二元一次方程组的应用13种类型.docx
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二元一次方程组的应用13种类型
二元一次方程组的应用
要点突破:
应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤回顾:
关键
(1)理解问题(审题,搞清已知和未知,分析数量关系)
(2)制定计划(考虑如何根据等量关系设元,列出方程组)
(3)执行计划(列出方程组并求解,得到答案)
(4)回顾(检查和反思解题过程,检验答案的正确性以及是否符合题意)
列方程组思想:
找出相等关系“未知”转化为“已知”.有几个未知数就列出几个方程,所列方程必须满足:
(1)方程两边表示的是同类量;
(2)同类量的单位要统一;(3)方程两边的数值要相等.
(1)行程问题:
(2)工程问题;(3)销售中的盈亏问题;(4)储蓄问题;(5)产品配套问题;(6)增长率问题;(7)和差倍分问题;(8)数字问题;(9)浓度问题;(10)几何问题;(11)年龄问题;(12)优化方案问题.
一、行程问题
(1)三个基本量的关系:
路程s=速度v×时间t时间t=路程s÷速度V速度V=路程s÷时间t
(2)三大类型:
①相遇问题:
快行距+慢行距=原距
②追及问题:
快行距-慢行距=原距
③航行问题:
顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度
逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度顺速–逆速=2水速;
顺速+逆速=2船速顺水的路程=逆水的路程
相遇问题:
两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动,随着时间的发展,必然面对面地相遇,这类问题叫做相遇问题。
它的特点是两个运动物体共同走完整个路程。
A车路程+B车路程=相距路程总路程=(甲速+乙速)×相遇时间相遇时间=总路程÷(甲速+乙速)
另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度
甲、乙两人在相距18千米的两地同时出发,相向而行,1小时48分相遇,如果甲比乙早出发40分钟,那么在乙出发1小时30分时两人相遇,求甲、乙两人的速度.
练习:
学校距活动站670米,小明从学校前往活动站每分钟行80米,2分钟后,小丽从活动站往学校走,每分钟行90米,小明出发多少分钟后和小丽相遇?
相遇时二人各行了多少米?
追及问题:
两物体速度不同向同一方向运动,两物体同时运动,一个在前,一个在后,前后相隔的路程若把它叫做“追及的路程”,那么,在后的追上前一个的时间叫“追及时间”.
关系式是:
追及的路程÷速度差=追及时间
顺速–逆速=2水速;顺速+逆速=2船速顺水的路程=逆水的路程
A、B两地相距28千米,甲乙两车同时分别从A、B两地同一方向开出,甲车每小时行32千米,乙车每小时行25千米,乙车在前,甲车在后,几小时后甲车能追上乙车?
甲、乙二人相距6km,二人同向而行,甲3小时可追上乙;相向而行,1小时相遇。
二人的平均速度各是多少?
解:
设甲每小时走x千米,乙每小时走y千米
题中的两个相等关系:
1、同向而行:
甲的路程=乙的路程+可列方程为:
2、相向而行:
甲的路程+=可列方程为:
【变式】
1.甲、乙两地相距160千米,一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行,1小时20分相遇.相遇后,拖拉机继续前进,汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回,在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.这时,汽车、拖拉机各自行驶了多少千米?
2.甲以5km/h的速度进行有氧体育锻炼,2h后,乙骑自行车从同地出发沿同一条路追赶甲。
根据他们两人的约定,乙最快不早于1h追上甲,最慢不晚于1h15min追上甲,则乙骑车的速度应当控制在什么范围?
3.从甲地到乙地的路有一段上坡、一段平路与一段3千米长的下坡,如果保持上坡每小时走3千米,
平路每小时走4千米,下坡每小时走5千米,那么从甲到乙地需90分,从乙地到甲地需102分。
甲地到乙地全程是多少?
4.甲,乙两人分别从甲,乙两地同时相向出发,在甲超过中点50米处甲,乙两人第一次相遇,甲,乙到达乙,甲两地后立即返身往回走,结果甲,乙两人在距甲地100米处第二次相遇,求甲,乙两地的路程.
5.两列火车同时从相距910千米的两地相向出发,10小时后相遇,如果第一列车比第1二列车早出发4小时20分,那么在第二列火车出发8小时后相遇,求两列火车的速度.
6.某班同学去18千米的北山郊游.只有一辆汽车,需分两组,甲组先乘车,乙组步行.车行至A处,甲组下车步行,汽车返回接乙组,最后两组同时达到北山站.已知汽车速度是60千米/时,步行速度是4千米/时,求A点距北山站的距离.
7.通讯员要在规定时间内到达某地,他每小时走15千米,则可提前24分钟到达某地;如果每小时走12千米,则要迟到15分钟。
求通讯员到达某地的路程是多少千米?
和原定的时间为多少小时?
总结升华:
根据题意画出示意图,再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系,是行程问题的常用的解决策略。
一只船在河中航行,水速为每小时2千米,它在静水中航行每小时8千米,顺水航行每小时行多少千米?
逆水航行每小时行多少千米?
顺水航行50千米需要用多少小时?
练习:
1.某船在静水中的速度是每小时7千米,水流速度是每小时2千米,那么它逆水中的速度是多少?
若逆水航行3小时,可航行多少千米?
2.某船顺水速度是每小时17千米,逆水航行速度是每小时10千米,那么此船的静水速度是每小时多少千米?
水流速度是每小时行多少千米?
3.两地相距280千米,一艘船在其间航行,顺流用14小时,逆流用20小时,求船在静水中的速度和水流速度。
二、工程问题
三个基本量的关系:
工作总量=工作时间×工作效率;工作时间=工作总量÷工作效率;
工作效率=工作总量÷工作时间甲的工作量+乙的工作量=甲乙合作的工作总量,
注:
当工作总量未给出具体数量时,常设总工作量为“1”。
一家商店要进行装修,若请甲、乙两个装修组同时施工,8天可以完成,需付两组费用共3520元;若先请甲组单独做6天,再请乙组单独做12天可完成,需付两组费用共3480元,问:
(1)甲、乙两组工作一天,商店应各付多少元?
(2)已知甲组单独做需12天完成,乙组单独做需24天完成,单独请哪组,商店所付费用最少?
总结升华:
工作效率是单位时间里完成的工作量,同一题目中时间单位必须统一,一般地,将工作总量设为1,也可设为a,需根据题目的特点合理选用;工程问题也经常利用线段图或列表法进行分析。
【变式】小明家准备装修一套新住房,若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元;若甲公司单独做4周后,剩下的由乙公司来做,还需9周完成,需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成,从节约开支的角度考虑,小明家应选甲公司还是乙公司?
请你说明理由.
1.现要加工400个机器零件,若甲先做1天,然后两人再共做2天,则还有60个未完成;若两人齐心合作3天,则可超产20个.问甲、乙两人每天各做多少个零件
2.某检测站要在规定时间内检测一批仪器,原计划每天检测30台这种仪器,则在规定时间内只能检测完总数的七分之三;现在每天实际检测40台,结果不但比原计划提前了一天完成任务,还可以多检测25台.问规定时间是多少天?
这批仪器共多少台?
3.甲、乙两人同时加工一批零件,前3小时两人共加工126件,后5小时甲先花了1小时修理工具,因此甲每小时比以前多加工10件,结果在后一段时间内,甲比乙多加工了10件,甲、乙两人原来每小时各加工多少件?
5.一项工程,甲单独做12天完成,乙队单独要做15天完成,丙队单独要20天完成,按计划要求在7天内完成,现在甲乙先合作若干天,丙队也同时加入这项工作,这样比原定时间提前一天完成任务。
甲乙两队合做了多少天?
丙队做了多少天?
6.甲乙两个车间原计划装车床180台,甲车间完成计划的112%,乙车间完成了计划的110%,这样共装机床200台,两车间各比计划多完成多少台?
7..某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示:
销售方式
直接销售
粗加工后销售
精加工后销售
每吨获利(元)
100
250
450
8.现在该公司收购了140吨蔬菜,已知该公司每天能精加工蔬菜6吨或粗加工蔬菜16吨(两种加工不能同时进行).
(1)如果要求在18天内全部销售完这140吨蔬菜,请完成下列表格:
销售方式
全部直接销售
全部粗加工后销售
尽量精加工,剩余部分直接销售
获利(元)
(2)如果先进行精加工,然后进行粗加工,要求在15天内刚好加工完140吨蔬菜,则应如何分配加工时间?
三:
商品销售利润问题
利润问题:
利润=售价—进价,利润率=(售价—进价)÷进价×100%
有甲、乙两件商品,甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元。
价格调整后,甲商品的利润率为4%,乙商品的利润率为5%,共可获利44元,则两件商品的进价分别是多少元?
【变式】1.某商场用36万元购进A、B两种商品,销售完后共获利6万元,其进价和售价如下表:
A
B
进价(元/件)
1200
1000
售价(元/件)
1380
1200
求该商场购进A、B两种商品各多少件;
3.一.种饮料大小包装有3种,1个中瓶比2小瓶便宜2角,1个大瓶比1个中瓶加1个小瓶贵4角,大、中、小各买1瓶,需9元6角。
3种包装的饮料每瓶各多少元?
捐款
10
15
30
50
人数
18
4
3.2008年5月12日,四川省汶川县发生里氏8.0级强烈地震,给当地人民造成巨大的损失.全国迅速组织捐款支援灾区,我校七年级
(1)班55名同学共捐款830元,捐款情况如右表.表中捐款2元和5元的人数不小心被墨水污染已看不清楚,请你帮助确定表中数据,并说明理由.
4.甲乙两种商品的进价和是100元,为促销而打折出售,若甲商品打8折,乙商品打6折,可赚50元,若甲商品打6折,乙商品打8折可赚19.5元,求甲乙两种商品原定价各是多少元。
5.甲、乙两件服装的成本共500元,商店老板为获取利润,决定将甲服装按50%利润定价,乙服装按40%的利润定价.在实际出售时,应顾客要求,两件服装均按9折出售,这样商店共获利157元,求甲、乙两件服装的成本各是多少元?
6.有甲乙两种电饭锅原来的单价之和是200元,现因市场销售情况的变化,甲商品商品降价15%,乙商品单价提高了40%,调价后,两种电饭锅的单价和比原来的单价和提高了12.5%。
甲乙两种商品原来的单价各是多少?
四、银行储蓄问题
银行利率问题:
免税利息=本金×利率×时间,
税后利息=本金×利率×时间—本金×利率×时间×税率
4.小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用,现在以两种方式在银行共存了2000元钱,一种是年利率为2.25%的教育储蓄,另一种是年利率为2.25%的一年定期存款,一年后可取出2042.75元,问这两种储蓄各存了多少钱?
(利息所得税=利息金额×20%,教育储蓄没有利息所得税)
总结升华:
我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时,有时候不容易找出其等量关系,这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系,题目中的相等关系随之浮现出来.
【变式】1.小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用,在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种,一年期整存整取,共反复存了3次,每次存款数都相同,这种存款银行利率为年息2.25%;第二种,三年期整存整取,这种存款银行年利率为2
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- 二元 一次 方程组 应用 13 种类
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