开采损害学课程讲义2.doc

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第二章采动地表移动变形预计

重点：

①预计理论体系概况；

②概率积分法。

基本含义、基本概念、应用条件、应用方法、分布规律、特征值的确定方法，极值公式及计算、按特征值绘制移动变形分布图。

③半无限开采及半无限叠加方法；

④地表任一点移动变形预计方法；

⑤动态移动变形与静态方法的区别及其评价方法。

2.1地表移动和变形预计理论方法概述

开采沉陷损害预计理论，可以概括为影响函数方法，理论模型方法，经验方法三大类型。

2.1.1影响函数方法

①国内外学者及理论应用情况；

②假定开采单元矿层dv,其水平投影面积为dp,单元矿层开采引起地表点A的下沉表达式为：

（2-1）

③影响函数的可叠加性；

根据影响函数的叠加原理，对于开采范围为P的矿层开采引起地表点A的下沉量的通式表示为：

（2-9）

2.1.2经验方法

①前苏联应用的负指数函数方法；②英国煤田方法（NCB.1975）；③波兰学者Z.Kowalczyk（1972）积分网格法；④中国学者何国清提出的威布尔分布法；⑤各矿区通过观测曲线拟合得出的适用本矿区的典型剖面曲线法等。

2.1.3理论模型方法

属于理论模型方法是建立在力学模型上的，以及建立在弹性或塑性理论基础上的计算方法。

在这方面主要有以A.Salstowicz（1958）等为代表的固体力学理论；J.Litwiniszy（1963）等为代表的随机介质理论。

建立在弹性或塑性理论基础上的计算方法如：

有限单元法（FEM）；边界元法（BEM）；离散元（DEM）等方法；非线性力学（Nonlinear）等方法。

目前应用情况简介

2.2概率积分法（重点）

目前已成为我国乃至世界范围较为成熟、应用最广泛的预计方法之一。

2.2.1水平成层介质中的单元盆地

开采沉陷的随机性®随机介质理论为基础 ①非连续介质单元模型，②单元相互分离并发生相对运动。

如图2.1在三维问题中，地下（x0,y0,z0）处开采使地表点A（x,y,z）附近某一小块面积ds发生下沉这一事件的概率为：

（2-10）

d（x,y,z）为密度函数。

在x-z剖面的z水平上x处的一段岩石条dx内有下沉发生，同时在y-z剖面的同一高度上y处的一段岩石条dy内有下沉发生。

因此，ds发生下沉这一事件的概率为发生上述两事件的概率之积，即：

（2-11）

f为密度函数，x2、y2®对称性。

过原点引另一组正交水平轴x¢、y¢,使A点在这一系统中的坐标为（x¢,y¢,z¢）。

在新坐标系中，A点附近的微面ds发生下沉的概率为：

（2-12）

岩石水平成层Úf的形态皆一致。

微面面积不变Úds=ds¢；开采点与被考虑的微面相对位置不变ÚP（ds）=P（ds¢）。

从本质上讲，某一既定的微面在同一开采影响下的下沉概率与坐标轴方向的选择无关。

（2-13）

从而可得：

（2-14）

当采用下列方式选择坐标轴，使ox¢经过A点，且：

（2-15）

代入（2-14）得：

（2-16）

将（2-16）两端对x2、y2取偏微分可得：

（2-17）

（2-18）

由此可得：

（2-19）

移项得到：

（2-20）

上式左边为x的函数，右边为y的函数。

此方程成立的条件是左右两端都不依赖于自变量x、y，故可令式（2-20）为常量k，从而有：

（2-21）

将x2看作自变量，解此常微分方程得到：

（2-22）

式中，P为积分常数。

显然，远离中心两端的岩石下沉的概率小。

因此，从物理意义说k为负值，令k=-h2代入上式得：

（2-23）

同理

（2-24）

将上述结果代入式（2-13）有：

（2-25）

P（ds）Ùz0煤层的开采以随机的方式传至z水平上的随机分布。

由于，由此可得到顶板下沉盆地中的分块下沉体在z水平上造成的微小下沉盆地的表达式：

（2-26）

下沉盆地体积=（下沉概率×采高×开采面积）

单元开采Ú分块下沉体，单元盆Ú微下沉盆地。

令开采面积Ds=1个微小单位，采高w（x0,y0,z0）=1个微小单位的开采为单元开采。

单元开采在上覆岩层中造成的下沉盆地为单元下沉盆地we,于是得单元盆地下沉：

（2-27）

当然，孤立的下沉盆地并不存在，它们存在于统计意义之中。

①采出体积足够大地表出现下沉；

②大面积开采=∑单元开采；

③原始的位置→弹性变形→逐渐垮落→传递到地表（“三带”形成过程）→下沉盆地。

单元盆地是时间函数we=（x,y,z,t），对应的地表下沉盆地体积为：

（2-28）

Ve也是时间的函数。

根据A.Salstowicz假设，下沉盆地体积的增长率与采空区域未压密的体积成正比，即：

（2-29）

式中c—比例系数，当t=0时，Ve=0；当t®µ时，Ve=1。

解上述方程式可得：

（2-30）

盆地体积可由上述求得：

（2-31）

Ü

（①换元ahx=l，dx=（1/h）dl；hy=l，dy=（1/h）dl；a②）

则：

（与时间有关的概率） （2-32）

从而：

（2-33）

t®µ, （2-34）

当宽与高均为一个微小单位，长度为无穷大时的开采称为二维单元开采。

当开采长轴方向平行于y轴，此时形成槽形盆地，槽长平行于y轴，而在平行于x轴的任何剖面上，此盆地的形状均相同，称为二维单元盆地，表示为：

从而可得水平成层介质中二维单元下沉盆地的最终表达式为：

y=0；（-d2）=d2；1/hdl=dd

（2-35）

2.2.2单元盆地水平移动

假定在单元开采影响下岩石发生的变形很小，从弯曲带直到地表的整个岩层中移动变形是连续的，岩石发生形变但体积不变，即：

（2-36）

又 （we轴与z轴的指向相反）

从而有：

式中 k为积分常数，取决于边界条件。

由上式将we先对z微分再对x积分即可求得ue。

式中，再对x积分得：

由于对称的原因，在开采中心线上的点不发生水平移动，即：

，故由此得：

（2-37）

2.2.3半无限开采时地表移动盆地走向主断面的移动变形预计

所谓半无限开采，如图2.2所示，是指沿工作面推进方向在x=[+µ,0]区间已被开采，而沿垂直工作面推进方向的开采尺寸足够大，使之达到充分采动。

1.移动变形计算表达式

（1）下沉预计表达式

在图2.2中，采深为H，开采厚度为m，取坐标原点通过开采边界。

由于垮落的顶板岩石碎胀的原因，顶板最大下沉量一般小于开采厚度，为：

（2-38）

式中m—采高，mm；h—下沉系数，取决于顶板管理方法。

当开采ds一段矿层时，地表产生的下沉盆地为：

（2-39）

显然，当矿层自s=0开采至s=µ,地表稳定后的下沉盆地表达式可写为：

（3-40）

令h（x-s）=l,Úds=-dl/h，相应的积分限变为hx及-µ，代入上式得：

（2-41）

当x=-µ时，地表点应有最大值wmax,故

（2-42）

故上式 （2-43）

将上式代入式（2-41）得：

（2-44）

在上式中，当wmax给定时，取不同的h（ 见式2-48）值，作出w（x）对应曲线见图1.23表明，对于不同的h值所得到的理论下沉盆地具有不同的横向“发育”，下沉曲线也具有不同的最大斜率，其可通过对式（2-44）的微分得出：

（2-45）

当x=0，盆地具有最大的斜率：

（2-46）

又，从几何关系知Ú （2-47）

式中r—主要影响半径，。

其中：

H—采深，tgb—主要影响角正切（见图2.6～2.7）。

将式（2-47）代入式（2-44）得：

（2-49）

在这里引入误差积分函数：

则上式可写成如下形式：

（2-50）

（2）倾斜、曲率表达式

在式（2-35）对x取一阶、二阶导数，便可得到下沉盆地倾斜分布及曲率分布表达式：

（2-51）

（2-52）

（3）水平移动、水平变形表达式

由式（2-47）对z求导，得h¢，并将其代入式（2-37）中，得单元水平移动表达式：

（2-53）

将式（2-47）代入式（2-35）中并对x求导得单元盆地的倾斜表达式：

（2-54）

比较式（2-53）与（2-54）得：

式中，是不依赖于x而依赖于z的参量，令其等于B（z），则有：

（2-55）

对于地表来说，z等于开采深度H，B（z）为常数，并可令它等于B，则根据上式可得半无限开采条件下的水平分布表达式：

式中。

由于当x=0时，上式具有最大值

令b被称之为水平移动系数，则：

（2-56）

在上式中对x微分得水平变形表达式：

（2-57）

2.极值及其位置

在式（2-51）、（2-56）不难看出，当x=0时，地表倾斜和水平变形达到最大值：

（2-58）

（2-59）

在式（2-52）、（2-57）中对x微分，并令其等于零，同时当时得：

（2-60）

（2-61）

根据上述分析，将概率积分法的半无限开采下沉盆地主断面上任意点的移动变形预计公式列于表2-1，其移动变形分布形态如图2.3所示。

为了便于计算，在表2-2中以为引数给出了无因次量、、的数值。

用移动变形的最大值，乘以表2-2给出的移动变形的相对值（分布系数），就得到下沉盆地主断面内各点的移动和变形值。

表2-1概率积分法的半无限开采下沉盆地主断面内任意点移动变形预计公式

指标

主断面内任意点计算公式

极值计算公式

极值出现的位置

下沉

倾斜

曲率

水平变形

水平移动

2.2.4有限开采时地表移动盆地主断面的移动变形预计

1.走向主断面的移动变形预计

设矿层沿倾斜方向已达到充分采动，沿走向方向没有达到充分采动，在移动盆地走向主断面（图2.4）的计算宽度l。

根据叠加原理可求得此条件下的地表下沉分布预计式为：

（2-62）

令：

得：

，

在上式中作变元，换元有：

（2-63）

由此可见，有限开采实际上是由两个半无限开采叠加的结果，即w（x）