春季高考北京卷文科数学试题及答案文档格式.docx
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D.T=1,θ=π
5、“ab<
0”是“曲线ax2+by2=1为双曲线”的()
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件
6、直线x+3y-2=0被圆(x-1)2+y2=1所截得的线段的长为()
A.1B.C.D.2
7、在∆ABC中,已知2sinAcosB=sinC,那么∆ABC一定是()
A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形
8、若不等式(-1)n
()
a<
2+
(-1)n+1
n
对于任意正整数n恒成立,则实数a的取值范围是
A.⎡-2,3⎫
B.⎛-2,3⎫
C.⎡-3,3⎫
D.⎛-3,3⎫
⎪
⎣2⎭
ç
⎪
⎝2⎭
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分。
把答案填在题中横线上。
n2
9、lim
n→∞2n2
=。
-3
10、椭圆x+y=1的离心率是,准线方程是。
259
11、已知sinθ+cosθ=2
,那么sinθ的值为
,cos2θ的值为。
223
12、如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,将该正方体沿对角面BB1D1D切
成两块,再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱,那么所得四棱柱的全面积为
。
13、从0,1,2,3这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)=ax2+bx+c的系数,可组成不同的一次函数共有个,不同的二次函数共有个。
(用数字作答)
14、若关于x的不等式x2-ax-a>
0的解集为(-∞,+∞),则实数a的取值范围是
三、解答题:
本大题共6小题,共80分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15、(本小题满分12分)记函数f(x)=log2(2x-3)的定义域为集合M,函数
g(x)=
的定义域为集合N。
求:
(1)集合M,N;
(2)集合MN,MN。
16、(本小题满分14分)如图,正三棱锥
S-ABC中,底面边长是3,棱锥的侧面积等于底面积的2倍,M是BC的中点。
AM
(1)
SM
的值;
(2)二面角S-BC-A的大小;
(3)正三棱锥S-ABC的体积。
17、(本小题满分14分)已知{an}是等比数列a1=2,a4=54;
{bn}是等差数列,b1=2,b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn的公式;
(2)求数列{bn}的通项公式;
(3)设Un=b1+b4+b7++b3n-2,其中n=1,2,,求U10的值。
18、(本小题满分14分)如图,O为坐标原点,过点P(2,0)且斜率为k的直线l交抛物
线y2=2x于M(x,y)、N(x,y)两点。
1122
(1)写出直线l的截距式方程;
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(2)求x1x2与y1y2的值;
(3)求证:
OM⊥ON.
19、(本小题满分13分)经过长期观测得到:
在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度υ(千米/小时)之间的函数关系为:
y=920υ
υ2+3υ+1600
(υ>
0)。
(1)在该时段内,当汽车的平均速度υ为多少时,车流量最大?
最大车流量为多少?
(精确到0.1千辆/小时)
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时,则汽车站的平均速度应在什么范围内?
20、(本小题满分13分)现有一组互不相同且从小到大排列的数据:
a0,a1,a2,a3,a4,a5,其中a0=0。
为提取反映数据间差异程度的某种指标,今对其进行
如下加工:
记T=a0
+a1
++a5
,xn
=n,y
5n
=1(a
T0
+
+an
),作函数
y=f(x),使其图象为逐点依次连接点Pn(xn,yn)(n=0,1,2,,5)的折线。
(1)求f(0)和f
(1)的值;
(2)设Pn-1Pn的斜率为kn(n=1,2,3,4,5),判断k1,k2,k3,k4,k5的大小关系;
(3)证明:
f(xn)<
xn(n=1,2,3,4).
2005年普通高等学校春季招生考试数学(文史类)(北京卷)参考答案
本大题主要考查基本知识和基本技能.每小题5分,满分40分.
1.D2.B3.C4.A5.C6.C7.B8.A
本大题主要考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分30分.
142517
9.10.x=±
11.12.(4+2
2)a2
13.618
25439
14.(-4,0)
本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.本小题主要考查集合的基本知识,考查逻辑思维能力和运算能力.满分12分.
解:
(Ⅰ)M
={x|2x-3>
0}={x|x>
3};
N={x|(x-3)(x-1)≥0}={x|x≥3或x≤1}
(Ⅱ)MN={x|x≥3};
MN={x|x≤1或x>
3.
16.本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识,考查空间想象能力,罗辑思维能力和运算能力.满分14分.
解(Ⅰ)∵SB=SC,AB=AC,
M为BC的中点,
∴SM⊥BC,AM⊥BC.
由棱锥的侧面积等于底面积的2倍,即
3⨯1BC⨯SM=2⨯1BC⨯AM
22
得AM=3.
SM2
(Ⅱ)作正三棱锥的高SG,则G为正三角形ABC
的中心,G在AM上,GM=1AM.
3
∵SM⊥BC,AM⊥BC,
∴∠SMA是二面角S—BC—A的平面角.在Rt△SGM中,
SM=2AM=2⨯3GM=2GM,∴∠SMA=∠SMG=60°
33
即二面角S—BC—A的大小是60°
(Ⅲ)∵△ABC的边长是3,∴AM=33,GM=3,SG=GMtan60=3,
∴VS-ABC
=1S
∆ABC
222
⋅SG=1⋅93⋅3=93.
3428
17.本小题主要考查等差数列、等比数列等基本知识,考查逻辑思维能力,分析问题和解
决问题的能力.满分14分.
(Ⅰ)设{an}的公比为q,由a
=aq3得
q3=a4=27,
a1
q=3,
nn
所以数列{a}的通项公式为a=2⋅3n-1。
数列{an}的前n项和的公式为Sn=
2(3n-1)
3-1
=3n
-1.
(Ⅱ)设数列{b}的公差为d,b+b+b+b=4b+4⨯3d=8+6d.
n123412
由b+b+b+b=a+a+a
=33-1=26,得8+6d=26,d=3.
1234123
所以bn=b1+(n-1)d=3n-1.
(Ⅲ)b1,b4,b7,,b3n-2组成以3d为公差的等差数列,所以
U=10b+10(10-1)⋅3d=425.
1012
18.本小题主要考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力,满分14分.
(Ⅰ)解:
直线l的方程为y=k(x-2)(k≠0)
①
(Ⅱ)解:
由①及y2=2x消去y得
k2x2-2(2k2+1)x+4k2=0②
点M,N的纵坐标x1,x2为②的两个根,故
x1x2=
4k2
k2
=4.
由y2=2x,y2=2x
,得(yy)2=4xx
=16
注意到y1y2<
0,所以y1y2=-4.
(Ⅲ)证明:
设直线OM,ON的斜率分别为k1,k2,
则k1
=y1,k
x2
=y2.
x
12
相乘得kk=y1y2=-4=-1,
x1x24
所以OM⊥ON.
19.本小题主要考查函数、不等式等基本知识,考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力,满分13分.
920
(Ⅰ)依题意,y=
3+(v+
1600)
v
≤
3+2
=,
160083
当且仅当v=1600,即v=40时,上式等号成立,
所以y
max
=920≈11.1(千辆/小时).
83
(Ⅱ)由条件得
920v
v2+3v+1600
>
10,
整理得v2-89v+1600<
0,
即(v-25)(v-64)<
0,解得25<
v<
64.
答:
当v=40千米/小时,车流量最大,最大车流量约为11.1千辆/小时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时,则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米/小时.20.本小题主要考查函数、不等式等基本知识,考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题
的能力,满分13分.
(Ⅰ)解:
f(0)=a0=0,
a0++a5
f
(1)=a0++a5
=1,
k
=yn-yn-1
=5a
n=1,2,,5,
xn-x
n-1T
因为a1<
a2<
a3<
a4<
a5,
所以k1<
k2<
k3<
k4<
k5.
证法一:
对任何n(n=1,2,3,4),
5(a1++an)=[n+(5-n)](a1++an)
=n(a1++an)+(5-n)(a1++an)
≤n(a1++an)+(5-n)nan
=n[a1++an+(5-n)an]
<
n(a1++an+an+1++a5)=nT
所以f(xn
证法二:
)=a1++an
T
n=x.
对任何n(n=1,2,3,4)
当kn<
1时
yn=(y1-y0)+(y2-y1)++(yn-yn-1)
=1(k
51
k2
+kn
)<
当kn≥1时,
yn=y5-(y5-yn)
=1-[(yn+1-yn)+(yn+2-yn+1)++(y5-y4)]
=1-1(k+k++k)<
1-1(5-n)=n=x,
5n+1n+2555n
综上,f(xn)<
xn.
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