届高考数学二轮 空间中的平行与垂直关系2专题卷全国通用.docx
- 文档编号:2260819
- 上传时间:2022-10-28
- 格式:DOCX
- 页数:12
- 大小:156.85KB
届高考数学二轮 空间中的平行与垂直关系2专题卷全国通用.docx
《届高考数学二轮 空间中的平行与垂直关系2专题卷全国通用.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《届高考数学二轮 空间中的平行与垂直关系2专题卷全国通用.docx(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
届高考数学二轮空间中的平行与垂直关系2专题卷全国通用
专题限时集训(九)
空间几何体表面积或体积的求解
[建议A、B组各用时:
45分钟]
[A组 高考达标]
一、选择题
1.(2017·唐山一模)一个几何体的三视图如图913所示,则其体积为( )
图913
A.π+2 B.2π+4
C.π+4D.2π+2
A [该几何体为组合体,左边为直三棱柱,右边为半圆柱,其体积V=×2×1×2+π×12×2=2+π.故选A.]
2.已知三个球和一个正方体,第一个球与正方体各个面内切,第二个球与正方体各条棱相切,第三个球过正方体各顶点,则这三个球的体积之比为( )
A.1∶∶B.1∶2∶3
C.1∶2∶3D.1∶8∶27
C [设正方体的棱长为a,则其内切球半径R1=;棱切球直径为正方体各面上的对角线长,则半径R2=a;外接球直径为正方体的体对角线长,所以半径R3=a,所以这三个球的体积之比为13∶()3∶()3=1∶2∶3.故选C.]
3.(2016·郑州一模)一个几何体的三视图如图914所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为( )
【导学号:
04024089】
图914
A. B.
C.2 D.
B [由题意得,该几何体为如图所示的五棱锥PABCDE,∴体积V=××=,故选B.]
4.(2017·郑州二模)刘徽的《九章算术注》中有这样的记载:
“邪解立方有两堑堵,邪解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑,阳马居二,鳖臑居一,不易之率也.”意思是说:
把一块立方体沿斜线分成相同的两块,这两块叫做堑堵,再把一块堑堵沿斜线分成两块,大的叫阳马,小的叫鳖臑,两者体积比为2∶1,这个比率是不变的.如图915是一个阳马的三视图,则其表面积为( )
图915
A.2B.2+
C.3+D.3+
B [由三视图可得该四棱锥的底面是边长为1的正方形,有一条长度为1的侧棱垂直于底面,四个侧面三角形都是直角三角形,侧面积为2××1×1+2×××1=1+,底面积是1,所以其表面积为2+,故选B.]
5.(2016·湖北七市模拟)已知某几何体的三视图如图916所示,其中俯视图是正三角形,则该几何体的体积为( )
图916
A.B.2
C.3D.4
B [分析题意可知,该几何体是由如图所示的三棱柱ABCA1B1C1截去四棱锥ABEDC得到的,故其体积V=×22×3-××2×=2,故选B.]
二、填空题
6.(2017·济南一模)已知某几何体的三视图及相关数据如图917所示,则该几何体的体积为________.
图917
[由三视图得该几何体是底面半径为1,高为2的圆锥体的一半和一个底面半径为1,高为2的圆柱体的一半的组合体,所以其体积为××π×12×2+×π×12×2=.]
7.(2017·呼和浩特一模)已知S,A,B,C是球O表面上的点,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,AS=AB=1,BC=,则球O的表面积为________.
【导学号:
04024090】
5π [因为SA⊥平面ABC,AB⊥BC,所以四面体SABC的外接球半径等于以长、宽、高分别为SA,AB,BC三边长的长方体的外接球半径,因为SA=AB=1,BC=,所以2R==,则R=,故球O的表面积为S=4πR2=5π.]
8.已知三棱锥PABC的顶点P,A,B,C在球O的球面上,△ABC是边长为的等边三角形,如果球O的表面积为36π,那么P到平面ABC距离的最大值为________.
3+2 [依题意,边长是的等边△ABC的外接圆半径r=·=1.∵球O的表面积为36π=4πR2,
∴球O的半径R=3,∴球心O到平面ABC的距离d==2,∴球面上的点P到平面ABC距离的最大值为R+d=3+2.]
三、解答题
9.(2016·合肥二模)如图918,P为正方形ABCD外一点,PB⊥平面ABCD,PB=AB=2,E为PD的中点.
图918
(1)求证:
PA⊥CE;
(2)求四棱锥PABCD的表面积.
[解]
(1)证明:
取PA的中点F,连接EF,BF,则EF∥AD∥BC,即EF,BC共面.
∵PB⊥平面ABCD,∴PB⊥BC,又BC⊥AB且PB∩AB=B,
∴BC⊥平面PAB,∴BC⊥PA.3分
∵PB=AB,∴BF⊥PA,又BC∩BF=B,
∴PA⊥平面EFBC,∴PA⊥CE.6分
(2)设四棱锥PABCD的表面积为S,
∵PB⊥平面ABCD,∴PB⊥CD,又CD⊥BC,PB∩BC=B,
∴CD⊥平面PBC,∴CD⊥PC,即△PCD为直角三角形,8分
由
(1)知BC⊥平面PAB,而AD∥BC,∴AD⊥平面PAB,
故AD⊥PA,即△PAD也为直角三角形.
S▱ABCD=2×2=4,
S△PBC=S△PAB=×2×2=2,
S△PCD=S△PDA=×2×=2,10分
∴S表=S▱ABCD+S△PBC+S△PDA+S△PAB+S△PCD
=8+4.12分
10.如图919,一个侧棱长为l的直三棱柱ABCA1B1C1容器中盛有液体(不计容器厚度).若液面恰好分别过棱AC,BC,B1C1,A1C1的中点D,E,F,G.
图919
(1)求证:
平面DEFG∥平面ABB1A1;
(2)当底面ABC水平放置时,求液面的高.
【导学号:
04024091】
[解]
(1)证明:
因为D,E分别为棱AC,BC的中点,所以DE是△ABC的中位线,所以DE∥AB.又DE⊄平面ABB1A1,AB⊂平面ABB1A1,所以DE∥平面ABB1A1.同理DG∥平面ABB1A1,又DE∩DG=D,所以平面DEFG∥平面ABB1A1.6分
(2)当直三棱柱ABCA1B1C1容器的侧面AA1B1B水平放置时,由
(1)可知,液体部分是直四棱柱,其高即为原直三棱柱ABCA1B1C1容器的高,即侧棱长l,当底面ABC水平放置时,设液面的高为h,△ABC的面积为S,则由已知条件可知,△CDE∽△ABC,且S△CDE=S,所以S四边形ABED=S.9分
由于两种状态下液体体积相等,所以V液体=Sh=S四边形ABEDl=Sl,即h=l.
因此,当底面ABC水平放置时,液面的高为l.12分
[B组 名校冲刺]
一、选择题
1.(2017·重庆二模)某几何体的三视图如图920所示,则该几何体的体积为( )
图920
A. B.
C.D.
B [根据三视图可知,几何体是由一个直三棱柱与一个三棱锥所组成的,其中该直三棱柱的底面是一个直角三角形(直角边长分别为1,2,高为1);该三棱锥的底面是一个直角三角形(腰长分别为1,2,高为1),因此该几何体的体积为×2×1×1+××2×1×1=,选B.]
2.(2016·唐山二模)某几何体的三视图如图921所示,则该几何体的体积为( )
图921
A.6π+4B.π+4
C.D.2π
D [由三视图知,该几何体为一个底面半径为1,高为1的圆柱体,与底面半径为1,高为2的半圆柱体构成,所以该三视图的体积为π×12×1+π×12×2=2π,故选D.]
3.(2017·深圳二模)一个长方体被一个平面截去一部分后,所剩几何体的三视图如图922所示,则该几何体的体积为( )
【导学号:
04024092】
图922
A.24B.48
C.72D.96
B [由三视图知,该几何体是由长、宽、高分别为6,4,4的长方体被一个平面截去所剩下的部分,如图所示,其中C,G均为长方体对应边的中点,该平面恰好把长方体一分为二,则该几何体的体积为V=×6×4×4=48,故选B.
]
4.(2017·银川二模)点A,B,C,D在同一个球的球面上,AB=BC=,∠ABC=90°,若四面体ABCD体积的最大值为3,则这个球的表面积为( )
A.2πB.4π
C.8πD.16π
D [因为S△ABC=×()2=3为定值,要使四面体ABCD的体积最大,只需点D到平面ABC的距离h最大.由题意得S△ABCh≤3,解得h≤3,所以h的最大值为3.当h最大时,设AC的中点为E,因为AB=BC,AB⊥BC,所以AC=2,DE⊥平面ABC,且球心在DE上.设球的半径为r,则r2=(3-r)2+()2,解得r=2,所以这个球的表面积为4πr2=4π×22=16π,故选D.]
二、填空题
5.(2016·广州二模)一个六棱柱的底面是正六边形,侧棱垂直于底面,所有棱的长都为1,顶点在同一个球面上,则该球的体积为________.
【导学号:
04024093】
[由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r=1,其高h=1,∴球半径为R===,∴该球的体积V=πR3=×3π=.]
6.如图923,在三棱锥ABCD中,△ACD与△BCD都是边长为4的正三角形,且平面ACD⊥平面BCD,则该三棱锥外接球的表面积为________.
图923
π [取AB,CD的中点分别为E,F,连接EF,AF,BF,由题意知AF⊥BF,AF=BF=2,EF==,易知三棱锥的外接球球心O在线段EF上,
所以OE+OF=.
设外接球的半径为R,连接OA,OC,则有R2=AE2+OE2,R2=CF2+OF2,所以AE2+OE2=CF2+OF2,()2+OE2=22+OF2,
所以OF2-OE2=2,
又OE+OF=,则OF2=,R2=,所以该三棱锥外接球的表面积为4πR2=π.]
三、解答题
7.如图924,矩形CDEF和梯形ABCD互相垂直,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=CD,BE⊥DF.
图924
(1)若M为EA中点,求证:
AC∥平面MDF;
(2)若AB=2,求四棱锥EABCD的体积.
[解]
(1)证明:
设EC与DF交于点N,连接MN,
在矩形CDEF中,点N为EC中点,
因为M为EA中点,所以MN∥AC.2分
又因为AC⊄平面MDF,MN⊂平面MDF,
所以AC∥平面MDF.6分
(2)取CD中点为G,连接BG,EG,
平面CDEF⊥平面ABCD,平面CDEF∩平面ABCD=CD,
AD⊂平面ABCD,AD⊥CD,
所以AD⊥平面CDEF,同理ED⊥平面ABCD,7分
所以ED的长即为四棱锥EABCD的高.8分
在梯形ABCD中,AB=CD=DG,AB∥DG,
所以四边形ABGD是平行四边形,BG∥AD,所以BG⊥平面CDEF.
又DF⊂平面CDEF,所以BG⊥DF,又BE⊥DF,BE∩BG=B,
所以DF⊥平面BEG,DF⊥EG.10分
注意到Rt△DEG∽Rt△EFD,所以DE2=DG·EF=8,DE=2,
所以VEABCD=S梯形ABCD·ED=4.12分
8.如图925,在多面体ABCDM中,△BCD是等边三角形,△CMD是等腰直角三角形,∠CMD=90°,平面CMD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,点O为CD的中点,连接OM.
图925
(1)求证:
OM∥平面ABD;
(2)若AB=BC=2,求三棱锥ABDM的体积.
[解]
(1)证明:
∵△CMD是等腰直角三角形,∠CMD=90°,点O为CD的中点,
∴OM⊥CD.1分
∵平面CMD⊥平面BCD,平面CMD∩平面BCD=CD,OM⊂平面CMD,
∴OM⊥平面BCD.2分
∵AB⊥平面BCD,∴OM∥AB.3分
∵AB⊂平面ABD,OM⊄平面ABD,∴OM∥平面ABD.4分
(2)法一:
由
(1)知OM∥平面ABD,
∴点M到平面ABD的距离等于点O到平面ABD的距离.5分
过点O作OH⊥BD,垂足为点H.
∵AB⊥平面BCD,OH⊂平面B
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 届高考数学二轮 空间中的平行与垂直关系2专题卷全国通用 高考 数学 二轮 空间 中的 平行 垂直 关系 专题 全国 通用