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例1、已知数列{100-3n},
(1)求a?
、a3;
(2)此数列从第几项起开始为负项.
例2已知数列an的前n项和,求数列的通项公式:
1)Sn=n2+2n;
(2)Sn=n2-2n-1.
解:
(1)①当n》时,an=Sn-Sni=(n2+2n>
[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1;
2当n=1时,ai=Si=12+2X1=;
3
3经检验,当n=1时,2n+1=2X1+1=3/.an=2n+1为所求.
(2)①当n》时,an=Sn-Sn1=(n?
-2n-1)-[(门-1)2+2(*1)-1]=2n-3;
2当n=1时,a1=S1=12-2X1-1=-2;
2(n1)
3经检验,当n=1时,2n-3=2x1=-1工2,an=2n3(n2)为所求.
注:
数列前"
项的和Sn和通项an是数列中两个重要的量,在运用它们的关系式anSnSn1时,一定要注意条件门2,求通项时一定要验证內是否
适合
例3当数列{100-2n}前n项之和最大时,求n的值.
等差数列
1•如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.即:
aniand(常数)(nN?
)
2•通项:
anai(n1)d,推广:
anam(nm)d.
3•求和:
6“笃nai吗卫d・(关于n的没有常数项的二次函数).
4•中项:
若a、b、c等差数列,贝Sb为a与c的等差中项:
2b=a+c
5•等差数列的判定方法
(1)定义法:
an1and(常数)(nN?
)
(2)中项法:
2anianan2
(3)通项法:
ana1(n1)d⑷前n项和法:
SnAn2Bn
练习:
已知数列{an}满足:
a1=2,an=an1+3求通项an.
例1在等差数列an中,已知a49,a96,Sn63,求n.
解:
设首项为a1,公差为d,
例2
(1)设{an}是递增等差数列,它的前3项之和为12,前3项之积为48,求这个数列的首项.
分析2:
三个数成等差数列可设这三个数为:
a-d,a,a+d
拓展:
(1)若n+m=2p,则an+ch=2sp.
推广:
从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。
如:
ai,a4,a7,ai0,(下标成等差数列)
(2)等和性:
amanapaq(m,n,p,qN*,mnpq)
(3)Sn,S2nSn,S3nS2n,组成公差为n'
d的等差数列.
(4)an=am+(n-m)d
例1
(1)已知a3+aii=20,求a7.
(2)已知a3+a4+a5+a6+a7=450,求a2+a8及前9项和S9.
解由等差中项公式:
a3+a7=2a5,*+氏=2a5
由条件a3+a4+a5+a6+a7=450,得:
5a5=450,—a2+a8=2a5=180.
9
S9=-佝a9)810
2
等比数列
1.定义与定义式:
从第一项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的
数列称作等比数列•也q(q为不等于零的常数)
an
2.通项公式:
a1qn1,推广形式:
anamqnm.
na1(q1)
3.前n项和:
5
印(1qn)a1anq且“
---(q0且q1)
1q1q
注:
应用前n项和公式时,一定要区分q1与q1的两种不同情况,必要的时候要分类讨论.
4.等比中项:
如果在a与b之间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即G2ab(Gac).
5.等比数列的判定方法:
an1
1定义法:
对于数列an,若〒q(q0),则数列an是等比数列.
7an7
2等比中项:
对于数列an,若anan2a;
i,则数列an是等比数列.
例1等比数列中ai=2,a3=8,求通项公式;
a3aiqq24q2a.
(2)2n12n或%
(2)
(2)n1
(2)n
例2在等比数列{an}中,S=1,Sb=3,则a17+a18+a19+a20.
解解方程组可得:
q4=2,厂q1,
解法2由Sn,S2n-Sn,—务,…成等比数列计算.
在等比数列an中有如下性质:
(1)若n+m=2p,则anam=(ap)2。
从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。
引包耳如,(下标成等差数列)
(2)等积性:
amanapaq(mnpq,m,n,p,qN).
例2aia2a37,印a2a38,求a.
设{an}的公比为q,由题意知
a.a.qa.q27,a.1,a
a1aqaq;
8解得;
2或q
a.a.qa.q8,q2q
数列综合运用
例1公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数列,求公比q.
设等差数列的通项an=ai+(*1)d(d弋0)
例2有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个书的和是12,求这四个数.
设这四个数为:
2.(ad)2
adaad(ad)2则adVa7ad,a,ad,,贝Ua
16
a2ad12
a4a
或15,9,3,1
解得:
d8或d
6,所以所求的四个数为:
4,4,12,36;
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