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⊙O____________,则点B在⊙O____________,则点C在⊙O____________。
2、如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°
,AC=2cm,BC=4cm,CM是中线,
以C点为圆心,
为半径做圆,则A、B、C、M四点在圆外的是________.
3、下列条件中,只能确定一个圆的是()
A、以点O为圆心B、以2cm长为半径C、以点O为圆心,5cm长为半径D、经过已知点A
*4、若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a,最小距离为b(a>b),则此圆的半径为()
A、
B、
C、
或
D、a+b或a–b
第2课时垂径定理
一.学习准备1、圆的定义:
在平面上,到的距离等于的所有点所组成的图形叫做圆。
2、圆轴对称图形,它的对称轴有条。
二.解读教材
3、认识弧与弦阅读教材96—97页并填空
(1)圆上任意两点间的部分叫做。
大于半圆的弧叫做,小于半圆的弧叫,弧AB记作,图中劣弧有
(2)连接圆上任意两点的线段叫做,经过圆心的弦叫图中弦有,其中直径是。
(3)下列说法正确的有()
A.直径是圆的对称轴B.半圆是弧C.半圆既不是优弧也不是劣弧D.直径是弦E.圆中两点间的部分为弦F.过圆上一点有无数条弦
4、垂径定理
如图,AB是⊙O的一条弦,作直径CD,使CD
AB于点M
(1)右图是轴对称图形吗?
如果是,对称轴是,根据轴对称性质图中相等线段有,
相等的劣弧有
(2)垂径定理:
垂直于弦的直径这条弦,并且弦所对的弧
几何语言表示为:
在⊙O中,
5、垂径定理的推论
AB是⊙O的弦(不是直径)作一条平分AB的直径CD,交AB于点E
(1)图形是轴对称图形吗?
(2)发现的等量关系有:
垂径定理的推论:
平分弦()
的直径垂直平分
几何语言表示:
在⊙O中
三.挖掘教材
6、你也能得到下面的结论
(1)平分弦所对的一条弧的直径,必垂直平分弦,并平分弦所对的另一条弧.
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的另一条弧。
(3)还有其它结论吗?
事实上,垂径定理及推论是指
(当
为条件时,要对另一条弦增加它不是的限制)
7、垂径定理的运用
例1,在直径650mm的圆柱形油槽中一些油后,截面如图。
若油面宽AB=600mm,求油的最大深度。
解:
过⊙O作OF
于E,交⊙O于F,连接OA
设EF=xmm
OE=
650-x=325-x
OE
AB
AE=AB=
在Rt
AOE中,
=+
即=+
解得x1=,x2=
答:
油槽的最大深度为
即时练习1,已知圆的半径为5,两平行弦长为6和8,则这两条弦的距离为
2,已知AB是半圆的直径,O是圆心,C是半圆上一点,OE交AC于D,AC=8,DE=2,求OD的长。
【达标检测】
1、下列命题正确的是()
A.弦的垂线平分弦所对的弧B.平分弦的直径垂直于这条弦
C.过弦的中点的直线必过圆心D.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦,且过圆心
2、如图已知⊙O的半径为30mm,弦AB=36mm,点O到AB的距离是,
的余弦值为
3、如图 在⊙O中,点C是
的中点,∠A=40o,则
等于( )
A.40o B.50o C.70o D.80o
4,圆的直径为8cm,弦CD垂直平分半径OA,这弦CD的长为
第3课时圆的对称性
(2)
动手画一圆
1)把⊙O沿着某一直径折叠,两旁部分互相重合观察得出:
圆是对称图形;
2)若把⊙O沿着圆心O旋转180°
时,两旁部分互相重合,这时可以发现圆又是一个对称图形。
3)若一个圆沿着它的圆心旋转任意一个角度,都能够与原来图形互相重合,这是圆的不变性。
1、认识圆心角、弦心距、弧的度数
1)圆心角的定义:
。
2)弦心距的定义:
3)弧的度数:
①把顶点在圆心的周角等分成份时,每一份的圆心角是1°
的角。
②因为在同圆中相等的圆心角所对的相等,所以整个圆也被等分成360份,这时,把每一份这样得到的叫做1°
的弧。
③圆心角的度数和它们对的弧的相等。
2、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理
自制两个圆形纸片(要求半径相等),并且在两个圆中,画出两个相等的圆心角,探究:
在⊙O中,当圆心角∠AOB=∠A′OB′时,它们所对的弧AB和A'
B'
,弦AB和A′B′,弦心距OM和O′M′是否也相等呢?
定理总结:
在中,相等的圆心角所对的相等,所对的相等,所对弦的也相等。
即时训练:
判断:
1)圆心角相等,则圆心角所对的弧也相等;
()
2)在同圆或等圆中,弦的弦心距相等;
()
3)弦的弦心距相等,则弦相等;
()
4)相等的圆心角所对的弧相等。
问题2:
在同圆或等圆中,若圆心角所对的弧相等,那么它们所对的弦相等吗?
这个两个圆心角相等吗?
你是怎样想的?
如果弦相等呢?
你会得到什么结论?
归纳推论:
在中,如果两个、两条、两条或两条弦的中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
(简记:
“知一推三”)
已知:
AB、CD是⊙O的两条弦,OE、OF为AB、CD的弦心距,根据本节定理及推论填空。
1)如果AB=CD,那么,,;
2)如果OE=OG,那么,,;
3)如果
=
,那么,,;
4)如果∠AOB=∠COD,那么,,。
三、挖掘教材
例1、如图,点O是∠EPF的平分线上一点,以O为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点A、B和C、D,求证:
AB=CD。
例题拓展:
当P点在圆上或圆内是否还有AB=CD呢?
从⊙O外一点P向⊙O引两条割线PAB、PCD交⊙O于A、B、C、D,且
,求证:
圆心O必在∠BPD的平分线上
例2、如图,A、B、C、D是⊙O上的四个点,AB=DC,△ABC与△DCB全等吗?
为什么?
已知:
如图,AD=BC,求证:
1、判断题:
1)相等的圆心角所对弦相等。
()
2)相等的弦所对的弧相等。
3)两条弧的长度相等,则这两条弧所对应的圆心角相等。
2、在⊙O中,弦AB的长恰等于半径,则弦AB所对的圆心角是度。
3、下面的说法正确吗?
如图,因为∠AOB=∠COD,根据圆心角、弧、弦、弦心距关系定理可知
。
4、如图,O为两个同圆的圆心,大圆的弦AB交小圆于C、D两点,OE垂直于AB,垂足为E,若AC=2.5cm,ED=1.5cm,OA=5cm,则AB=cm。
(4题图)(5题图)
5、已知:
如图AB、DE是⊙O的直径,AC∥DE,AC交⊙O于C,求证:
BE=EC。
6、在⊙O中,AB=BC,求证:
∠OAB=∠OCB。
7、已知:
AB是⊙O的直径,M、N分别是AO和BO的中点,CM⊥AB,DN⊥AB,求证:
AC=BD。
【学习课题】第4课时圆周角与圆心角的关系
【学习目标】1、圆周角的概念及圆周角定理2、了解分类讨论及转化的思想
【学习重点】圆周角的概念及圆周角定理
【候课朗读】垂径定理,圆心角、弦、弦心距、弧之间的关系
1、 叫圆心角。
2、等弧所对的圆心角。
3、圆周角的概念
顶点在,两边,像这样的角叫圆周角。
4、及时练习①下列各图是圆周角的是()
ABCDE
②指出下图的圆周角
5、议一议
看图1、2、3猜一猜,圆心角∠AOC与圆周角∠ABC之间的大小关系。
先讨论特殊情况:
∠ABC的一边经过圆心,如图1
例1量角器外缘边上有A、P、Q三点,它们所表示的读数分别是180°
、70°
、30°
,则∠PAQ是多少度?
即时练习
1如图, A、B、C是⊙O上三点,∠AOC=100°
,则∠ABC=
例1题2
2如图,四边形ABCD是⊙O的内接正方形,点P是弧CD上不同于点C的任意一点,则∠BPC的度数是
圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对的 。
四、反思小结
1、圆周角的概念
2、圆周角等于圆心角的一半吗?
3、定理的证明用了分类讨论的思想。
【达标测评】
1、如图,在⊙O中∠BOC=150°
,∠BAC=。
2、如图,在⊙中,∠BOC=50°
则∠BAC=,∠BDC=。
3
3、如图,A,B,C,D是⊙O上的四点,且∠BCD=100°
则∠BOD=,∠BAD=。
4、如图,AB,CD是两条直径,连AC,那么∠α∠β的数量关系是。
5、如图,在世界杯足球比赛中,甲带球向对方球门PQ进攻,当他带球冲到A点时,同伴已经助攻冲到B点。
有两种射门方式:
第一种时甲直接射门;
第二种是甲将球传给乙,由乙射门。
仅从射门角度考虑,应选择种射门方式。
【学习课题】第5课时圆周角与圆心角的关系
(2)
【学习目标】1、记住并能熟练使用圆周角与圆心角的关系定理
2、通过推理证明得出圆周角与圆心角的关系定理的推论
3、会熟练运用定理及推论解决相关问题
【学习重点】1、进一步熟悉圆周角与圆心角关系定理的使用
2、圆周角与圆心角关系定理推论的使用
【学习过程】
1、圆周角与圆心角关系定理:
一条弧所对的 等于它所对的 的 。
2、如图1,在⊙O中∠ABC中,∠ABC=,∠AEC=,∠ADC=。
3、在图1中,由题2中可得,∠ABC===
推论1.所对的圆周角相等。
4、图2中,因为∠ACB与∠ADB共对弧,而弧所对的圆心角为,由圆周角与圆心角的关系定理可得
∠ACB=°
=∠ADB
推论2.直径所对的圆周角是直角;
90°
的圆周角所对的弦是直径。
例题1如图3,AB是⊙O直径,BD是⊙O的弦,延长BD到C,使
AC=AB,BD与CD的大小有什么关系?
解:
BD=CD。
理由是:
如图,连接AD
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=
即ADBC
又∵AC=AB
∴BD=CD
5、如图4,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,以腰AC为直径作半圆交AB于点E,交BC于点F,若∠A=50°
,求弧EF、弧AE、弧FC的度数
三、挖掘教材
5、例题2如图5,△ABC中,D为AB中点,CD等于AB的一半,求证:
△ABC为直角三角形
推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
6、例题3如图6,AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆直径
求证:
AB·
AC=AE·
AD
注意 在解圆的有关问题时,常常需要添加辅助线,构成直径所对的圆周角,以便利用直径所对的圆周角是直角的性质。
1、圆周角与圆心角的关系定理及推论的作用是什么?
2、根据定理及推论,设想一下,在解决圆的有关问题时,常用辅助线有哪些?
1、如图7,写出所有相等的角。
2、若⊙O是△ABC的外接圆,OD⊥BC于D,且∠BOD=48°
,则
∠BAC=。
3、△ABC是半径为2cm的圆的内接三角形,若BC=
cm,则
∠A的度数为
4、在⊙O中,直径AB=10cm,弦AC=6cm,∠ACB的平分线交⊙O于D,则BC=
Cm,AD=cm,BD=cm。
5、如图8,点D在以AC为直径的⊙O上,如果∠BDC=20°
,那么∠ACB=。
6、如图9,AB为⊙O的直径,弦AC=3cm,BC=4cm,CD⊥AB,
垂足为D,求AD、BD和CD的长。
7、如图10,OA是⊙O的半径,以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D,求证:
D是AB中点。
【资源链接】
根据顶点、角的两边与圆的位置关系,我们定义了圆心角与圆周角,并探讨了圆周角、圆心角与它们所对的弧的度数的关系。
类似的,如图11
(1),当角的顶点在圆外(或圆内),角的两边与圆相交,这样的角叫圆外角(圆内角)。
想一想
(1)∠APB与弧AB、弧CD的度数有怎样的关系?
(2)你能比较∠APB与弧AB所对圆周角的大小吗?
根据上面的结论,请你解决下列问题:
如图11
(2),A、B是两座灯塔,在弓形AmB内有暗礁,游艇C在附近的海上游弋,问游艇上的导航员如何通过观测才能知道有没有触礁的危险?
【学习课题】第6课时:
不在同一条直线上的三点共圆
【学习目标】:
不在同一直线上的三个点确定一个圆,过不在同一直线上的三个点作圆的方法
【学习重点】
过在不同一直线上的三个点作圆的方法
1、经过一点有_________条直线。
2、经过二点有_________条直线。
3、作圆
结论:
经过一点能作______个圆
结论,经过两点能______个圆
4、探究:
经过不在同一直线上的三点A、B、C作圆
不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
因此,三角形的三个点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心。
5、三角形的外心在哪里?
己知下面三个三角形,分别作出它们的处接圆,它们外心的位置有怎样的特点?
锐角三角形直角三角形钝角三角形
(2)只要三角形确定,那么它们的外心外接圆的半径就确定。
6、四点共圆
⑴四点共圆的概念
如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上,那么四边形叫圆内接四边形。
这个圆叫做这个四边形的外接圆。
我们就说这四点共圆。
性质1:
如果这四点首尾顺次连接成的四边形的对角互补,那么这四点共圆。
性质2:
如果这四点首尾顺次连接成的四边形的一个外角等于它的内对角,那么这四点共圆。
性质3:
共边的两个三角形,在这条边的同侧且共边所对的角相等,那么这四点共圆。
、
经过任意四点不一定作圆。
1、判断正误:
(1)任意一个三角形一定有一个外接圆,任意一个圆也只有一个内接三角形
(2)三角形的外心在三角形的外部
(3)三角形的外心是三角形角平分线的交点
(4)三形的外心到三边的距离相等
2、己知点A、B,经过A、B作圆,则半径为2㎝的圆的个数为___个。
3、己知△ABC,AC=15。
BC=8,AB=17,求△ABC的外接圆半径。
4、己知A、B分别为∠MON边上异于O点的两点,则过AOB三点能作一个圆吗?
5、能在同一个圆上的是()
A、平行四边形的四个顶点B、等腰梯形四边的中点
C、矩形四边的中点D、正方形四边中点
【资源链接】如图,A、B、C、表示三个村庄,现要建一座深水井泵站,向三个村庄分别送水,为使三条输水管线长度相同,请画出图,并说明理由.
第7课时直线与圆的位置关系
【学习目标】
1、理解直线和圆的位置关系,掌握直线和圆的三种位置关系的判定方法。
2、能用d和r的三种数量关系判断直线与圆的位置关系。
【学习重点】能根据能用d和r的三种数量关系判断直线与圆的位置关系
1、如图1⊙O的半径为r若A点在,则OAr;
若B点在圆上,则OBr
若C点在圆外,则OCr.
2、在右图2上表示点P到直线AB的距离
1、阅读教材§
3.5P123—P124
①、如图3
(1)所示,如果一条直线与一个圆公共点,那么就说这条直线与这个圆,
②、如图3
(2)所示,如果一条直线与一个圆只有个公共点,那么就说这条直线与这个圆,此时这条直线叫做圆的,这个公共点叫做.
③、如图3(3)所示,如果一条直线与一个圆有个公共点,那么就说这条直线与这个圆,此时这条直线叫做圆的.
直线与圆的位置关系只有、和三种.
例1、在Rt△ABC中,∠C=90°
,AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心,r为半径的圆与AB有怎样的位置关系?
(1)r=2cm;
(2)r=2.4cm(3)r=3cm。
例2、已知⊙A的直径为6,点A的坐标为(-3,-4),则⊙A与X轴的位置关系是_____,
⊙A与Y轴的位置关系是______
例3、圆的最大弦为12cm,如果直线与圆相交,且直线与圆心的距离为
那么()
A.
B.
C.
D.
四、反思小结:
直线与圆的位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
公共点名称
直线名称
图形
圆心到直线距离d与半径r的关系
1、已知圆的半径r等于5厘米,圆心到直线l的距离为d:
(1)当d=4厘米时;
有dr,直线l和圆有个公共点,直线l与圆
(2)当d=5厘米时;
(3)当d=6厘米时;
2、⊙O的直径为4,圆心到直线的l的距离为3,则直线l与⊙O的位置关系是()
A、相离B、相切C、相交D、相切或相交
3、⊙O的半径为5,点A在直线l上,若OA=5,则直线l与⊙O的位置关系是()
4、设⊙O的半径为r,圆心到直线l的距离为d,若直线l与圆有公共点,则r与d的关系是()
D、
5、在
⊙O的半径为1,当
时,直线与圆相切。
6、在
以C为圆心,r为半径的圆与直线AB相切,则r=。
【学习课题】第8课时切线的性质
【学习目标】1、知道圆的切线的性质。
2、会运用切线的性质进行证明或计算;
3、经历探究、计算、证明的过程,进一步培养分析、推理能力。
4、初步体会反证法的思想方法。
【学习重点】切线性质的运用。
【教学过程】
一、学习准备:
1、直线与圆的三种位置关系是:
, 和 。
2、当直线l与圆相切时,圆心到直线l的距离等于 。
此时,直线与圆有且只有 个交点,这个交点叫做直线与圆的 。
3、切线的性质:
阅读教材P155-156 。
如图
(1),你能讲一讲半径OA与
直线l必定垂直的道理吗?
与同小组的同学说一说。
圆的切线的性质是:
。
如图
(一),用符号语言表述为:
∵。
∴。
4、切线性质的运用:
例1:
已知,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,过A作AD垂
直于过C点的切线于点D,连接AC。
AC平分∠BAD。
画;
标;
联;
写;
①如图
(2),以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB与小圆
相切于点P。
猜想P点的特征,并说明理由。
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