完整版平面向量中三点共线定理妙用docx文档格式.docx

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uuur

OB

a1OA

a200OC，且A、B、C三点共线，（设直线不过点O），则S200=（

）

A．100

B．101

C．200

D．201

解：

由平面三点共线的向量式定理可知：

a1+a200=1,∴

S200

200（a1a200）

100,

故选。

2

A

点评：

本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经

典的高考题。

例2已知P是ABC的边BC上的任一点，且满足AP

xAB

yAC,x.y

R，则1

4

x

y

的最小值是

Q点P落在VABC的边BC上

B，P,C三点共线

y1且x>

0,y>

QAP

xAB

yAC

14

（

y4x

45

xy

）1（

）（xy）1

Qx>

0,4x

由基本不等式可知：

4x

4，取等号时

精彩文档

y2

4x2

2xQx0,y0y2xQxy1x

1,y

2，符合

3

所以的最小值为9

本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起，

较综合考查了学生基本功.

例3（湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图

2，在△ABC中，

uuur1uuur

AN

NC，点P是BC上的一点，若AP

mAB

11

AC，则实数m的

值为（

A．9

B.

5

C.

D.

图2

QB,P,N

8

三点共线，又QAP

AC

4AN

m

m1

，故选C

例4（07年江西高考题理科）如图

3，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直

线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n

的值为

．

Q因为O是BC的中点，故连接AO，如图4，由向量加法的平行

四边形法则可知：

1

AO

（AB

AC）

uuuur

图3

Q＝

mAM

，AC

nAN

AB

1（mAM

nAN）

muuuur

nuuur

AM

又QM,O,N三点共线，

图4

由平面内三点共线定理可得：

n

1mn2

22

例5（广东省2010届高三六校第三次联）如图5所示：

点G是△OAB的重心，P、Q分

别是边OA、OB上的动点，且P、G、Q三点共线．

设OP

xOA，OQ

yOB，证明：

1

是定值；

明：

Q因G是VOAB的重心，

1uuur

OG

（OA

OB）

图5

QOP

OA

QOQ

OQ

OB）

OQ）

3x

3y

又QP,G,Q三点共，

1定3

3x3y

例6（汕市山中学

2013届高三第二次模考）如

6所示,

在平行四形ABCD中，AE

AF

AD,CE与BF相交于G

ruuur

r

_______

点，AB

a，AD

b，AG

A．

2r

1r

3r

4r

图6

bD.

分析：

本是以平面几何背景，体，求向量的，所以我很容易想到点F、G、B以及E,G,C三点在一条直上，可用平面内三点共定理求解。

：

三点共，

由平面内三点共定理可得：

存在唯一的一数x使得

解QE,G,C

（1

AG

xAE

x）AC

QAE

a,

2xr

a（1

x）（a

b）

）a（1

x）b⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①

又QF,G,B三点共，

存在唯一的一数

使得

）AF

QAF

AD

b，，

②

b⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2x

6

由①②两式可得：

1x

点：

本的解法中由两三点共（F、G、B以及E,G,C三点在一条直上），

N

C

P

AMB

利用平面内三点共定理构造方程求解，避免了用的向量的加法和平面向理基本定理解答本的运算复，达到了化解程的效果。

例6的式一：

如7所示，在三角形ABC中,AMAB=13,ANAC=14,BN与CM

相交于点P，且AB

a，AC

b，用a、b表示AP

QN,P,B三点共，

存在唯一的一数图7x,y

使得AP

yAN,x

QAN﹕AC=1﹕4,

1AC

yuuur

yr

1xr

1bAP

xa

b⋯⋯①

又QC,P,M三点共，

存在唯一的一数,

∴AM

1AB

1a，，

AP

AC,

∵AM﹕AB=1﹕3

由①②两式可得：

Qxy1,y

1111

例6的式二：

如8所示：

直lYABCD的两条角

AC与BD的交点O，与AD交于点N,与AB的延交于

点M。

又知AB＝mAM，AD＝nAN，m＋n=

图8

因点O两条角AC与BD的交点，所以点OAC的中点

AD）

QAB＝mAM，AD＝nAN

uuuuruuur

又QM,O,N三点共，

（mAM

由平面内三点共的向量式定理可得：

定理的推广：

推广1：

如9所示：

已知平面内一条直AB,两个不同的点O与P.

点O,P位于直AB异的充要条件是：

存在唯一的一数x,y

图9

OP

yOB且xy1。

推广2：

如图10所示：

已知平面内一条直线AB,两个不同的点O与P.

点O,P位于直线

AB同侧的充要条件是：

存在唯一的一对实数

x,y

1。

图10

yOB且x

例7

已知点P为VABC所在平面内一点，且

R）,若点P落在

tAC（t

VABC的内部，如图11,则实数t的取值范围是（

A．（0,3）

（1,3）

（0,1）

（0,2）

Q点P落在VABC的内部

A,P两点在直线BC的同一侧，

图11

由推论2知：

t

2，所以选D

例8（06年湖南高考题文科）

如图12：

OM∥AB，点P由射线

OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）

.且

B

yOB，则实数对（x,y）可以是（

M

A．（1,3）

2,2）

（1,3）

（1,7）

O

B.（

图12

由题目的条件知：

点

O与点P在直线AB的同侧，所以xy

1，所以A,D两选

项不符合。

对于选项B、C,都有x

但当x

2时，

①如果点P在直线AB上，则由平面内三点共线的向量式定理可知：

②如果点P在直线OM上，OM∥AB可知：

OP||AB，由平面向理共线定理可知：

存在

yOBt

x,ty

唯一的实数t,使得OP

tAB

t（OB

OA）

tOA

tOB，Q

2,y

又因为点P在两平行直线AB、OM之间，所以2

5，故B选不符合。

对选项C同理可知：

当x

1时，1

5，故y

3符合，所以选C

例9（06年湖南高考题理科）如图

13,OM∥AB,点P在由射线

OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运

1时,y的取值范围是

.

动,且OP

yOB,当x

图13

时，

OPPAB，由平面向理共线定理可知：

uuuruuur

yOBtx,ty

t（OBOA）

tOB，QOP

1，又因为点P在两平行直线AB、OM之间，所以1

3，所以实数y

的取值范围是：

（,

练习：

uuuruuur

ruuur

3.OAB，点P在边AB上，AB

3AP，设OA

a,OB

b，

则OP

A.

D.

1、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3,1）,B（-1,3）,

βOB，其中α,β∈R且α+β=1，则x,y所满足的关系式为（

A．3

+2-11=0B

．（

-1）2

+（

-2）2

=5

C．2-

=0

ABP

若点C（x,y）满足OC=αOA+

D．x+2y-5=0

、已知P

是

ABC的边BC上的任一点，且满足

APxAByAC,x.yR

，则1

3、在平行四边形

ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，E是BC边的中点，连接

DE交AC于点

?

F。

已知AB=a,AD=b,则OF=（

A．1a+1bB．1（a+b）C．1（a+b）D．1a+1b