七年级数学上册复习第3章一元一次方程知识点总结及精选题解析Word格式文档下载.docx
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通常设x、y、z为未知数,也可以设别的字母,全部小写字母都可以.
未知数称为元,有几个未知数就叫几元方程.
一道题中设两个方程时,它们的未知数不能一样!
③“次”:
方程中次的概念和整式的“次”的概念相似.
指的是含有未知数的项中,未知数次数最高的项对应的次数,也就是方程的次数.
未知数次数最高是几就叫几次方程.
④方程有整式方程和分式方程.
整式方程:
方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程.
分式方程:
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
二、一元一次方程
1.一元一次方程的概念:
只含有一个未知数(元)且未知数的指数是1(次)的整式方程叫做一元一次方程.
(2)一般形式:
(a,b为常数,x为未知数,且
).
(3)注意:
①该方程为整式方程.
②该方程有且只含有一个未知数.
③该方程中未知数的最高次数是1.
④化简后未知数的系数不为0.如:
,它不是一元一次方程.
⑤未知数在分母中时,它的次数不能看成是1次.如
2.一元一次方程的解法:
(1)方程的解:
能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解,一般写作:
“
”的形式.
(2)解方程:
求出方程的解的过程,也可以说是求方程中未知数的值的过程,叫解方程.
(3)移项:
①定义:
从方程等号的一边移到等号另一边,这样的变形叫做移项.
②说明:
Ⅰ移项的标准:
看是否跨过等号,跨过“=”号才称为移项;
移项一定改变符号,不移项的不变.
Ⅱ移项的依据:
移项实际上就是对方程两边进行同时加减,根据是等式的性质①.
Ⅲ移项的原则:
移项时一般把含未知数的项向左移,常数项往右移,使左边对含未知数的项合并,右边对常数项合并,方便求解.
(4)解一元一次方程的一般步骤及根据:
①去分母——等式的性质②
②去括号——分配律
③移项——等式的性质①
④合并——合并同类项法则
⑤系数化为1——等式的性质②
⑥检验——把方程的解分别代入方程的左右边看求得的值是否相等(在草纸上)
(5)一般方法:
①去分母,程两边同时乘各分母的最小公倍数.
②去括号,一般先去小括号,再去中括号,最后去大括号.
但顺序有时可依据情况而定使计算简便,本质就是根据乘法分配律.
③移项,方程中含有未知数的项移到方程的另一边,其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号.(一般都是把未知数移到一起)
④合并同类项,合并的是系数,将原方程化为
)的形式.
⑤系数化1,两边都乘以未知数的系数的倒数.
⑥检验,用代入法,在草稿纸上算.
(6)注意:
(对于一元一次方程的一般步骤要熟练掌握,更要观察所求方程的形式、特点,灵活变化解题步骤)
①分母是小数时,根据分数的基本性质,把分母转化为整数,局部变形;
②去分母时,方程两边各项都乘各分母的最小公倍数,
Ⅰ此时不含分母的项切勿漏乘,即每一项都要乘
Ⅱ分数线相当于括号,去分母后分子各项应加括号(整体思想);
③去括号时,不要漏乘括号内的项,不要弄错符号;
④移项时,切记要变号,不要丢项,有时先合并再移项,以免丢项;
⑤系数化为1时,方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数,不要弄错符号(打草稿认真计算);
⑥不要生搬硬套解方程的步骤,具体问题具体分析,找到最佳解法;
⑦分数、小数运算时不能嫌麻烦,不要跳步,一步步仔细算.
(7)补充:
分数的基本性质:
与等式基本性质②不同.
分数的分子分母两个整体同时乘以同一个不为0的数或除以同一个不为0的数,分数的值不变.
3.一元一次方程的应用:
(1)解决实际应用题的策略:
①审题:
就是多读题,读懂题,读的时候一定沉下心去,不能慌不要急躁,要细,一个字一个字的精读,要慢,边读边思考.找到已知条件,未知条件,找到数量关系和等量关系,可以用笔在题目中标注下来重要信息和数量关系,审题往往伴随下个步骤.
②设出适当未知数,往往问什么设什么,有时也间接设未知数,然后用未知数通过关系表示出其他相关的量.
③找出等量关系,用符号语言表示就是列出方程.
(2)分析问题方法:
①文字关系分析法,找关键字词句分析实际问题中的数量关系
②表格分析法,借助表格分析分析实际问题中的数量关系
③示意图分析法,通过画图帮助分析实际问题中的数量关系
(3)设未知量方法:
一个应用题,往往涉及到几个未知量,为了利用一元一次方程来解应用题,我们总是设其中一个未知量为x,并用这个未知数的代数式去表示其他的未知量,然后列出方程.
①设未知量的原则就是设出的量要便于分析问题,与其它量关系多,好表示其它量,好表示等量关系;
②有直接设未知量和间接设未知量,还有不常见的辅助设未知量.
(4)找等量关系的方法:
“等量关系”特指数量间的相等关系,是数量关系中的一种.数学题目中常含有多种等量关系,如果要求用方程解答时,就需找出题中的等量关系.
①标关键词语,抓住关键句子确定等量关系.(比如多,少,倍,分,共)解题时只要找出这种关键语句,正确理解关键语句的含义,就能确定等量关系.
②紧扣基本公式,利用基本关系确定等量关系就是根据常见的数量关系确定等量关系.(比如体积公式,单价×
数量
总价,单产量×
数量=总产量,速度×
时间=路程,工效×
时间=工作总量等.这些常见的基本数量关系,就是等量关系)
③通过问题中不变的量,相等的量确定等量关系.就是用不同的方法表示同一个量,从而建立等量关系.
④借助线段图确定等量关系。
线段图能使抽象的数量关系具体化,使隐蔽的数量关系明朗化.对于较复杂的题目,同学们可借助线段图找等量关系.
(5)列一元一次方程解应用题的基本步骤及注意点:
①“审”要沉着冷静,耐下心去,慢读细读多读,透彻理解题意.即弄清已知量、未知量及其相互关系.
②“设”设一个恰当的未知数,若有单位一定加单位,表示多项式加单位括号.
③“列”根据等量关系列出方程,即所列的方程应满足两边的量要相等;
方程两边的代数式的单位统一,用题目中的原数;
题中条件应充分利用,不能漏也不能将一个条件重复利用,重复用一个条件会得到恒等式,解不出来.
④“解”解出方程,一定在草纸上一步步认真计算,先化简往往会简化计算.
⑤“验”检验两方面,一是解得是否正确,用代入法;
二是是否符合实际情况.
⑥“答”写出答案,一定要答完整,有单位要加单位.
(6)解应用题关键与核心:
根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系(这是关键一步).就是抓住问题中的有关数量的相等关系,列出方程.核心是设出适当未知量,根据关系表示出其它量,表示出等量关系中的各个部分,从而列出方程.
(7)实际问题的常见题目类型:
基本量、基本关系、等量关系:
①“和、差、倍、分类问题”:
弄清和谁比,比谁多,比谁少
增长量=原有量×
增长率,现有量=原有量+增长量.
②“等积变形问题”:
锻造前的体积=锻造后的体积
长方体的体积=长×
宽×
高,圆柱的体积=底面积×
高.
③“打折利润问题”:
利润是和成本比的
利润=售价-进价,利润率=
,售价=标价×
折扣.
④“行程问题”:
(相遇问题和追及问题)
路程=时间×
速度,时间=
,速度=
.
(注意单位:
路程——米、千米;
时间——秒、分、时;
速度——米/秒、
、千米/小时)
⑤“销售问题”总价=单价×
数量,总钱数=各部分钱数和.
⑥“利率(息)问题”本息和=本金+利息,利息=本金×
利率×
时间(期数).
⑦“工程问题”工作总量=工作时间×
工作效率,工作总量=各部分工作量的和.
⑧数字问题(包括日历中数字规律)⑨比例分配问题⑩调配问题
注意:
应用题分类只是帮助同学们理解记忆,切不可死记题型,生搬硬套,实际上法无定法,要多加练习,培养分析问题解决问题的能力,熟练掌握列方程解应用题的一般方法.
一元一次方程错题精选
一、选择题
今年“五一”当天,从早晨8:
00开始每小时进入云阳山景区的游客人数约为1000人,同时每小时走出景区的游客人数约为600人,已知云阳山上景区游客的饱和人数约为2000人,则据此可知“五一”当天该景区游客人数饱和的时间约为()
A.10:
00B.12:
00C.13:
00D.16:
00
某
班级劳动时,将全班同学
分成x个小组,若每小组11人,则余下1人;
若每小组12人,则有一组少4人.按下列哪个选项重新分组,能使每组人数相同?
()
A.3组B.5组C.6组D.7组
某商场卖出两个进价不同的手机,都卖了1200元,其中一个盈利50%,另一个亏本20%,在这次买卖中,这家商场()
A.不赔不赚B.赔100元C.赚100元D.赚360元
某种商品每件的标价是330元,按标价的八折销售时,仍可获利10%,则这种商品每件的进价为()
A.240元B.250元C.280元D.300元
已知方程
与方程
的解相同,则
的值为()
A.0B.2C.1D.-1
关于x的方程ax+3=4x+1的解为正整数,则整数a的值为()
A.2B.3C.1或2D.2或3
方程|x+1|+|x-3|=4的整数解有()
A.2个B.3个C.5个D.无穷多个
球队训练用的足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的,其
中黑皮
可看作正五边形,白皮可看作正六边形,黑、白皮块的数目比为3∶5,要求出黑皮、白皮的块数,若设黑皮的块数为x,则列出的方程正确的是()
A.3x=32-xB.3x=5(32-x)C.5x=3(32-x)D.6x=32-x
已知面包店的面包一个15元,小明去此店买面包,结账时店员告诉小明:
“如果你再多买一个面包就可以打九折,价钱会比现在便宜45元”,小明说:
“我买这些就好了,谢谢.”根据两人的对话,判断结账时小明买了多少个面包?
()
A.38B.39C.40D.41
某市出租车起步价是5元(3公里及3公里以内为起步价),以后每公里收费是1.6元,不足1公里按1公里收费,小明乘出租车到达目的地时计价器显示
为11.4元,则此出租车行驶的路程可能为()
A.5.5公里B.6.9公里C.7.5公里D.8.1公里
为确保信息安全,信息需要加密传输,发送方由明文⇒密文(加密),接收方由密文⇒明文(解密).已知加密规则为:
明文a,b,c对应的密文a+1,2b+4,3c+9.例如明文1,2,3对应的密文2,8,18.如果接收方收到密文7,18,15,则解密得到的明文为()
A.4,5,6B.6,7,2C.2,6,7D.7,2,6
设一列数a1,a2,a3,…a2016中任意三个相邻数之和都是35,已知a3=2x,a20=15,a99=3-x,那么a2016=()
A.2B.5C.15D.18
二、填空题
已知t满足方程
的值为
.
已知关于x的方程kx=7-x有正整数解,则整数k的值为.
我们知道,无限循环小数都可以转化为分数.例如:
将
转化为分数时,可设
=x,则x=0.3+
x,解得x=
,即
=
.仿此方法,将
化成分数是 .
有m辆校车及n个学生,若每辆校车乘坐40名学生,则还有10名学生不能上车;
若每辆校车乘坐43名学生,则只有1名学生不能上车.现有下列四个方程:
①40m+10=43m-1;
②
;
③
④40m+10=43m+1.
其中正确的是(请填写相应的序号)
某超市举办促销活动,全场商品一律打八折,小强买了一件商品比标价少付了22元,那么他购买这件商品花了元.
如果关x的方程
与
的解相同,那么m的值是.
三、解答题:
解方程:
.解方程:
某商场在节日期间举行促销活动,规定:
(1)若所购商品标价不超过200元,则不给予优惠;
(2)若所购商品标价超过200元但不超过500元,则超过200元的部分给予9折优惠;
(3)若所购商品标价超过500元,其中500元内(含500元)的部分按第
(2)条给予优惠,超过500元的部分给予8折优惠.某人来该商场购买一件家用电器共节省330元,则该件家电在商场标
价是多少元?
为了落实水资源管理制度,大力促进水资源节约,某地实行居民用水阶梯水价,收费标准如下表:
居民用水阶梯水价表单位:
元/立方米
分档
户每月分档用水量x(立方米)
水价
第一阶梯
0≤x≤15
5.00
第二阶梯
15<x≤21
7.00
第三阶梯
x>21
9.00
(1)小明家5月份用水量为14立方米,在这个月,小明家需缴纳的水费为_______元;
(2)小明家6月份缴纳水费110元,在这个月,小明家缴纳第二阶梯水价的用水量为_______立方米;
(3)随着夏天的到来,用水量将会有所增加,为了节省开支,小明家计划7月份的水费不超过180元,在这个月,小明家最多能用水多少立方米?
某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元,若每月用电量超过a千瓦时,则超过部分按基本电价的70%收费。
(1)某户八月份用电84千瓦时,共交电费30.72
元,求a.
(2)若该用户九月份的平均电费为0.36元,则九月份共用电多少千瓦时?
应交电费是多少元?
某大型超市元旦假期举行促销活动,规定一次购物不超过100元的不给优惠;
超过100元而不超过300时,按该次购物全额9折优惠;
超过300元的其中300元仍按9折优惠,超过部分按8折优惠.小美两次购物分别用了94.5元和282.8元,现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品,则小丽应该付款多少元?
一般情况下
不成立,但有些数可以使得它成立.例如:
m=n=0时,我们称使得
成立的一对数m,n为“相伴数对”,记为(m,n)。
(1)若(m,1)是“相伴数对”,则m=;
(2)(m,n)是“相伴数对”,则代数式
的值为。
公园门票价格规定如下表:
某校初一
(1)、
(2)两个班共104人去游公园,其中
(1)班人数较少,不足50人.经估算,如果两个班都以班为单位购票,则一共应付1240元,问:
①两班各有多少学生?
②如果初一
(1)班单独组织去游公园,作为组织
者的你将如何购票才最省钱?
参考答案
CDCACDCBBBBA
答案为:
2;
答案为:
0或6;
.答案为:
③④;
88;
答案为±
2.答案为:
x=-3.4.
原方程可化为:
去分母,得40x+60=5(18-18x)-3(15-30x),去括号得40x+60=90-90x-45+90x,移项,合并得40x=-15,系数化为1,得x=
解:
由题意知,若该家电大于200元但不超过500元,优惠的钱数为300-300×
0.9=30元,因为该家电优惠330元,所以该家电一定超过500元,设该家电在商场的标价为x元,则优惠钱数为(300-300×
0.9)+(x-500)×
(1-0.8)=330.解得:
x=2000.所以,若某人来该商场购买一件家用电器共
节省330元,则该件
家电在商场标价为2000元.
(1)由表格中数据可得:
0≤x≤15时,水价为:
5元/立方米,
故小明家5月份用水量为14立方米,在这个月,小明家需缴纳的水费为:
14×
5=70(元);
(2)∵15×
5=75<110,75+6×
7=117>110,∴小明家6月份使用水量超过15立方米但小于21立方米,
设小明家6月份使用水量为x立方米,∴75+(x﹣15)×
7=110,解得:
x=20,
故小明家缴纳第二阶梯水价的用水量为:
20﹣15=5(立方米),故答案为:
5;
(3)设小明家能用水a立方米,根据题意可得:
117+(a﹣21)×
9≤180,解得:
a≤28.
答:
小明家计划7月份的水费不超过180元,在这个月,小明家最多能用水28立方米.
因为100×
0.9=90<94.5<100,300×
0.9=270<282.8,
设小美第二次购物的原价为x元,则(x-300)×
0.8+300×
0.9=282.8
解得,x=316,所以有两种情况.
情况1:
小美第一次购物没有优惠,第二次购物原价超过300元,则小丽应付(316+94.5-300)×
0.9=358.4(元),
情况2:
小美第一次购物原价超过100元,第二次购物原价超过300元;
则第一次购物原价为:
94.5÷
0.9=105(元),所以小丽应付(316+105
300)×
0.9=366.8(元).因此,小丽应该付款358.4元或366.8元.
(1)m=-
(2)-3;
m=-
n,代入得-3;
①设初一
(1)班有x人,则有13x+11(104-x)=1240,解得:
x=48.即初一
(1)班48人,初一
(2)班56人;
②解:
要想享受优惠,由
(1)可知初一
(1)班48人,只需多买3张,51×
11=561,48×
13=624>561,∴48人买51人的票可以更省钱.
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