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3、情感态度与价值观目标:
让学生体会演绎推理的逻辑推理美,让学生亲
身经历数学研究的过程,感受数学的魅力,进而激发自身的求知欲。
二、①重点:
知道演绎推理的含义,能利用“三段论”进行简单的推理.;
②难点:
利用三段论证明一些实际问题。
三、学习方法:
问题诱思法
四、教学过程
1、引入。
问题1:
在美丽的云南大理,居住着一个古老的少数民族——白族,那里的人们都把未婚女孩叫做“金花”,未婚男孩叫做“阿鹏哥”。
小李家在大理,大家平时都叫她“金花”,那么小李(
)
A:
是个女孩,已婚
B:
是个男孩,已婚
C:
是个女孩,未婚
D:
是个男孩,未婚
生答:
选C
设问:
上述推理是合情推理吗?
为什么?
生答
(1):
是,因为上述例子是从特殊到一般的推理。
生答
(2):
不是,上述例子是从一般到特殊的推理,所以不是合情推理。
【师点评】:
第一位同学回答错误,上面这个例子它是从一般到特殊的推理,因此它并不是合情推理。
2、概念的提炼
问题2:
请同学们思考下列推理有何特点?
1所有的金属都能够导电,铀是金属,所以铀能导电。
2太阳系的行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,天王星是太阳系的行星,因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运行。
3一切奇数都不能被2整除,
是奇数,所以
不能被2整除。
4三角函数都是周期函数,
是三角函数,因此
是周期函数。
5两条直线平行,同旁内角互补。
如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角,那么∠A+∠B=180°
上述例子都是从一般到特殊的推理。
【师点评】定义:
像上面这样,从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理,它是由一般到特殊的推理。
3、演绎推理的一般模式
设问1:
请同学们从语文的角度分析以上例子可分为几段?
这几段与演绎推理的定义有何关系?
可分为三段,第一段相当于定义中的:
一般性原理;
第二段相当于定义中的特殊情况;
第三段为定义中的结论。
【师点评】这位同学回答正确,上述例子都可分为三段,我们称为“三段论”,其中第一段称为“大前提”,如“所有的金属都能导电”,指的是一般的原理;
第二段称为“小前提”,如“铀是金属”,指的是一种特殊情况;
第三段称为“结论”,如“铀能够导电”,是所得的结论。
设问2:
你能再举一些用“三段论”推理的例子吗?
(1)高一
(1)班的同学都是少数民族,小李是高一
(1)班的,所以他是少数民族。
(2)不能被2整除的数是奇数,13不能被2整除,所以13是奇数;
【师点评】这位同学回答得很好,由此可见,数学来源于生活,又服务于生活,以后我们可以用三段论的推理模式去证明一些问题。
4.理论迁移
问题3:
.如图,在锐角三角形ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,D,E是垂足,求证:
AB的中点M到点D,E的距离相等的部分推理过程如下:
证明:
(1)因为有一个内角为直角的三角形是直角三角形,
在△ABD中,AD⊥BC,∠ADB=90,
所以△ABD是直角三角形.
同理,△AEB也是直角三角形
请同学们找出证明△ABD与△AEB是直角三角形的大前提、小前提及结论。
因为有一个内角为直角的三角形是直角三角形(大前提);
在△ABD中,AD⊥BC,∠ADB=90(小前提);
所以△ABD是直角三角形.(结论)
请同学们结合
(1)用三段论推理模式证明
;
。
方案
(1):
因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,
M是Rt△ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线
所以
;
方案
(2):
因为直角三角形斜边上的中点是它的外心,
直角△ABD与直角△AEB的外心相同,都是M
所以DM=EM
方案
(1)以“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”为大前提,以AB为桥梁,证明DM=EM。
方案
(2)以“直角三角形斜边上的中点是它的外心”为大前提,而△ABD与△AEB的外心相同,来证明DM=EM
问题4:
.证明函数
在(-∞,1)内是增函数。
证明“函数是增函数”的大前提是什么?
方案
(1)增函数的定义:
设函数f(x)的定义域为D,如果对于定义域D内的某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<
x2时,都有f(x1)<
=f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数
方案
(2)函数
在区间D内连续可导,当
时的区间即为它的递增区间。
【师点评】这两个方案的大前提都是正确的。
问题2的小前提是什么?
函数
,
是一种特殊的函数。
设问3:
请同学们用三段论证明函数
方案
(1)证明:
任取
方案
(2)
在(-∞,1)内是增函数
以上这两种方案都紧扣“三段论”来证明,由此可见,结论的大前提可以有多种,只要是正确的,那么结论一定正确。
问题5:
已知数列
的前n项和为
(1)计算
,并猜想
等多少?
猜想
(2)证明你的猜想。
方案
(1)因为等差数列的通项公式
(大前提)由前5项的特点知数列
是首项为
,公差d=2的数列(小前提)所以
(结论)
方案
(2)由
可得当n=1时,
当
时,
,综上所述,
【师点评】方案
(1)的做法是片面的,它实际上是一个合情推理,原因是这位同学是由特殊到一般进行推理的。
方案
(2)的做法正确,这道题还可以用后面我们将要学习的数学归纳法来证明。
像上面这样,通过特殊例子,先猜后证,是我们发现问题的重大方法之一。
课堂思考1:
因为指数函数
是增函数,——大前提
而
是指数函数,
——小前提
所以
是增函数.——结论
(1)上面的推理形式正确吗?
(2)推理的结论正确吗?
错误,因为它的大前提错误,所以结论错误。
以后用三段论证明数学问题时,大前提一定要正确,否则结论就会出现错误。
思考2:
合情推理与演绎推理的主要区别是什么?
(1)推理形式:
合情推理是从特殊到一般,特殊到特殊的推理;
演绎推理是从一般到特殊的推理.
(2)推理结论:
合情推理的结论是猜想,不一定正确;
演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时,得到的结论一定正确.
(3)联系与区别:
演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程,但数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理。
五、课堂小结:
今天这节课你学到了什么?
1、演绎推理的定义:
从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论。
2、演绎推理的重要模式——“三段论”的关键是:
弄清楚正确的大前提、小前提及结论
3、合情推理与演绎推理的区别:
(1)推理形式
(2)推理结论
(3)联系与区别
六、作业:
P84习题2.1A组:
6.B组1;
课后拔高题:
用三段论证明余弦定理和正弦定理。
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- 演绎 推理 教学 设计