奥数中的巧数图形讲义及习题修正版文档格式.docx
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由三条基本线段构成的线段有:
AD、BE,共2条;
由四条基本线段构成的线段只有AE1条。
因此共有线段:
4+3+2+1
=(4+1)×
4÷
2
=10(条)
(2)可以采用
(1)同样的解法:
由一条基本线段组成的线段有6条,
由两条基本线段组成的线段有5条,
由三条基本线段组成的线段有4条,
由四条基本线段组成的线段有3条,
由五条基本线段组成的线段有2条,
由六条基本线段组成的线段有1条,
共有线段:
6+5+4+3+2+1
=(6+1)×
6÷
=21(条)
答
(1)中有10条线段。
(2)中有21条线段。
这种先分类再排序的方法称为分类排序法。
这样排序,不易遗漏和重复。
由以上例子可以推知,如果线段上有五个点,就构成了四条基本线段,总线段数为四个连续自然数的和:
4+3+2+1。
如果有n个点,线段总数为(n-1)+(n-2)+…+3+2+1=n×
(n-1)÷
2(条)。
找到了这个规律,我们就可以运用这个公式来解答这类问题。
例2在∠AOB(图6-2)内有8条从O点引出的射线,可组成各种大小不同的角一共有多少个?
解这问题类似于例1,
10×
9÷
2=45(个)
答图中有45个角。
解3数一数,图6-3一共有几个长方形?
分析可以按照顺序去数长方形的个数,也可以通过分析研究,找出数长方形的规律。
长方形是由长和宽组成的,
图中共有3个长(横向线段)、3个宽(竖向线段),
解
3×
3=9(个)
答图中共有9个长方形。
这一类型的问题在后面还要专门讨论。
例4如图6-4。
(1)如上图这样的形状,如果最底层有11个三角形,那么这堆小三角形共有多少个?
(2)现在共有169个小三角形,按上图排列,那么最底层三角形有几个?
分析根据图示可以得到规律,底层与总数有“2→4,3→9,4→16”的关系。
而22=4,33=9,44=16,就是:
“底层的个数的平方正好等于总数”。
所以可得:
(1)下层有11个小三角形,共有
11×
11=121(个)
(2)因为13×
13=169,所以169个小三角形如上图排列,底层有13个小三角形。
练
习
1.线段AB上除两端外有49个点,问这条线段上共有多少条线段?
2.下图中共有多少个三角形?
3.把长2厘米、宽1厘米的长方形硬纸片按照下图一层层叠起来。
(1)如果叠5层,周长是()厘米。
(2)如果周长是120厘米,共有()层。
知识要点:
数图形时我们要按照一定的顺序、有条理、有计划、有方法的去解答题目,可由单个图形数起,再数两个图形合成的图形,依此规律一个一个往下数。
{例1}数一数图中共有几条线段?
D
A
B
C
这样想:
数之前,先将每条线段写上字母,写好后,先数AB这条线段上有4条小线段,再数两条合并成的有3条,再数三条合并成的有2条,最后数四条合并成的有1条,4+3+2+1=10条。
同样CD这条线段上也有10条,和起来一共有20条。
{例2}数一数图中共有几个小长方体?
从上面先数,第一排有2个小长方体,再数第二排有4个小长方体,最后数第三排有6个小长方体,所以2+4+6=12,有12个小长方体。
{例3}数一数图中共有几个三角形?
数之前,先将每个图形编号,编好后,先数单个三角形共10个。
再数两个图形合成的三角形,按顺序两个两个合并,共8个三角形。
所以10+8=18,共18个三角形。
{例4}数一数图中共有几个三角形?
先数单个三角形共4个。
再数两个三角形合成的三角形,按顺序两个两个合并,共2个三角形。
最后数由3个小三角形组成的大三角形,有1个。
所以4+2+1=7,共7个三角形。
{例5}数一数图中共有几个三角形?
先数每个角上三角形共5个,再数由两个不靠着的角和中间五边形合成的三角形,按顺序数共3个三角形,所以5+3=8,共8个三角形。
同学们,在数图形时,一定要按顺序仔细数,如果给图形编个号,这样数起来就更方便,不会重复,也不会遗漏。
{例1}数一数图中共有几个三角形?
数之前,先将每个图形编号,编好后,先数单个三角形1、4、3号,共3个。
再数两个图形合成的三角形,1+2号,2+3号,3+4号,4+1号,按顺序两个两个合并,共4个三角形。
最后数由1+2+3+4号组成的大三角形,有1个。
所以3+4+1=8,共8个三角形。
{例2}数一数图中有西红柿的正方形有几个?
先数单个正方形,有西红柿的正方形有1个。
再数四个正方形合成的大正方形,有西红柿的大正方形有4个。
最后数由9个小正方形组成的大正方形,有1个。
所以1+4+1=6,有西红柿的正方形共6个。
{例3}数一数图中共有几个正方形?
先数单个正方形1、2、3、4、5、6号,共6个。
再数四个正方形合成的大正方形,1+2+4+5号,2+3+5+6号,按顺序四个四个合并,共2个正方形。
所以6+2=8,共8个正方形。
{例4}数一数图中共有几个正方形?
先数小正方形,共4个。
再数稍大的正方形,共5个。
最后数大正方形,有1个。
4+5+1=10,所以图中共有10个正方形。
{例5}数一数图中共有几个圆形?
先数小圆,共5个。
再数大圆有1个。
图中共有6个圆。
题目1:
数一数图中共有几个三角形?
图1
A.6
B.5
窗体顶部
·
题目2:
A.9
B.8
题目3:
A.10
B.12
题目4:
数一数图中共有几个正方形?
A.8
B.7
题目5:
数一数图中有青蛙的正方形有几个?
A.3
B.6
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