圆的有关性质文档格式.docx

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（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

　　（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧，

　　推论1的实质是：

一条直线（如图）

（1）若满足：

i）经过圆心，ii）平分弦，则可推出:

iii）垂直于弦，iv）平分弦所对的劣弧，v）平分弦所对的优弧．

（2）若满足：

i）垂直于弦，ii）平分弦。

则可推出：

iii）经过圆心，iv）平分弦所对的劣弧，v）平分弦所对的优弧．

　　（3）若满足；

i）经过圆心，ii）平分弦所对的一条弧，则可推出：

iii）垂直于弦，iv）平分弦，v）平分弦所对的另一条弧．

　　推论2　圆的两条平行弦所夹的弧相等．

　　如图中，若AB∥CD，则

　　注意：

在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径作为辅助线。

　　三、例题分析：

　　例1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，过A，B向CD引垂线，垂足分别为E，F，求证：

CE=DF。

　　证明：

过O作OM⊥CD于M，

　　∴CM=DM，

　　∵AE⊥CD，BF⊥CD，

　　∴AE//OM//FB，

　　又∵O是AB中点，

　　∴M是EF中点（平行线等分线段定理），

　　∴EM=MF，

　　∴CE=DF。

　　说明：

此例是垂径定理及平行线等分线段定理相结合构成的命题。

由于C、D两点是轴对称点，欲证CE=DF，那么E，F也必是轴对称点，由于E，F是垂足，那么E，F也应关于某条垂线成轴对称点，这样，这两个知识的结合部分仍是含有共同的对称轴。

　　例2．已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，⊙O的半径等于6cm，O点到BC的距离为2cm，求AB的长。

　　分析：

因为不知道△ABC是锐角三角形，还是钝角三角形（由已知分析，△ABC不会是直角三角形，因为若是直角三角形，则BC为斜边，圆心O在BC上，这与O点到BC的距离为2cm矛盾），因此圆心有可能在三角形内部，也可能在三角形外部，所以需分两种情况进行讨论：

（1）假若△ABC是锐角三角形，如图，由AB=AC，

　　可知，

，∴点A是弧BC中点，

　　连结AO并延长交BC于D，由垂径推论

　　可得AD⊥BC，且BD=CD，这样OD=2cm，

　　再连结OB，在Rt△OBD中OB=6cm，

　　可求出BD的长，则AD长可求出，

　　则在Rt△ABD中可求出AB的长。

（2）若

△ABC是钝角三角形，如图，

　　连结AO交BC于D，先证OD⊥BC，

　　OD平分BC，再连结OB，由OB=6cm，

　　OD=2cm，求出BD长，然后求出AD的长，

　　从而在Rt△ADB中求出AB的长。

　　略解：

（1）连结AO并延长交BC于D，连结OB，

　　∵AB=AC，

　　∴

，∴AD⊥BC且BD=CD，

　　∴OD=2，BO=6，

　　在Rt△OBD中，由勾股定理得：

BD=

=

=4

，

　　在Rt△ADB中，AD=OA+OD=8，

　　由勾股定理可得：

AB=

（cm）

（2）同

（1）添加辅助线求出BD=4

　　在Rt△ADB中，AD=AO-OD=6-2=4，

（cm），

　　∴AB=4

cm或4

cm。

凡是与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状，确定圆心与三角形的位置关系，防止丢解或多解。

　　例3．已知如图：

直线AB与⊙O交于C，D，且OA=OB。

　　求证：

AC=BD。

作OE⊥AB于点E，

　　∴CE=ED，

　　∵OA=OB，

　　∴AE=BE，

　　∴AC=BD。

　　请想一下，若将此例的图形做如下变化，将如何证明。

　　变化一，已知：

如图，OA=OB，求证：

　　变化二：

已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，求证：

这三道题的共同特点是均需要过点O作弦心距，利用垂径定理进行证明，所变化的是A，B两点位置。

　　例4．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=600，求CD的长。

　　解：

作OF⊥CD于F，连结OD，

　　∵AE=1，EB=5，

　　∴AB=6，∴OA=

=3，

　　∴OE=OA-AE=3-1=2，

　　在Rt△OEF中，

　　∵∠DEB=600，

　　∴∠EOF=300，∴EF=

OE=1，

　　∴OF=

　　在Rt△OFD中，OF=

，OD=OA=3，

　　∴DF=

　　∵OF⊥CD，∴DF=CF，

　　∴CD=2DF=2

因为垂径定理涉及垂直关系，所以就可出现与半径相关的直角三角形，求弦长，弦心距，半径问题，常常可以利用弦心距、半径和半弦组成一个直角三角形，用其性质来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连结半径作为辅助线，然后用垂径定理来解题。

　　三、自测题

（一）判断正误：

　　1．直径是圆的对称轴。

　　2．三点确定一个圆

　　3．平分弦的直径垂直弦

　　4．在同圆中，等弦对等弧

　　5．圆心角相等，它们所对的弧相等

6．在同圆中，等弧对等弦

　7．线段AB是⊙O的直径，点C在直线AB上，如果AC<

AB，则点C一定在⊙O的内部

　　8．正方形ABCD，根据经过不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，它可以确定四个圆。

　　9．在⊙O中，

，那么它们所对弦的关系是AB=2CD。

　　10．⊙O的半径为5cm，点P到圆的最小距离与最大距离之比为2：

3，则OP长为1cm。

（二）解答题：

　　1．如图，在⊙O中，弦AB//EF，连结OE，OF交AB于C，D，

AC=DB。

　　2．如图，AB是⊙O直径，CD是弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，连结OE，OF，

∠OEF=∠OFE

　　四：

答案

（一）

　　1．×

（直径所在直线是圆的对称轴）

　　2．×

（经过不在同一直线上的三个点确定一个圆）

　　3．×

（平分弦（不是直径）的直径垂直弦）

　　4．×

（在同圆中，等弦所对的优（劣）弧等，因为一条弦对两条弧）

　　5．×

　　　6、√　　7、×

　　8、×

　　9、×

　　10、×

（OP的长是1cm或25cm）

（二）

　　1．证明：

作ON⊥EF交AB于M，

　　∵AB//EF，

　　∴OM⊥AB，

　　∵OE=OF，

　　∴∠OEF=∠OFE，

　　∵∠OCD=∠OEF，∠ODC=∠OFE，

　　∴∠OCD=∠ODC，

　　∴OC=OD，

　　∵AM=BM，

　　∴AC=BD

　　2．证明：

作OM⊥CD于M，

　　∵AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，

　　∴AE//OM//BF，

　　∵OA=OB，∴EM=FM，

　　∴OE=OF，∴∠OEF=∠OFE

圆的有关性质

（二）

　　这部分圆的内容中，解题时常添加的辅助线。

　　1．连半径。

目的：

因为同圆的半径相等，所以可以产生等腰三角形。

　　2．作弦心距。

可以利用垂径定理。

　　若既连半径，又作弦心距，则可产生RtΔ。

　　3．连结弧的中点与圆心，目的：

可以利用垂径定理的推论。

　　4．作直径所对的圆周角，目的：

产生RtΔ。

　　5．补全圆内接四边形，例如：

连结AD，

　　目的：

利用圆内接四边形的性质：

∠ADE=∠B。

　　二、例题分析：

　　例1．已知：

如图，AB是⊙O直径，弦AC∥半径OD，求证:

此题证弧等

　　证弧等常采用的方法有：

　　1．圆的两条平行弦所夹的弧等。

　　2．由垂径定理及其推论可得两弧等。

　　3．在同圆或等圆中，如果两个圆心角等（或两条弦，两条弦的弦心距等）那么它们所对应的弧等。

　　4．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧等，因此这题可以通过添加辅助线采取不同的方法来证明，

　　方

法1：

延长DO交⊙O于E，　

　　∵AC∥OD，∴

　　又∵∠AOE=∠DOB，∴

　　此方法是：

利用圆的两条平行弦所夹的弧等，及在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧等，进行证明。

法2：

连结BC，交OD于E，

　　∵AB是直径，∴∠ACB=900，

　　又∵AC∥OD，

　　∴∠OEB=∠ACB=900，即OD⊥BC，

利用垂径定理，证明。

法3：

连结AD，∵OA=OD，∴∠1=∠2，

　　又∵AC∥OD，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，

利用在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧等进行证明。

法4：

连结OC，

　　∵OA=OC，∴∠A=∠C，又∵AC∥OD，

　　∴∠A=∠1，∠2=∠C，∴∠1=∠2，

利用在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧等进行证明。

　　例2．如

图，已知：

AD是半圆的直径，

　　AB=BC=1cm，AD=4cm.求CD的长。

若连结AC，则CD在RtΔACD中，AD长已知，若能求出AC的长，则可利用勾股定理求出CD，如何求AC的长呢？

从已知可推得

，即B为

的中点，连结OB，由垂径定理推论得OB垂直平分AC，求出AC的一半即可。

连结AC，OB，交AC于P，

　　∵AB=BC，∴

　　∴AP=CP，BP⊥AC，

　　设BP为xcm,则OP=OB-BP=2-x，

　　在RtΔABP中：

AB2-BP2=AP2，在RtΔAPO中：

AO2-OP2=AP2，

　　∴AB2-BP2=AO2-OP2，

　　∴1-x2=4-（2-x）2

　　∴x=

即BP=

　　∴AP=

　　∴AC=2AP=

　　∵AD是直径，∴∠ACD=900，

　　在RtΔACD中，由勾股定理得：

　　CD=

　　答：

CD为

连结AC的目的产生RtΔ，连结OB的目的是利用垂径定理的推论使OB垂直平分AC。

　　例3．如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD于K，E为劣弧

上的点，且

，AE的延长线交DC的延长线于F，求证：

AE·

CF=AB·

KD。

欲证等积式，化成比例式

，由于这个比例式不能直接证出，则要寻找“代换”，由已知可得KD=CK，因此要证比例式

，这个比例式也不能直接证出，则要进行“等比代换”或“等积代换”。

因此要找出比例式，这个比例式中至少有两条线段是要证的比例式中的线段。

由已知

，可得C为

的中点，连结OC可推得OC∥AE，所以

，即

，现在只要能证

即可。

就是“中间比”。

由已知可推得ΔOCK∽ΔABE，所以

即

。

连结OC，BE，

　　∵

，∴∠A=∠1，∴OC∥AF，

，∵OA=OC，∴

　　∵AB是直径，∴∠AEB=900，∵AK⊥CD，

　　∴CK=DK，∴∠OKC=∠AEB=900，∴ΔOCK∽ΔABE，

，∴

，∴

　　∴AE·

　　三、自我测试：

　　1．四边形ABCD内接于圆，AB、DC的延长线相交于E，BC、AD的延长线相交于F，求证：

　　2．已知⊙O是以等腰ΔABC的一腰AB为直径的圆，它交另一腰AC于E，交BC于D，求证：

BC=2DE。

　　3．如图

（1）圆内接四边形ABCD中，AC>

AD，延长AD到D'

，使AD'

=AC，连结BD'

交圆于点E，交AC于C'

，且

AC'

=AD。

求证

（1）ΔABE是等腰三角形；

（2）AB2=AC·

AD。

　　4．已知如图

（2），AB是⊙O的直径，弦PQ交AB于M，并且PM=MO。

求证：

=

。

　　四、答案：

如图（3），连结AC，BD，

∽ΔDEB

ΔACF∽ΔBDF

如图（4），连结AD。

　　3．证明：

如图

（5），连结BD。

（1）

≌ΔADC

∠D'

+∠EAD=∠ABD+∠EBD

∠AEB=∠ABE

AB=AE　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

ΔABE是等腰三角形。

（2）AB=AE

ΔABC∽ΔAC'

B

AB2=AC·

　　4．证明：

如图（6），连结PO并延长PO交⊙O于N，连结OQ，

　　∵PM=MO，∴∠P=∠AOP，

　　∵∠P

，　∠AOP

，

　　又∵∠AOP=∠BON，

，∵