以根据题目所给条件的不同设成一般式yax2bxcabc为待定系数顶点式yax-h2kakh为待定系数交点式yax-x1x-x2ax1x2为待定系数三类形式根据题意可以是语句形式也可以是图象形式确定出abckx1x2等待定系数求出函数解析式
典型例题2012江苏南通3分无论a取什么实数点Pa-12a-3都在直线l上Qmn是直线l上的点则2m-n+32的值等于▲.
答案16
考点待定系数法直线上点的坐标与方程的关系求代数式的值
分析∵由于a不论为何值此点均在直线l上
∴令a0则P1-1-3再令a1则P20-1
设直线l的解析式为ykxbk≠0
∴解得
∴直线l的解析式为y2x-1
∵Qmn是直线l上的点∴2m-1n即2m-n1
∴2m-n+3213216
例22012山东聊城7分如图直线AB与x轴交于点A10与y轴交于点B0-2.
1求直线AB的解析式
2若直线AB上的点C在第一象限且S△BOC2求点C的坐标.
答案解1设直线AB的解析式为ykxb
∵直线AB过点A10点B0-2
∴解得
∴直线AB的解析式为y2x-2
2设点C的坐标为xy
∵S△BOC2∴2x2解得x2
∴y2×
2-22
∴点C的坐标是22
考点待定系数法直线上点的坐标与方程的关系
分析1设直线AB的解析式为ykxb将点A10点B0-2分别代入解析式即可组成方程组从而得到AB的解析式
2设点C的坐标为xy根据三角形面积公式以及S△BOC2求出C的横坐标再代入直线即可求出y的值从而得到其坐标2012湖南岳阳8分游泳池常需进行换水清洗图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程排水--清洗--灌水中水量ym3与时间tmin之间的函数关系式.
1根据图中提供的信息求整个换水清洗过程水量ym3与时间tmin的函数解析式
2问排水清洗灌水各花多少时间
答案解1排水阶段设解析式为yktb
∵图象经过01500251000
∴解得∴排水阶段解析式为y-20t1500
清洗阶段y0
灌水阶段设解析式为yatc
∵图象经过1951000950
∴解得∴灌水阶段解析式为y10t-950
2∵排水阶段解析式为y-20t1500∴令y0即0-20t1500解得t75
∴排水时间为75分钟
清洗时间为95-7520分钟
∵根据图象可以得出游泳池蓄水量为1500m3
∴150010t-950解得t245故灌水所用时间为245-95150分钟
考点一次函数的应用待定系数法直线上点的坐标与方程的关系
分析1根据图象上点的坐标利用待定系数法分别得出排水阶段解析式以及清洗阶段y0和灌水阶段解析式即可
2根据1中所求解析式即可得出图象与x轴交点坐标即可得出答案
例42012湖南娄底3分已知反比例函数的图象经过点-12则它的解析式是
A.B.C.D.
答案B
考点待定系数法求反比例函数解析式曲线上点的坐标与方程的关系
分析设反比例函数图象设解析式为
将点-12代入得k-1×
2-2则函数解析式为故选B
例52012江苏连云港12分如图抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于AB两点与y轴交于点C点O为坐标原点点D为抛物线的顶点点E在抛物线上点F在x轴上四边形OCEF为矩形且OF=2EF=3
1求抛物线所对应的函数解析式
2求△ABD的面积
3将△AOC绕点C逆时针旋转90°
点A对应点为点G问点G是否在该抛物线上请说明理由.
答案解1∵四边形OCEF为矩形OF=2EF=3
∴点C的坐标为03点E的坐标为23.
把x=0y=3x=2y=3分别代入y=-x2+bx+c得
解得
∴抛物线所对应的函数解析式为y=-x2+2x+3
2∵y=-x2+2x+3=-x-12+4
∴抛物线的顶点坐标为D14∴△ABD中AB边的高为4
令y=0得-x2+2x+3=0解得x1=-1x2=3
∴AB=3--1=4
∴△ABD的面积=×
4×
4=8
3如图△AOC绕点C逆时针旋转90°
CO落在CE所在的直线上由12可知OA=1OC3
∵点A对应点G的坐标为32
∵当x=3时y=-32+2×
3+3=0≠2
∴点G不在该抛物线上
考点二次函数综合题矩形的性质曲线图上点的坐标与方程的关系解一元二次方程二次函数的性质旋转的性质
分析1在矩形OCEF中已知OFEF的长先表示出CE的坐标然后利用待定系数法确定该函数的解析式
2根据1的函数解析式求出ABD三点的坐标以AB为底D点纵坐标的绝对值为高可求出△ABD的面积
3根据旋转条件求出点A对应点G的坐标然后将点G的坐标代入抛物线的解析式中直接进行判定即可
例2012江苏无锡2分若抛物线yax2bxc的顶点是A21且经过点B10则抛物线的函数关系式为 ▲ .
答案y-x24x-3
考点待定系数法曲线上点的坐标与方程的关系
分析∵抛物线yax2bxc的顶点是A21∴可设抛物线的解析式为yax-221
又∵抛物线yax-221经过点B10∴10满足yax-221
∴将点B10代入yax-22得0a1-22即a-1
∴抛物线的函数关系式为y-x-221即y-x24x-3
例72012浙江宁波12分如图二次函数yax2bxc的图象交x轴于A-10B20交y轴于C0-2过AC画直线.
1求二次函数的解析式
2点P在x轴正半轴上且PAPC求OP的长
3点M在二次函数图象上以M为圆心的圆与直线AC相切切点为H.
①若M在y轴右侧且△CHM∽△AOC点C与点A对应求点M的坐标
②若⊙M的半径为求点M的坐标.
答案解1∵二次函数yax2bxc的图象交x轴于A-10B20
∴设该二次函数的解析式为yax1x-2
将x0y-2代入得-2a010-2解得a1
∴抛物线的解析式为yx1x-2即yx2-x-2
2设OPx则PCPAx1
在Rt△POC中由勾股定理得x222x12
解得x即OP
3①∵△CHM∽△AOC∴∠MCH∠CAO
i如图1当H在点C下方时
∵∠MCH∠CAO∴CM‖x轴∴yM-2
∴x2-x-2-2解得x10舍去x21
∴M1-2
ii如图2当H在点C上方时
∵∠M′CH∠CAO∴PAPC
由2得M′为直线CP与抛物线的另一交点
设直线CM′的解析式为ykx-2
把P0的坐标代入得k-20解得k
∴yx-2
由x-2x2-x-2解得x10舍去x2
此时y
∴M′
②在x轴上取一点D如图3过点D作DE⊥AC于点E使DE
在Rt△AOC中AC
∵∠COA∠DEA90°
∠OAC∠EAD
∴△AED∽△AOC
∴即解得AD2
∴D10或D-30
过点D作DM‖AC交抛物线于M如图
则直线DM的解析式为y-2x2或y-2x-6
当-2x-6x2-x-2时即x2x40方程无实数根
当-2x2x2-x-2时即x2x-40解得
∴点M的坐标为或
考点二次函数综合题待定系数法曲线上点的坐标与方程的关系勾股定理平行的判定和性质相似三角形的判定和性质解一元二次方程
分析1根据与x轴的两个交点AB的坐标故设出交点式解析式然后把点C的坐标代入计算求出a的值即可得到二次函数解析式
2设OPx然后表示出PCPA的长度在Rt△POC中利用勾股定理列式然后解方程即可
3①根据相似三角形对应角相等可得∠MCH∠CAO然后分i点H在点C下方时利用同位角相等两直线平行判定CM‖x轴从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同是-2代入抛物线解析式计算即可ii点H在点C上方时根据2的结论点M为直线PC与抛物线的另一交点求出直线PC的解析式与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标
②在x轴上取一点D过点D作DE⊥AC于点E可以证明△AED和△AOC相似根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度然后分点D在点A的左边与右边两种情况求出OD的长度从而得到点D的坐标再作直线DM‖AC然后求出直线DM的解析式与抛物线解析式联立求解即可得到点M的坐标
12012上海市10分某工厂生产一种产品当生产数量至少为10吨但不超过50吨时每吨的成本y万元吨与生产数量x吨的函数关系式如图所示.
1求y关于x的函数解析式并写出它的定义域
2当生产这种产品的总成本为280万元时求该产品的生产数量.
注总成本每吨的成本×
生产数量
22012山东菏泽7分如图一次函数的图象分别与轴轴交于点AB以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC∠BAC90°
.求过BC两点直线的解析式.
32012甘肃兰州4分近视眼镜的度数y度与镜片焦距xm成反比例已知400度近视眼镜镜片的焦距为025m则y与x的函数关系式为
A.B.C.D.
42012广东佛山8分1任选以下三个条件中的一个求二次函数yax2+bx+c的解析式
①y随x变化的部分数值规律如下表
x-10123y03430
②有序数对-101430满足yax2+bx+c
③已知函数yax2+bx+c的图象的一部分如图.
2直接写出二次函数yax2+bx+c的三个性质.
52012山东莱芜12分如图顶点坐标为2-1的抛物线y=ax2+bx+ca≠0与y轴交于点C03
与x轴交于AB两点.
1求抛物线的表达式
2设抛物线的对称轴与直线BC交于点D连接ACAD求△ACD的面积
3点E为直线BC上一动点过点E作y轴的平行线EF与抛物线交于点F.问是否存在点E使
得以DEF为顶点的三角形与△BCO相似若存在求点E的坐标若不存在请说明理由.
2012山东潍坊11分如图已知抛物线与坐标轴分别交于A-2OB20C0-l三点过坐标原点O的直线ykx与抛物线交于MN两点.分别过点CD0-2作平行于x轴的直线.
1求抛物线对应二次函数的解析式
2求证以ON为直径的圆与直线相切
3求线段MN的长用k表示并证明MN两点到直线的距离之和等于线段MN的长.
近几年中考数学中常会出现一种寻找规律的题型其中有一类实际是高中数学中的等差数列或二阶等差数列由于它们的通项公式和递推法求二阶等差数列的通项因此在确定数列的通项时有一定的困难等差数列的通项公式其中a1为首项d为公差n为正整数若将n看成自变量an看成函数则an是关于n的一次函数若一列数a1a2an满足其中kb为常数则这列数是二阶等差数列即每一后项减去前项得到一新的数列这一新数列是等差数列它的通项是关于n的二次函数我们过用待定系数法确定函数解析式由于数列是特殊的函数因此我们可以用待定系数法来确定等差数列和二阶等差数列的通项典型例题2012湖北孝感3分20XX年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会今年的奥运会将在英国伦敦
举行奥运会的年份与届数如下表所示
年份1896190019042012届数123n表中n的值等于▲.答案30
考点分类归纳数字的变化类
分析寻找规律奥运会的届数x年份y二者之间的关系为
将1189621900代入得解得
∴检验31904符合∴奥运会的届数年份
当y2012时解得x30
∴n30
例22012山西省3分如图是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案则第n个图案中阴影小三角形的个数是▲.
答案4n-2
考点分类归纳图形的变化类待定系数法
分析由图可知第一个图案有阴影小三角形2个第二图案有阴影小三角形6个第三个图案有阴影小三角形1个即形成数对1226310
设阴影小三角形的个数与图案的次序之间的关系为
将1226代入得解得
∴检验310符合∴阴影小三角形的个
∴当xn时
∴第n个图案中阴影小三角形的个数是2012湖南永州3分我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列如1391933就是一个数列如果一个数列从第二个数起每一个数与它前一个数的差等于同一个常数那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做这个等差数列的公差.如246810就是一个等差数列它的公差为2.如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列则称这个数列为二阶等差数列.例如数列1391933它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是261014这是一个公差为4的等差数列所以数列1391933是一个二阶等差数列.那么请问二阶等差数列13713的第五个数应是 ▲ .
答案21
考点新定义分类归纳数字的变化类分析二阶等差数列13713二阶等差数列与次序之间的关系为
将112337代入得解得
∴检验413符合∴二阶等差数列
∴当x5时
∴二阶等差数列13713的第五个数应是练习题
12012山东济宁6分问题情境
用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放则第2012个图共有多少枚棋子
建立模型
有些规律问题可以借助函数思想来探讨具体步骤第一步确定变量第二步在直角坐标系中画出函数图象第三步根据函数图象猜想并求出函数关系式第四步把另外的某一点代入验证若成立则用这个关系式去求解.
解决问题
根据以上步骤请你解答问题情境.
2012江苏宿迁3分按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是▲
2012广西桂林3分下图是在正方形网格中按规律填成的阴影根据此规律则第n个图中阴影部
分小正方形的个数是▲.
2012青海省2分观察下列一组图形
它们是按一定规律排列的依照此规律第n个图形中共有▲个★.
52012浙江宁波6分用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放
1第5个图形有多少黑色棋子
2第几个图形有2013颗黑色棋子请说明理由.
六 待定系数法在几何问题中的应用在几何问题中常有一些比例问题如相似三角形对应边成比例平行线截线段成比例锐角三角函数等对于这类问题应用消除待定系数法通过设定待定参数把相关变量用它表示代入所求从而使问题获解
典型例题2012江苏南京2分如图菱形纸片ABCD中∠A600将纸片折叠点AD分别落在AD处且AD经过BEF为折痕当DFCD时的值为
ABCD
考点翻折变换折叠问题菱形的性质平行的性质折叠的性质锐角三角函数定义特殊角的三角函数值
分析延长DC与A′D′交于点M
∵在菱形纸片ABCD中∠A60°
∴∠DCB∠A60°
AB‖CD
∴∠D180°
-∠A120°
根据折叠的性质可得
∠A′D′F∠D120°
∴∠FD′M180°
-∠A′D′F60°
∵D′F⊥CD∴∠D′FM90°
∠M90°
-∠FD′M30°
∵∠BCM180°
-∠BCD120°
∴∠CBM180°
-∠BCM-∠M30°
∴∠CBM∠M
∴BCCM
设CFxD′FDFy则BCCMCDCFDFxy∴FMCMCF2xy
在Rt△D′FM中tan∠Mtan30°
例2012江苏扬州3分如图将矩形ABCD沿CE折叠点B恰好落在边AD的F处如果那么tan∠DCF的值是 ▲ .
答案
考点翻折变换折叠问题翻折对称的性质矩形的性质勾股定理锐角三角函数定义
分析∵四边形ABCD是矩形∴AB=CD∠D=90°
∵将矩形ABCD沿CE折叠点B恰好落在边AD的F处∴CF=BC
∵∴∴设CD=2xCF=3x
∴∴tan∠DCF=
例32012贵州铜仁10分如图定义在直角三角形ABC中锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切记作ctanα即ctanα根据上述角的余切定义解下列问题
1ctan30°
2如图已知tanA其中∠A为锐角试求ctanA的值.
例42012江苏镇江11分等边△ABC的边长为2P是BC边上的任一点与BC不重合连接AP以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE分别与边ABAC交于点MN如图1
1求证AMAN
2设BPx
①若BM求x的值
②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S求S与x之间的函数关系式以及S的最小值
③连接DE分别与边ABAC交于点GH如图2当x取何值时∠BAD150并判断此时以DGGHHE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形请说明理由
答案解1证明∵△ABC△APD和△APE都是等边三角形
∴ADAP∠DAP∠BAC600∠ADM∠APN600∴∠DAM∠PAN
∴△ADM≌△APNASA∴AMAN
2①易证△BPM∽△CAP∴
∵BNAC2CP2-x∴即
解得x或x
②四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积
∵△ADM≌△APN∴
如图过点P作PS⊥AB于点S过点D作DT⊥AP于点T则点T是AP的中点
在Rt△BPS中∵∠P600BPx
∴PSBPsin600xBSBPcos600x
∵AB2∴ASAB-BC2-x
∴当x1时S的最小值为
③连接PG设DE交AP于点O
若∠BAD150
∵∠DAP600∴∠PAG450
∵△APD和△APE都是等边三角形
∴ADDPAPPEEA
∴四边形ADPE是菱形
∴DO垂直平分AP
∴GPAG∴∠APG∠PAG450
∴∠PGA900
设BGt
在Rt△BPG中∠B600∴BP2tPG∴AGPG
∴解得t-1∴BP2t2-2
∴当BP2-2时∠BAD150
猜想以DGGHHE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形
∵四边形ADPE是菱形∴AO⊥DE∠ADO∠AEH300
∵∠BAD150∴易得∠AGO450∠HAO150∠EAH450
设AOa则ADAE2aODa∴DGDO-GO-1a
又∵∠BAD150∠BAC600∠ADO300∴∠DHA∠DAH750
∵DHAD2a
∴GHDH-DG2a--1a3-a
HE2DO-DH2a-2a2-1a
∴以DGGHHE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形
考点等边三角形的性质全等三角形的判定和性质相似三角形的判定和性质解一元二次方程锐角三角函数定义特殊角的三角函数值二次函数的最值菱形的判定和性质勾股定理和逆定理
分析1由△ABC△APD和△APE都是等边三角形可得边角的相等关系从而用ASA证明
2①由△BPM∽△CAP根据对应边成比例得等式解方程即可
②应用全等三角形的判定和性质锐角三角函数和勾股定理相关知识求得
用x的代数式表示S用二次函数的最值原理求出S的最小值
③由∠BAD150得到四边形ADPE是菱形应用相关知识求解
求出DGGHHE的表达式用勾股定理逆定理证明
2012江苏连云港3分小明在学习锐角三角函数中发现将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠使点A落在BC上的点E处还原后再沿过点E的直线折叠使点A落在BC上的点F处这样就可以求出675°
角的正切值是
A.+1B.+1C.25D.
2012广西河池3分如图在矩形ABCD中AD>AB将矩形ABCD折叠使点C与点A重合
折痕为MN连结CN.若△CDN的面积与△CMN的面积比为1∶4则的值为
A.2B.4C.D.
2012广西柳州10分如图AB是⊙O的直径AC是弦.
1请你按下面步骤画图画图或作辅助线时先使用铅笔画出确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑
第一步过点A作∠BAC的角平分线交⊙O于点D
第二步过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E.
第三步连接BD.
2求证AD2AEAB
3连接EO交AD于点F若5AC3AB求的值.
2012黑龙江哈尔滨10分已知在△ABC中∠ACB900点P是线段AC上一点过点A作AB的垂线交BP的延长线于点MMN⊥AC于点NPQ⊥AB于点QA0MN.
1如图l求证PCAN
2如图2点E是MN上一点连接EP并延长交BC于点K点D是AB上一点连接DK∠DKE∠ABCEF⊥PM于点H交BC延长线于点F若NP2PC3CKCF23求DQ的长.
2012四川泸州9分如图△ABC内接于⊙OAB是⊙O的直径C是的弧AD中点弦CE⊥AB
于点H连结AD分别交CEBC于点PQ连结BD
1求证P是线段AQ的中点
2若⊙O的半径为5AQ求弦CE的长
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