立方和与立方差公式Word下载.docx
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[例2]计算〔a+b〕2和〔a-b〕2,可知〔a+b〕2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2,即〔a±
b〕2=a2±
2ab+b2,这就是说,两数和〔或差〕的平方,等于它们的平方和,加上〔或者减去〕它们积的2倍,这两个公式叫做乘法的完全平方公式。
利用这两个公式计算
(1)(x+5)2
(2)(2-y)2
(3)(3a+2b)2
(5)(-a+2b)2
在套用完全平方公式进展计算时,一定要先弄清题目中的哪个数或式是a,哪个数或式是b。
(1)(x+5)2=x2+2·
x·
5+52=x2+10x+25
(2)(2-y)2=22-2·
2·
y+y2=4-4y+y2
(3)(3a+2b)2=(3a)2+2·
3a·
2b+(2b)2=9a2+12ab+4b2
(5)(-a+2b)2=(-a)2+2·
(-a)·
2b+(2b)2=a2-4ab+4b2
1、〔a+b〕2=a2+2ab+b2与〔a-b〕2=a2-2ab+b2都叫做完全平方公式,为了区别,我们把前者叫做两数和的完全平方公式,后者叫做两数差的完全平方公式。
2、这两个公式的结构特征是:
左边是两个一样的二项式相乘,〔即二项式的平方形式〕,右边是三项式,是左边二项式中两项的平方和,加上〔这两项相加时〕或减去〔这两项相减时〕这两项乘积的2倍。
3、公式中的字母a、b既可以表示具体的数,也可以表示单项式或多项式等代数式。
4、只要符合这一公式的结构特征,就可以运用这一公式,在运用公式时,注意防止发生〔a±
b2这样的错误。
[例3]计算〔a+b〕(a2-ab+b2)和(a-b)(a2+ab+b2),可知〔a+b〕(a2-ab+b2)=a2-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3,〔a-b〕(a2+ab+b2)=a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3=a3-b3,即〔a±
b〕(a2
ab+b2)=a3±
b3,这就是说,两数和〔或差〕乘以它们的平方和与它们的积的差〔或和〕,等于这两个数的立方和〔或差〕,这两个公式叫做乘法的立方和公式与立方差公式,利用这两个公式计算:
〔1〕〔x+2〕(x2-2x+4);
(2)(3-y)(9+3y+y2);
〔3〕(3x-4y)(9x2+12xy+16y2);
〔5〕(3x2-2y2)(9x4+6x2y2+4y4)
先弄清题目是用立方和公式还是用立方差公式计算,再弄清题目中哪个数或式是a,哪个数或式是b,最后再代入公式计算。
〔1〕〔x+2〕(x2-2x+4)=(x+2)(x2-x·
2+22)=x3+23=x3+8
〔2〕(3-y)(9+3y+y2)=(3-y)(32+3·
y+y2)=33-y3=27-y3
〔3〕(3x-4y)(9x2+12xy+16y2)=(3x-4y)[(3x)2+3x·
4y+(4y2)]=(3x)3-(4y)3=27x3-64y3
〔5〕〔3x2-2y2〕(9x4+6x2y2+4y4)=(3x2-2y2)[(3x2)2+3x2·
2y2+(2y2)2]=(3x2)3-(2y2)3=27x6-8y6
1、注意对公式的理解和记忆〔1〕项数特征:
两项乘三项→积为二项,〔2〕符号特征:
二项的因式假如两项都为"
+"
,如此三项的因式符号为+,-,+,积的符号与二项因式的符号一样,二项的因式符号假如为"
,"
-"
,如此三项的因式符号为+,+,+,积的符号与二项因式的符号一样,即是说公式在各种条件都相符的情况下,所得的积是两数的"
立方和"
还是两数的"
立方差"
,主要看乘积中第一个乘式是"
两数和"
,还是"
两数差"
。
2、公式中的字母a、b仍代表任意数或代数式。
第二阶梯
[例1]利用乘法公式计算:
(1)〔x+3〕(x-3)(x2+9)
(2)(a+b)(a-b)(a2-b2)
(3)(x-2)(x+2)(x4+4x2+16)
(4)(a-b)(a2+ab+b2)(a6+a3b3+b6)
〔1〕小题可两次使用平方差公式;
〔2〕小题先使用平方差公式,再使用完全平方公式;
〔3〕小题先使用平方差公式,再使用立方差公式
〔4〕小题两次使用立方差公式。
(1)(x+3)(x-3)(x2+9)=(x2-9)(x2+9)=(x2)2-92=x4-81
(2)(a+b)(a-b)(a2-b2)=(a2-b2)(a2-b2)=(a2-b2)2=(a2)2-2a2b2+(b2)2=a4-2a2b2+b4
(3)(x-2)(x+2)(x4+4x2+16)=(x2-4)(x4+4x2+16)=(x2)3-43=x6-64
(4)(a-b)(a2+ab+b2)(a6+a3b3+b6)=(a3-b3)(a6+a3b3+b6)=(a3)3-(b3)3=a9-b9
遇到多项式的乘法问题,首先应看看是否符合某个乘法公式,假如有恰当的公式使用可大大简化运算过程。
[例2]运用乘法公式计算:
(1)(a+b+c)(a-b-c)
(2)(a-2b+3c)(a+2b-3c)
(3)(x+2y+z)2
(4)(2x-3y-4z)2
〔1〕〔2〕小题可利用平方差公式进展计算;
〔3〕〔4〕小题可利用完全平方公式进展计算。
(1)〔a+b+c〕(a-b-c)=[a+(b+c)][a-(b+c)]=a2-(b+c)2=a2-(b2+2bc+c2)=a2-b2-2bc-c2
(2)(a-2b+3c)(a+2b-3c)=[a-(2b-3c)][a+(2b-3c)]=a2-(2b-3c)2=a2-(4b2-12bc+9c2)=a2-4b2-12bc-9c2
(3)〔x+2y+z〕2=[x+(2y+z)]2=x2+2x(2y+z)+(2y+z)2=x2+4xy+2xz+4y2+4yz+z2
(4)(2x-3y-4z)2=[2x-(3y+4z)]2=(2x)2-2·
2x·
(3y+4z)+(13y+4z)2=4x2-4x(3y+4z)+(19y2+24yz+16z2)=4x2-12xy-16xz+9y2+24yz+16z2
进展多项式乘法运算时,一定要认真仔细地对题目进展观察研究,把不符合公式标准形式的题目加以调整。
适当地添加括号,将有利于应用乘法公式,添加括号方式的不同,可一题多解,如〔4〕小题还可添加括号为[〔2x-3y〕-4z]2,但得出的结果均一样。
[例3]利用乘法公式计算:
〔1〕〔x+1〕(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)
〔2〕(a+b)(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)
〔1〕小题前两个因式可利用平方差公式计算,后两个因式也可利用平方差公式计算,也可以将第一个因式与第四个因式结合利用立方和公式,第二个因式与第三个因式结合利用立方差公式〔2〕小题类似。
〔1〕
解法一:
〔x+1〕(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)
=(x2-1)[(x2+1)2-x2]
=(x2-1)(x4+2x2+1-x2)
=(x2-1)(x4+x2+1)
=(x2-1)[(x2)2+x2-1+12]
=(x2)3-13=x6-1
解法二:
=[(x+1)(x2-x+1)[(x-1)(x2+x+1)]
=〔x3+1〕(x3-1)
=(x3)2-12
=x6-1
〔2〕
〔a+b〕(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)
=(a2-b2)[(a2+b2)2-(ab)2]
=(a2-b2)(a4+2a2b2+b4-a2b2)
=(a2-b2)(a4+a2b2+b4)
=(a2)3-(b2)3
=a6-b6
=[〔a+b〕(a2-ab+b2)][(a-b)(a2+ab+b2)]
=(a3+b3)(a3-b3)
=(a3)2-(b3)2
=a6-b6
进展整式乘法运算时,要注意观察题目的特点,统观全局,恰当地选用所学的乘法公式或用乘法法如此进展计算,以上两道小题的解法中,显然解法二先运用立方和,立方差公式,再运用平方差公式,这样做既简便又不易出错。
第三阶梯
[例1]
〔1〕化简化求值:
〔x+2〕(x2-2x+4)+(x-1)(x2+x+1),其中
〔2〕解方程:
〔2x+1〕2-(x+1)(x-1)-3x(x-1)=0
用乘法公式进展化简
〔x+2〕(x2-2x+4)+(x-1)(x2+x+1)
=x3+8+x3-1
=2x3+7
当
时,
〔2〕〔2x+1〕2-(x+1)(x-1)-3x(x-1)=0
解:
〔4x2+4x+1〕-(x2-1)-3x2+3x=0
4x2+4+1-x2+1-3x2+3x=0
7x=-2
在化简求值和解方程的过程中,如果遇到多项式的乘法,应先观察能否运用乘法公式,如果能运用,很多乘法就可直接应用公式写出结果,这充分简化了计算过程。
[例2]a+b=3,ab=-8,求如下各式的值。
〔1〕a2+b2
(2)a2-ab+b2
(3)(a-b)2
(4)a3+b3
由完全平方公式〔a+b〕2=a2+2ab+b2,可知a2+b2=(a+b)2-2ab,利用条件可求出a2+b2的值,再分别代入〔2〕,〔3〕,〔4〕,可求出〔2〕,〔3〕,〔4〕式的值。
注意,第〔4〕小题应逆用立方和公式。
(1)a2+b2=(a+b2)-2ab=32-2×
(-8)=9+16=25
(2)a2-ab+b2=a2+b2-ab=25-(-8)=25+8=33
(3)(a-b)2=a2-2ab+b2=a2+b2-2ab=25-2×
(-8)=25+16=41
(4)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)(a2+b2-ab)=3×
[25-(-8)]=3×
33=99
灵活运用公式变形和逆用公式,这些都是常用的解题技巧。
[例3]假如两个连续自然数的平方差是17,求这两个自然数的和?
设一个自然数为x,另一个自然数为x+1,根据题意,列出方程,求出这两个自然数,进而求出它们的和
设这两个连续自然数是x,x+1
根据题意得,
(x+1)2-x2=17
x2+2x+1-x2=17
2x+1=17
2x=16
x=8
∴x+1=8+1=9
∴x+(x+1)=8+9=17
答:
这两个自然数的和是17。
解方程时还可逆用平方差公式(x+1)2-x2=〔x+1+x〕(x+1-x)=2x+1
四、检测题
A组
选择题
1.如下各式能用平方差公式进展计算的是〔〕
A.〔a+2〕(-a-2)
B.(-x-y)(y-x)
C.
D.(2x+y)(x-2y)
2.假如16x2+mxy+81y2是一个完全平方式,如此m的值为〔〕
D.±
72
3.a3-27b3的一个因式是〔〕
2+3ab+9b2
2-3ab+b2
4.假如x+y=9,xy=16,如此x2+y2=()
填空题
1、〔3x+2y〕=(
)=9x2-4y2
2、〔-1+2a〕(-1-2a)=(
)
3、〔0.3x+y〕2=(
4、x2+x+(
)=
5、9x2-(
)+49y2=(3x-7y)2
6、(2a+3b)(4a2-6ab+9b2)=(
7、(
)(m4-m2+1)=m6+1
8、a2+b2=(a+b)2-(
9、(a+b)2=(a-b)2+()
10、(p2-q)(
)=p6-q3
B组
1、计算:
(1)〔x+2〕(x-2)(x2+4)
(2)(x-y+1)(x+y-1)
(3)(a+b+c)2
(4)(x+3)(x-3)(x2-3x+9)(x2+3x+9)
(5)
(6)2022
2、化简求值:
3、解方程:
4(x-3)2-(2x+1)2=(3x+1)(1-3x)+9x2
答案:
A组答案:
选择题
1、B
2、D
3、A
4、C
1、3x-2y
2、1-4a2
2+0.6xy+y2
4、
5、42xy
6、8a3+27b3
7、m2+1
8、2ab
9、4ab
10、p4+p2q+q2
B组答案:
1、
(1)x4-16
(2)x2-y2+2y-1
(3)a2+2ab+b2+c2+2ac+2bc
(4)x6-729
(6)40804
2、-39
3、
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