高考数学导数与函数的零点.docx
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高考数学导数与函数的零点
第2讲导数与函数的零点
⑴
⑵
【知识点睛】
函数的零点等价于方程的根等价于函数的交点,转化一般如:
函数y=f(x)图象的零点;(设f(x)=g(x)-h(x))
等价于方程f(x)=0的根;
等价于方程g(x)=h(x)的根;
等价于函数y=g(x)与y=h(x)图象的交点.
1.方程可以求解,但更多的时候,方程仅起到过渡作用.通过方程的变形,完成函数的变形.使得零点和交点得以相互转化.
2.交点一般需要两个函数有清晰的变化关系,通过图象求解.大题中变形成交点问题来处理往往出于两种目的:
⑴通过分析图象间关系快速得到答案;
⑵常规手段极其困难时的“狗急跳墙”方法.
所以,交点的处理一般起到辅助作用,并非主要方法,除非万不得已,不推荐使用图象间交点说明问题.
3.零点是大题中解决问题的主要方法.通过图象配合零点存在定理解决问题.根据零点存在定理:
“连续函数f(x)在(a,b)上单调,且f(a)f(b)<0,则(a,b)上有且只有一个x0,使得
f(x0)=0”,每个零点的判断都由两部分完成:
⑴完成单点区间的判断;
⑵在单调区间上找到两个异号的函数值.
【例1】(x)=ln(1+x)-mx
(x)
⎡⎣0,e2-1⎤⎦
【例2】2018(x)=1-alnx(a∈R)
x
(x)
+∞⎫
⎪
⎭
【例3】(x)=ex-ax(a∈R)(0,+∞)
⎝⎭
ex⎛2⎫
【例4】2014(x)=x2-kçx+lnx⎪
⑵(x)
(0,2)
(x)
【例5】2014(x)=(x+a)exe
g(x)=f(x-a)-x2
a<1
【习题1】2019
(x)=2sinx-xcosx-x
f'(x)
(0,π)
【习题2】2019
(x)=sinx-ln(1+x)
f'(x)
⎛-1,π⎫
ç2⎪
⎝⎭
【习题3】2019
(x)=lnx-
【习题4】
2012
f(x)=ex(x2
+ax-a)a
k
x
f(x)=k[0,+∞)
k
【习题5】(x)=ax-a+1(a≠0)ex
【习题6】(x)=eax⋅sinx-1
a>0
(x)
[0,π]
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