高考数学难题突破训练三.docx
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高考数学难题突破训练三
函数综合练习
12.(5分)把平面图形M上的所有点在一个平面上的射影构成的图形M′叫作图形M在这个平面上的射影.如图,在三棱锥A﹣BCD中,BD⊥CD,AB⊥DB,AC⊥DC,AB=DB=5,CD=4,将围成三棱锥的四个三角形的面积从小到大依次记为S1,S2,S3,S4,设面积为S2的三角形所在的平面为α,则面积为S4的三角形在平面α上的射影的面积是( )
A.2B.C.10D.30
16.(5分)如图,将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状,下底AB是半圆的直径,上底CD的端点在半圆上,则所得梯形的最大面积为 .
21.(12分)已知函数f(x)=lnx+﹣1,a∈R.
(1)若关于x的不等式f(x)≤x﹣1在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围;
(2)设函数g(x)=,若g(x)在[1,e2]上存在极值,求a的取值范围,并判断极值的正负.
【解答】
(2)g(x)==+﹣,x∈[1,e2],
求导g′(x)=+﹣=,
设h(x)=2x﹣xlnx﹣2a,h′(x)=2﹣(1+lnx)=1﹣lnx,
由h′(x)=0,解得:
x=e,
当1≤x<e时,h′(x)>0,当e<x≤e2,h′(x)<0,
且h
(1)=2﹣2a,h(e)=e﹣2a,h(e2)=﹣2a,
显然h
(1)>h(e2),
若g(x)在[1,e2]上存在极值,
则或,当,即1<a<时,
则必定存在x1,x2∈[1,e2],使得h(x1)=h(x2)=0,且1<x1<x1<e2,
当x变化时,h(x),g′(x),g(x)的变化如表,
x
(1,x1)
x1
(x1,x2)
x2
(x1,e2)
h(x)
﹣
0
+
0
﹣
g′(x)
﹣
0
+
0
﹣
g(x)
↓
极小值
↓
极小值
↓
当1<a<时,g(x)在[1,e2]上的极值为g(x1),g(x2),且g(x1)<g(x2),
由g(x1)=+﹣=,
设φ(x)=xlnx﹣x+a,其中1<a<,1≤x<e,
则φ′(x)=lnx>0,
∴φ(x)在(1,e)上单调递增,φ(x)=φ
(1)=a﹣1>0,
当且仅当x=1时,取等号;
∵1<x1<e,g(x1)>0,
当1<a<,g(x)在[1,e2]上的极值g(x2)>g(x1)>0,
当,即0<a≤1时,
则必定存在x3∈(1,e2),使得h(x3)=0,
易知g(x)在(1,x3)上单调递增,在(x3,e2]上单调递减,
此时,g(x)在[1,e2]上的极大值时g(x3),即g(x3)>g(e2)=>0,
当0<a≤1时,g(x)在[1,e2]上存在极值,且极值都为正数,
综上可知:
当0<a<时,g(x)在[1,e2]上存在极值,且极值都为正数,
21.(12分)已知函数f(x)=alnx﹣x+,其中a>0
(Ⅰ)若f(x)在(2,+∞)上存在极值点,求a的取值范围;
(Ⅱ)设x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),若f(x2)﹣f(x1)存在最大值,记为M(a).则a≤e+时,M(a)是否存在最大值?
若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由.
【解答】解:
(Ⅰ)f′(x)=﹣1﹣=,x∈(0,+∞),
由题意得,x2﹣ax+1=0在x∈(2,+∞)上有根(不为重根),
即a=x+在x∈(2,+∞)上有解,
由y=x+在x∈(2,+∞)上递增,得x+∈(,+∞),
检验,a>时,f(x)在x∈(2,+∞)上存在极值点,
∴a∈(,+∞);
(Ⅱ)若0<a≤2,∵f′(x)=在(0,+∞)上满足f′(x)≤0,
∴f(x)在(0,+∞)上递减,∴f(x2)﹣f(x1)<0,
∴f(x2)﹣f(x1)不存在最大值,则a>2;
∴方程x2﹣ax+1=0有2个不相等的正实数根,
令其为m,n,且不妨设0<m<1<n,
则,
f(x)在(0,m)递减,在(m,n)递增,在(n,+∞)递减,
对任意x1∈(0,1),有f(x1)≥f(m),
对任意x2∈(1,+∞),有f(x2)≤f(n),
∴[f(x2)﹣f(x1)]max=f(n)﹣f(m),
∴M(a)=f(n)﹣f(m)=aln+(m﹣n)+(﹣),
将a=m+n=+n,m=代入上式,消去a,m得:
M(a)=2[(+n)lnn+(﹣n)],
∵2<a≤e+,∴+n≤e+,n>1,
由y=x+在x∈(1,+∞)递增,得n∈(1,e],
设h(x)=2(+x)lnx+2(﹣x),x∈(1,e],
h′(x)=2(1﹣)lnx,x∈(1,e],
∴h′(x)>0,即h(x)在(1,e]递增,
∴[h(x)]max=h(e)=,
∴M(a)存在最大值为.
1.已知函数f(x)=ae2x+(a﹣2)ex﹣x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
17.已知函数f(x)=2lnx+x2﹣mx(m∈R).
(1)若f(x)在其定义域内单调递增,求实数m的取值范围;
(2)若有两个极值点x1,x2(x1<x2),求f(x1)﹣f(x2)的取值范围.
26.已知函数f(x)=,g(x)=﹣x2+ax+1.
(1)求函数y=f(x)在[t,t+2](t>0)上的最大值;
(2)若函数y=x2f(x)+g(x)有两个不同的极值点x1,x2(x1<x2),且x2﹣x1>ln2,求实数a的取值范围.
27.已知函数f(x)=x﹣alnx﹣1,,其中a为实数.
(Ⅰ)求函数g(x)的极值;
(Ⅱ)设a<0,若对任意的x1、x2∈[3,4](x1≠x2),恒成立,求实数a的最小值.
32.已知函数f(x)=ax2﹣x﹣lnx,(a∈R,lnx≤x﹣1).
(1)若时,求函数f(x)的最小值;
(2)若﹣1≤a≤0,证明:
函数f(x)有且只有一个零点;
(3)若函数f(x)有两个零点,求实数a的取值范围.
33.已知函数f(x)=﹣ln(x+1)(a>0).
(I)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)当a=1时,关于x的不等式f(x)≤kx2在x∈[0,+∞)上恒成立,求k的取值范围.
35.已知函数f(x)=1﹣ax+lnx
(1)若不等式f(x)≤0恒成立,则实数a的取值范围;
(2)在
(1)中,a取最小值时,设函数g(x)=x(1﹣f(x))﹣k(x+2)+2.若函数g(x)在区间上恰有两个零点,求实数k的取值范围;
(3)证明不等式:
(n∈N*且n≥2).
40.已知函数f(x)=(x﹣2)ex+ax(a∈R)
(1)试确定函数f(x)的零点个数;
(2)设x1,x2是函数f(x)的两个零点,当x1+x2≤2时,求a的取值范围.
18.已知函数f(x)=a(x2﹣x)﹣lnx(a∈R).
(1)若f(x)在x=1处取到极值,求a的值;
(2)若f(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围;
(3)求证:
当n≥2时,++…+>.
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