对高中数学新教材第二章《函数》的认识.docx
- 文档编号:2259751
- 上传时间:2022-10-28
- 格式:DOCX
- 页数:25
- 大小:330.61KB
对高中数学新教材第二章《函数》的认识.docx
《对高中数学新教材第二章《函数》的认识.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《对高中数学新教材第二章《函数》的认识.docx(25页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
对高中数学新教材第二章《函数》的认识
对高中数学新教材第二章《函数》的认识
广州市教育局教研室赵荻帆
一、映射与函数
函数是中学数学最重要的基本概念之一,它不仅是学习中学数学后继内容的基础,而且也是进一步学习高等数学的基础,同时,函数这部分学习内容所蕴涵的数学思想方法也广泛地渗透到中学数学的全过程和其它学科之中。
因此,对本章内容力求学习得更好一些。
函数这一章的内容可分为三个单元。
第一单元:
映射与函数,主要介绍映射、函数、函数的单调性、函数的奇偶性、反函数及互为反函数的函数图象间的关系。
这部分是学习本章内容的基础。
第二单元:
指数与指数函数
第三单元:
对数与对数函数
本章最后一节安排了函数应用举例,为全章知识的综合运用,是近年高考的热点。
2.1映射
1.映射是高等数学中最基本、最重要的概念之一,它的定义为:
设A与B是两个集合,如果按照某种对应法则f,使得对于集合A中的任一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,则称这一对应(三个要素:
集合A、B以及A到B的对应法则f)为集合A到集合B的映射,记作f:
A→B.
2.如果有映射f:
A→B,使得a∈A和b∈B对应,则称b为a(在f下)的象,a称为b的原象.
3.对于映射这一概念,应使学生明确以下几点:
(1)映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等。
集合与对应是两个基本数学概念,只按字面来了解,不作数学定义。
(2)映射是有方向的,A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射。
(3)映射要求对于集合A中的每一个元素,在集合B中都有它的象,并且这个象是唯一确定的。
这种集合A中元素的任意性和在集合B中对应元素的唯一性是映射的重要性质,缺一不可。
(4)映射允许集合B中的某些元素在集合A中没有原象。
也就是由象组成的集合(象集)CB.
(5)映射允许集合A中不同元素在集合B中有相同的象,即映射可以是“多对一”或“一对一”,但不能是“一对多”。
例1己知映射f:
A→B,集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的象,且对任意a∈A,在B中和它对应的元素是∣a∣,则集合B中的元素的个数是().
(A)4(B)5(C)6(D)7
解:
对应法则a→∣a∣,而a∈{-3,-2,-1,1,2,3,4},∴∣a∣∈{1,2,3,4},即B={1,2,3,4}.象集是集合B.故选(A).
例2己知(x,y)在映射f作用下的象是(xy,x+y)
(1)(-2,3)的象;
(2)求(2,-3)的原象.
解:
(1)用xy=-6,x+y=1,∴(-2,3)的象为(-6,1).
(2)设(2,-3)的原象为(a,b).依题意
解之,得
∴(2,-3)的原象是(-2,-1)和(-1,-2).
2.2函数
1.关于函数的定义
1传统定义设在某个变化过程中有两个变量x和y,如果对于x在某一范围内的每个确定的值,y都有唯一确定的值与之对应,那么就称y是x的函数,x叫做自变量.
2近代定义设A,B是两个非空数集,f:
x→y是从集合A到B的一个映射,则称该映射f:
A→B为函数.记作y=f(x).其中.原象的集合A叫做定义域,象的集合C(CB)叫做函数y=f(x)的值域.
两个定义本质上是一致的①从运动观点出发,②从集合、映射观点出发,在两个非空数集上建立特殊映射。
函数的三大要素是:
定义.域、值域、对应法则。
判断两个函数是否为同一函数,必须三个要素完全一致。
函数的表示方法:
1解析法:
两个变量用一个等式表示,这个等式叫做解析式;
2列表法;
3图象法。
分段函数是一个函数,只不过在不同子区间对应法则不同而矣。
甚至函数图象处处不连续,也可看作分段函数。
例D(x)=
如何确定常见函数的定义域?
(1)当f(x)是整式时,定义域是实数集R;
(2)当f(x)是分式时,定义域是使分母不为0的x取值的集合(R的子集);
(3)当f(x)是二次根式(偶次根式)时,定义域是使被开方式取非负值的x取值的集合(R的子集);
(4)当f(x)是由几个数学式子组成时,定义域是使各个式子都有意义的x取值的集合(R的子集);
(5)当f(x)表示实际问题中的函数关系时,应考虑在这实际问题中x取值的意义。
例1.已知f(x+1)=求f(0),f(x).
解:
当x=-1时,x+1=0,f(0)=f(-1+1)=(-1)2+6(-1)+2=-3.
法一:
变量代换令x+1=t,则x=t-1,
f(t)=(t-1)2+6(t-1)+2
=t2+4t-3
f(x)=x2+4x-3.f(0)=-3.
法二:
配凑法
f(x+1)=(x2+2x+1)+(4x+4)+2-5
=(x+1)2+4(x+1)-3
∴f(x)=x2+4x-3.
例2己知函数f(x)的定义域为〔0,1〕,求函数f(2x)和f(x+1)的定义域.
解:
0≤2x≤10≤x≤,∴f(2x)的定义域为〔0,〕.
0≤x+1≤1-1≤x≤0,
∴f(x+1)的定义域.为〔-1,0〕.
例3求函数的值域.
解:
换元设t=,则t2=1-2x.2x=-t2+1.
(t≥0).
∴(t≥0)
故值域为〔-∞,〕.
求值域的方法:
观察、配方、换元、⊿法等。
2.3函数的单调性和奇偶性
什么叫做函数的单调性?
设给定区间B上的函数f(x),对任x1,x2∈B(x1<x2),
如果都有f(x1)<f(x2),那么称函数f(x)在间B上是增函数,
如果都有f(x1)>f(x2),那么称函数f(x)在间B上是减函数.
可以表述为:
(x1-x2)〔f(x1)-f(x2)〕>0为增函数,
(x1-x2)〔f(x1)-f(x2)〕<0为减函数,
如果函数f(x)在某区间B上是增函数或减函数,那么称f(x)在区间B上具有(严格的)单调性,并把区间B叫做f(x)的单调区间.
函数的单调性是函数的整体性之一
1函数的单调性(不说函数的增减性)
2在某某区间上是增(减)函数(不说“在某某区间内是增(减)函数”).实际上,函数的单调性不涉及区间端点问题,“上”包含了“内”,“内”却不包含“上”用“上”能较好地反映函数的整体性质.
3在定义域内是增(减)函数(不说“在定义域上是增(减)函数)这仅仅是为了符合语言使用习惯.
4在定义域内或某某区间上是增(减)函数(不说“在定义域内或某某区间上单调递增(减)”),实际上“单调递增(减)”可以是不严格的增(减),而且也不仅仅对于区间来定义,它是更广泛的概念,中学不予介绍.类似地教科书中只引入“单调区间”,而不使用“单调递增(减)区间”这些词语.在教学中更不能省略成“单增”、“单减”.
5增函数、减函数(不使用单调函数),实际上“单调函数”通常是指整个定义域内只具有一种单调性的函数,不能在有的区间上增,有的区间上减.
研究函数的单调性,必须在定义域内的给定区间上,例如f(x)=的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),它在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上也是减函数,但不能说在定义域内是减函数.
怎样利用己知函数的单调性来判定较复杂函数的单调性?
若函数f(x)、g(x)在区间上B具有单调性,那么在区间B上:
(1)f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性;
(2)f(x)与cf(x)当c>0时,具有相同的单调性;
当c<0时,具有相反的单调性;
(3)当f(x)恒不为零时,f(x)与具有相反的单调性;
(4)当f(x)恒为非负时,f(x)与具有相同的单调性;
(5)当f(x)、g(x)都是增(减)函数时,则f(x)+g(x)也是增(减)函数;
(6)当f(x)、g(x)都是增(减)函数时,则f(x)×g(x)当f(x)、g(x)两者都恒大于0时,也是增(减)函数,当两者都恒小于0时是减(增)函数.
至于按定义来证明函数的单调性,通常须五步:
取值——求差——变形——定号——判断
(分解因式、配方等)
函数的奇偶性
一般地,设函数f(x),对于其定义域内的任意一个x值,
如果都有f(-x)=-f(x),那么称f(x)为奇函数;
如果都有f(-x)=f(x),那么称f(x)为偶函数;
如果函数f(x)是奇函数或偶函数,那么称函数f(x)具有奇偶性,
函数的奇偶性是函数的整体性质之一.
(1)函数的奇偶性是针对函数的定义域讲的,由于任意的x与-x都要在定义域内,所以奇(偶)函数的定义域关于原点对称.我们判定函数是否具有奇偶性时,应首先确定其定义域关于原点是否对称,不对称,就没有奇偶性,只有定义域对称,才能使函数图象关于原点或y轴对称.
(2)既是奇函数又是偶函数的函数,一定有解析式y=f(x)=0,但它的定义域可以各色各样(必须关于原点对称),所以不是唯一的.解析式不为f(x)=0的函数,不可能既是奇函数,又是偶函数.
(3)奇(偶)函数还具有以下性质:
1两个奇(偶)函数的和(差)也是奇(偶)函数;
2两个函数的积(商、分母恒不为0),当其奇偶性相同时为偶函数,当其奇偶性相反时为奇函数.
奇(偶)函数在其定义域内关于原点对称的区间上,单调性相同(反).偶函数一般不存在反函数;如果一个奇函数有反函数,那么其反函数也是奇函数.
构造奇(偶)函数的简单方法:
设f(x)是定义域关于原点对称的函数,则
F1(x)=〔f(x)+f(-x)〕是偶函数,
F2(x)=〔f(x)-f(-x)〕是奇函数.
所以f(x)总可以表示成一个偶函数与一个奇函数之和.事实上
f(x)=F1(x)+F2(x)
怎样把握具体函数的整体性质和局部性质?
函数的单调性、奇偶性都是函数的整体性质,此外还有有界性、连续性、可微(积)性等.
函数的局部性质主要是指函数在某点处的值.如在x=x0处的值y0,定义域内的最大(小)值.
例1己知奇函数f(x)在闭区间〔3,7〕上是增函数,且最小值是5,那f(x)在闭区间〔-7,-3〕上是().
(A)增函数且最小值是-5
(B)增函数且最大值是-5
(C)减函数且最小值是-5
(D)减函数且最大值是-5
例2已知y=f(x)在R上是偶函数,而且在(0,+∞)上是增函数,
(1)证明y=f(x)在(-∞,0)上是减函数:
(2)比较f()和f(-3)的大小;
(3)解不等式f(x)>f(5).
解:
(1)任取x1、x2∈(-∞,0),且x1<x2,
∵f(x)为偶函数,
∴f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2),
∵x1<x2<0,-x1>-x2>0,
又f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴f(-x1)>f(-x2),即f(x1)>f(x2).
∴y=f(x)在(-∞,0)上是减函数.
(2)∵f(x)为偶函数,∴f(-3)=f(3).
∵>3>0,f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴f()>f(3).即f()>f(-3)
(3).若x>0,则x、5∈(0,+∞).
又f(x)在(0,+∞)上是增函数,而f(x)>f(5)
∴x>5.
若x<0,则由f(x)>f(5)亦可得f(-x)>f(5).
此时-x、5∈(0,+∞).f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴-x>5.即x<-5.
故f(x)>f(5)的解为x>5或x<-5.
2.4反函数
一般地,如果确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”,那么由f
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 函数 高中数学 新教材 第二 认识