小学奥数速算与巧算教案Word下载.docx

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加法结合律:

a+b+c

=（a+b）+c

=a+（b+c）

=（a+c）+b

乘法交换律:

a×

b=b×

a

乘法结合律:

b×

c

=（a×

b）×

=a×

（b×

c）

c）×

b

乘法分配律:

（b+c）

b+a×

c

1、乘11，101，1001的速算法

　　一个数乘以11，101，1001时，因为11，101，1001分别比10，100，1000大1，利用乘法分配律可得

　　a×

11=a×

（10＋1）=10a＋a，

101=a×

（101＋1）=100a＋a，

1001=a×

（1000＋1）=1000a＋a。

　　例如，38×

101=38×

100＋38=3838。

2.乘9，99，999的速算法

　　一个数乘以9，99，999时，因为9，99，999分别比10，100，1000小1，利用乘法分配律可得

9=a×

（10-1）=10a-a，

99=a×

（100-1）=100a-a，

999=a×

（1000-1）=1000a-a。

　　例如，18×

99=18×

100-18=1782。

　　上面讲的两类速算法，实际就是乘法的凑整速算。

凑整速算是当乘数接近整十、整百、整千……的数时，将乘数表示成上述整十、整百、整千……与一个较小的自然数的和或差的形式，然后利用乘法分配律进行速算的方法。

例1，计算：

（1）356×

1001

　　＝356×

（1000＋1）

1000＋356

　　＝356000＋356

　　＝356356；

（2）38×

102

　　＝38×

（100＋2）

100＋38×

2

　　＝3800＋76

　　＝3876；

（3）526×

99

　　＝526×

（100-1）

　　＝526×

100-526

　　＝52600-526

　　＝52074；

（4）1234×

9998

　　＝1234×

（10000-2）

　　＝1234×

10000-1234×

　　＝12340000-2468

　　＝12337532。

　　3.乘5，25，125的速算法

　　一个数乘以5，25，125时，因为5×

2＝10，25×

4＝100，125×

8＝1000，所以可以利用“乘一个数再除以同一个数，数值不变”及乘法结合律，得到

　　例如，76×

25＝7600÷

4＝1900。

　　上面的方法也是一种“凑整”，只不过不是用加减法“凑整”，而是利用乘法“凑整”。

当一个乘数乘以一个较小的自然数就能得到整十、整百、整千……的数时，将乘数先乘上这个较小的自然数，再除以这个较小的自然数，然后利用乘法结合律就可达到速算的目的。

例2计算：

（1）186×

5

　　=186×

（5×

2）÷

　　=1860÷

　　=930；

（2）96×

125

　　=96×

（125×

8）÷

8

　　=96000÷

8=12000。

　　有时题目不是上面讲的“标准形式”，比如乘数不是25而是75，此时就需要灵活运用上面的方法及乘法运算律进行速算了。

例3计算：

（1）84×

75

　　=（21×

4）×

（25×

3）

3）×

（4×

25）

　　=63×

100=6300；

（2）56×

625

　　=（7×

8）×

5）

5）×

（8×

125）

　　=35×

1000=35000；

（3）33×

　　=32×

125+1×

　　=4000+125=4125；

（4）39×

　　=（32+1）×

125=（40-1）×

　　=40×

75-1×

　　=3000-75=2925。

　　4.个位是5的两个相同的两位数相乘的速算法

　　个位是5的两个相同的两位数相乘，积的末尾两位是25，25前面的数是这个两位数的首位数与首位数加1之积。

例如：

求一位数的平方，在乘法口诀的九九表中已经被同学们熟知，如7×

7＝49（七七四十九）。

对于两位数的平方，大多数同学只是背熟了10～20的平方，而21～99的平方就不大熟悉了。

有没有什么窍门，能够迅速算出两位数的平方呢？

这里向同学们介绍一种方法——凑整补零法。

所谓凑整补零法，就是用所求数与最接近的整十数的差，通过移多补少，将所求数转化成一个整十数乘以另一数，再加上零头的平方数。

下面通过例题来说明这一方法。

例1，?

求292和822的值。

解：

292=29×

29

　　＝（29＋1）×

（29-1）＋12

　　＝30×

28＋1

　　＝840+1

　　＝841。

　　822＝82×

82

　　＝（82－2）×

（82＋2）＋22

　　＝80×

84＋4

　　＝6720+4

　　＝6724。

　　由上例看出，因为29比30少1，所以给29“补”1，这叫“补少”；

因为82比80多2，所以从82中“移走”2，这叫“移多”。

因为是两个相同数相乘，所以对其中一个数“移多补少”后，还需要在另一个数上“找齐”。

本例中，给一个29补1，就要给另一个29减1；

给一个82减了2，就要给另一个82加上2。

最后，还要加上“移多补少”的数的平方。

　　由凑整补零法计算352，得

　　35×

35＝40×

30＋52=1225。

这与个位数是5的数的平方的速算方法结果相同。

　　这种方法不仅适用于求两位数的平方值，也适用于求三位数或更多位数的平方值。

例2，?

求9932和20042的值。

9932=993×

993

　　＝（993＋7）×

（993-7）+72

　　＝1000×

986＋49

　　＝986000＋49

　　＝986049。

　　20042=2004×

2004

　　＝（2004-4）×

（2004+4）＋42

　　＝2000×

2008＋16

　　＝4016000＋16

　　＝4016016。

　　下面，我们介绍一类特殊情况的乘法的速算方法。

　　请看下面的算式：

　　66×

46，73×

88，19×

44。

　　这几道算式具有一个共同特点，两个因数都是两位数，一个因数的十位数与个位数相同，另一因数的十位数与个位数之和为10。

这类算式有非常简便的速算方法。

例3，?

88×

64＝？

　分析与解：

由乘法分配律和结合律，得到

　　88×

64

　　＝（80＋8）×

（60＋4）

60＋（80＋8）×

4

60＋8×

60＋80×

4＋8×

6＋80×

（60＋6＋4）＋8×

（60＋10）＋8×

　　＝8×

（6＋1）×

100+8×

4。

　　于是，我们得到下面的速算式：

　　由上式看出，积的末两位数是两个因数的个位数之积，本例为8×

4；

积中从百位起前面的数是“个位与十位相同的因数”的十位数与“个位与十位之和为10的因数”的十位数加1的乘积，本例为8×

（6＋1）。

　例4，77×

91＝？

　　解：

由例3的解法得到

　　由上式看出，当两个因数的个位数之积是一位数时，应在十位上补一个0，本例为7×

1＝07。

　　用这种速算法只需口算就可以方便地解答出这类两位数的乘法计算。

小结：

计算整数乘法时，应该注意以下几点：

　　1、掌握好乘法运算定律，是解题的关键。

　　2、乘法分配律为：

a×

（b＋c）=a×

b＋a×

c，反过来为a×

c=a×

（b＋c）。

计算时，注意根据题目特点，灵活选用。

练习题：

　　用速算法计算下列各题：

　　1.

（1）68×

101；

（2）74×

201；

　　（3）762×

999；

（4）34×

98。

　　2.

（1）536×

5；

（2）437×

　　　（3）130×

25；

　（4）68×

75；

　　（5）555×

375；

（6）888×

875。

3，372；

（2）532；

（3）912；

　　（4）682：

（5）1082；

（6）3972。

　　4，

（1）77×

28；

（2）66×

55；

　　（3）33×

19；

（4）82×

44；

　　（5）37×

33；

（6）46×

99。