学年高中数学第3章概率31随机事件及其概率311312随机现象随机事件的概率教学案苏教版必修3Word文档格式.docx

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（1）频率和概率是两个不同概念，频率随试验次数的改变而改变；

而概率是客观存在的，它不随试验的变化而改变．

（2）概率是频率的稳定值，当试验次数很大时，可将事件A发生的频率

作为事件A概率的近似值，即P（A）≈

.

（3）概率是用来刻画事件发生的可能性大小．

（2）概率的性质

①有界性：

对任意事件A，有0≤P（A）≤1.

②规范性：

若Ω、Ø

分别代表必然事件和不可能事件，则P（Ω）＝1；

P（Ø

）＝0.

1．指出下列现象是确定性现象还是随机现象：

（1）一个盒子中有10个完全相同的白球，搅匀后从中任意摸取一球是白球；

（2）函数y＝ax（a＞0且a≠1）在定义域（－∞，0]上是增函数；

（3）圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2内的点的坐标可使不等式（x－a）2＋（y－b）2＜r2成立．

答案：

（1）确定性现象　

（2）随机现象　（3）确定性现象

2．给出事件：

①在标准大气压下，水加热到80℃时会沸腾；

②掷一枚硬币，出现反面；

③实数的绝对值不小于零．

其中，是不可能事件的有________．

①

3．某人买了100张彩票，结果有5张中奖，则本期彩票中奖的概率一定是0.05，这种说法________．（填写“正确”或“不正确”）

解析：

买100张彩票相当于做100次试验，其中有5张中奖，说明中奖的频率是0.05，并不一定是概率，只有做大量重复试验时，频率才接近概率．

不正确

判断事件的属性

[典例]　给出下列四个命题：

①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；

②“当x为某一实数时，可使x2<

0”是不可能事件；

③“明天苏州要下雨”是必然事件；

④“在次品率为1%的产品中，任取100件产品，其中一定有1件次品，99件正品”是必然事件．

其中正确命题的个数是________．

[解析]　①中三个球全部放入两个盒子，其结果为一盒为3个球，另一盒空球，一盒一个球另一盒两个球，故为必然事件．

②当x∈R时，x2≥0，故x2<

0是不可能事件．

③可能下雨也可能不下雨，故为随机事件，故③不正确．

④是随机事件，故④不正确．

[答案]　2

判断一个事件是必然事件、不可能事件、随机事件，主要依据在一定的条件下，所要求的结果是否一定出现、不可能出现，可能出现、可能不出现．　　　　　　

[活学活用]

判断下列事件是随机事件、必然事件还是不可能事件．

（1）某人购买福利彩票中奖；

（2）导体通电时发热；

（3）在标准大气压下，水加热到100℃沸腾；

（4）某人投篮10次，没投中1次；

（5）早上看到太阳从西方升起；

（6）抛掷一颗骰子出现的点数为偶数；

（7）向上抛出的石头会下落；

解：

由题意知

（2）（3）（7）是必然事件，（5）是不可能事件，

（1）（4）（6）是随机事件.

概率的概念的理解

[典例]　下列说法：

①抛掷硬币100次，有55次出现正面，所以出现正面的概率为0.55；

②如果买彩票中奖的概率是0.001，那么买1000张彩票一定能中奖；

③乒乓球比赛前，决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数字中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的；

④昨天没有下雨，则说明关于昨天气象局的天气预报“降水概率为90%”是错误的．

其中，正确的有________（填序号）．

[解析]　抓住概率的意义可判断．对①0.55只是这次试验的频率，故①错误；

对于②，买1000张彩票不一定中奖，故②错误；

对于④，降水概率为90%只说明下雨的可能性很大，但也可能不下雨，故④错误．

[答案]　③

概率是描述随机事件发生的可能性大小的量，概率大，只能说明这个随机事件发生的可能性大，而不是必然发生或必然不发生．　　　　　

1．某射手击中靶心的概率是0.9，是不是说明他射击10次就一定能击中9次？

从概率的统计定义出发，击中靶心的概率是0.9并不意味着射击10次就一定能击中9次．只有进行大量射击试验时，击中靶心的次数约为

n，其中n为射击次数．而且n越大，击中的次数就越接近

n.

2．试解释下面情况中概率的意义．

（1）某商场为促进销售，实行有奖销售活动，凡购买其商品的顾客中奖的概率为0.20；

（2）一生产厂家称：

“我们厂生产的产品合格的概率为0.98.”

（1）指购买其商品的顾客中奖的可能性是20%；

（2）是说其厂生产的产品合格的可能性是98%.

用频率估计概率

[典例]　一个地区从某年起几年之内的新生儿数及其中男婴数如下：

时间范围

1年内

2年内

3年内

4年内

新生婴儿数

5544

9607

13520

17190

男婴数

2883

4970

6994

8892

男婴出生的频率

（1）填写表中男婴出生的频率（结果保留到小数点后第3位）；

（2）这一地区男婴出生的概率约是多少？

[解]

（1）频率分别为0.520,0.517,0.517,0.517.

（2）根据频率的值可知，频率的值在0.52左右波动，因此可估计该地区男婴的出生率约为0.52.

用事件A发生的频率

作为事件A的概率P（A），从探求概率上讲，它是一种近似计算，即P（A）≈

，P（A）的取法，一般是在若干个

中，把大多数的

接近的数作为P（A）．　　　　　　

某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：

投篮次数n

8

10

12

9

16

进球次数m

6

7

进球频率

（1）计算表中进球的频率；

（2）这位运动员投篮一次，估计进球的概率是多少？

计算频率，用频率去估算概率．

（1）由公式可计算出每场比赛该运动员罚球进球的频率依次为

，

（2）由

（1）知，每场比赛进球的频率虽然不同，但频率总是在

附近摆动，可估计该运动员进球的概率为

[层级一　学业水平达标]

1．下面给出了四种现象：

①若x∈R，则x2＋1＜1；

②某地2月3日下雪；

③若平面α∩β＝m，n∥α，n∥β，则m∥n.

其中是确定性现象的是________．

∵x∈R，x2＋1≥1，∴①是不可能事件，属于确定性现象；

∵某地2月3日下雪可能发生也可能不发生，∴②是随机现象；

③是对的，是确定性现象．

①③

2．已知下列事件：

①连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点；

②在地球上，树上掉下的苹果不抓住就往下掉；

③某人买彩票中奖；

④已经有一个女儿，那么第二次生男孩；

⑤在标准大气压下，水加热到98℃时会沸腾．

其中________是随机事件，________是必然事件，________是不可能事件．

①③④　②　⑤

3．在10件同类商品中，有8件红色的，2件白色的，从中任意抽取3件：

①3件都是红色；

②至少有1件白色；

③3件都是白色；

④至少有1件红色．

其中是必然事件的是________．（填序号）

④

4．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了________次试验．

设进行了n次试验，则有

＝0.02，得n＝500，

故进行了500次试验．

500

5．某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下：

每批

粒数

2

5

70

130

310

700

1500

2000

3000

发芽的

4

60

116

282

639

1339

1806

2715

频率

（1）将油菜籽发芽的频率填入上表中（保留2位小数）；

（2）这种油菜籽发芽的概率约是多少？

（1）某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下：

1

0.8

0.9

0.86

0.89

0.91

0.90

（2）由

（1）估计这种油菜籽发芽的概率约是0.90.

[层级二　应试能力达标]

1．下列说法不正确的是________．（填序号）

①不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1；

②某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的概率是0.8；

③“直线y＝k（x＋1）过定点（－1,0）”是必然事件；

④随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．

②④

2．有下列事件：

①连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面朝上；

②异性电荷相互吸引；

③在标准大气压下，水在1℃结冰；

④买了一注彩票就得了特等奖．

其中是随机事件的有________．

①是随机事件，②是必然事件，③是不可能事件，④是随机事件．

①④

3．利用简单随机抽样的方法抽查了某校200名学生，其中戴眼镜的同学有123人，若在这个学校随机调查一名学生，则他戴眼镜的概率是________．

根据频率与概率的关系及概率的意义知，这名学生戴眼镜的概率为

＝0.615.

0.615

4．已知非空集合A，B，且A⊆B.下列四个命题，正确的是________（填序号）．

①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；

②若x∉A，则x∈B是不可能事件；

③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；

④若x∉B，则x∉A是必然事件．

因为A⊆B，所以若x∈A，则x∈B；

但x∉A，也可能有x∈B；

若x∉B，一定有x∉A.从而①③④正确．

①③④

5．一袋中有红球3只，白球5只，还有黄球若干只．某人随意摸100次，其摸到红球的频数为30次，那么袋中黄球约有________只．

由

＝

，解得x＝2.

6．样本容量为200的频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10）内的频数为________，数据落在[2,10）内的概率约为________．

由于组距为4，因此在[6,10）内的概率为0.08×

4＝0.32，其频数为0.32×

200＝64.落在[2,10）内的频率为（0.02＋0.08）×

4＝0.4，即概率约为0.4.

64　0.4

7．连续掷一枚硬币二次，可能出现的结果有________种．

8．已知f（x）＝x2＋2x，x∈[－2,1]，给出事件A：

f（x）≥a.

（1）当A为必然事件时，a的取值范围为________；

（2）当A为不可能事件时，a的取值范围为________．

∵f（x）＝x2＋2x＝（x＋1）2－1，x∈[－2,1]，

∴f（x）min＝－1，此时x＝－1，又f（－2）＝0＜f

（1）＝3，∴f（x）max＝3，

∴f（x）∈[－1,3]．

（1）当A为必然事件时，即f（x）≥a恒成立，

所以有a≤f（x）min＝－1，

则a的取值范围是（－∞，－1]．

（2）当A为不可能事件时，

即f（x）≥a一定不成立，

所以有a＞f（x）max＝3，

则a的取值范围是（3，＋∞）．

（1）（－∞，－1]　

（2）（3，＋∞）

9．为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：

先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2000尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库，经过适当时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾，试根据上述数据，估计水库内鱼的尾数．

设水库中鱼的尾数为n，假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，从水库中任捕一尾，

设事件A＝{带有记号的鱼}，易知P（A）＝

，①

第二次从水库中捕出500尾，观察其中带有记号的鱼有40尾，即事件A发生的频数m＝40，由概率的统计定义可知P（A）＝

，②

由①②两式，得

解得n＝25000.

所以估计水库中约有鱼25000尾．

10．（北京高考）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×

”表示未购买.

　　　商品

顾客人数　　　

甲

乙

丙

丁

100

√

×

217

200

300

85

98

（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；

（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；

（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？

（1）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为

＝0.2.

（2）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为

＝0..

（3）与

（1）同理，可得：

顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为

＝0.2，

顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为

＝0.6，

顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为

＝0.1，

所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．