人教版初中数学第二十七章相似知识点Word文档下载推荐.docx
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5.把一个图形按一定大小比例放大或缩小后,点的坐标变化
在四边形ABCD中,
四边形ABCD和EFGH相似,他们的对应边相等,由此可得
,即
解得
27.2相似三角形
27.2.1相似三角形的判定
在△ABC和△A‘B‘C’中,如果
,
,我们就说△ABC和△A‘B‘C’相似,记作△ABC∽△A‘B‘C’,k就是他们的相似比.
对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
成比例线段(简称比例线段):
对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,即
(或a:
b=c:
d),那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.
例1.如图27.2-1,在△ABC中,点D是边AB的中点,DE//BC,DE交AC于点E,△ADE与△ABC有什么关系?
解:
在△ADE与△ABC中,
DE//BC
过点E作EF//AB,EF交BC于点F.
在□BFED中,DE=BF,DB=EF
又
∴△ADE∽△EFC
AE=EC=
∵△ADE和△ABC的对应角相等,对应边的比相等
∴△ADE∽△ABC
1.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.
例2.如图27.2-1,在△ABC和△A‘B‘C’中,
,求证△ABC和△A‘B‘C’相似.
图27.2-1
证明:
在线段A’B’(或它的延长线)上截取A‘D=AB,过点D做DE//B’C’,交A’C’于点E,根据前面的结论可得△A’DE∽△A’B’C’
,A’D=AB,
∴
,∴A’E=AC
同理DE=BC
∴△A’DE≌△ABC
∴△A’DE∽△A’B’C’
2.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.
例在△ABC和△A‘B‘C’中,已知AB=6CM,BC=8CM,AC=10CM,A‘B’=18CM,B‘C’=24CM,A‘C’=30CM,试证明△ABC和△A‘B‘C’相似.
故△ABC和△A‘B‘C’相似.
例.设△ABC与△DEF中,AB:
DE=AC:
DF,∠A=∠D,△ABC与△DEF有什么关系?
把△DEF放到△ABC中与之重合.
∵AB:
DF,∴EF//BC.
∴两个三角形三个角对应相等,故两个三角形相似.
3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似;
例.根据下列条件判断△ABC和△A‘B‘C’是否相似,并说明理由.
(1)
,AB=7cm,AC=14cm,
,AB=3cm,AC=6cm
(2)AB=4cm,BC=6cm,AC=8cm,A‘B’=12cm,B‘C’=18cm,A‘C’=21cm
∴△ABC∽△A’B’C’
(2)
△ABC和△A‘B‘C’的三组对应边的比不等,它们不相似.
例.假设两个三角形的两组对应边的比相等,并且有一组角相等(不是这两边所夹的角),那么这两个三角形相似?
情形一:
当两个三角形同为锐角三角形时,可以推出它们相似.这个结论必须用正弦定理才好证明.(高中学习)
情形二:
当两个三角形同为直角三角形时,它们也相似.因为由勾股定理马上知道,两边对应成比例的直角三角形的第三边也必定成比例,于是由两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.
情形三:
当两个三角形同为钝角三角形时,它们不一定相似.
如图,△ABC和△ADC中,AB=AD,AC是两个三角形的公共边,∠C是两个三角形的公共角.但是二者显然不相似.
4.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似;
例.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:
△ADE∽△EFC.
∵DE∥BC,∴DE∥FC,
∴∠AED=∠C.
又∵EF∥AB,∴EF∥AD,
∴∠A=∠FEC.
∴△ADE∽△EFC.
27.2.2相似三角形应用举例
27.2.3相似三角形的周长和面积
相似三角形周长的比等于相似比.
用类似的方法还可得出相似多边形的周长比等于相似比.
相似三角形面积比等于相似比的平方.
相似多边形面积的比等于相似比的平方
如果△ABC和△A‘B‘C’相似,相似比为k,那么
因此
从而
由此我们得到:
用类似的方法,还可得出:
相似多边形的周长比等于相似比.
例.如图27.2△ABC∽△A’B’C’,相似比为k,他们的面积比为多少?
分别作△ABC和△A’B’C‘的高AD和A’D’.
∵△ABD和△A’B‘D’都是直角三角形,并且
∴△ABD∽△A‘B‘D‘
对于两个相似多边形,用类似的方法,能把他们分成若干个相似的三角形,因此可以得到
例27.2在平行四边形ABCD中,AB=6,AD=9,
的平分线交BC于E,交DC的延长线于F,BG⊥AE于G,
,则△EFC的周长为?
在平行四边形ABCD中,
∵AB//CD,∴
,又
,故AD=DF=9,则CF=DF-DC=3
∴△EAB∽△EFC,
,又∵BC=BE+CE=9,∴CE=3,BE=6.
在Rt△BGE中,由勾股定理得,
,∵AB=BE=6,BG⊥AE,∴AG=GE=2,
则EA=AG+GE=4,
故CF+CE+EF=3+3+2=8
所以△EFC的周长为8.
例27.2在△ABC中,点D、E分别在AB、AC上,
,如果AE=2,△ADE的面积为4,四边形BCED的面积为5,那么AB的长为多少?
,∴△ADE∽△ACB,
∵S△ADE=4,S四边形BCED=5,∴S△ACB=4+5=9,
S△ADE:
S△ACB=4:
9,
根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得相似比为2:
3,
即AE:
AB=2:
3,故AB=3.
例如图27.2在□ABCD中,AE:
EB=2:
3,DE交AC于点F.
(1)求△AEF与△CDF的周长比;
(2)如果S△CDF=20cm2,求S△AEF.
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB//CD,
∴△AEF∽△CDF,
=20,
27.3位似
(1)位似图形:
如果两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比.
(3)掌握位似图形概念,需注意:
①位似是一种具有位置关系的相似,所以两个图形是位似图形,必定是相似图形,而相似图形不一定是位似图形;
②两个位似图形的位似中心只有一个;
③两个位似图形可能位于位似中心的两侧,也可能位于位似中心的一侧;
④位似比就是相似比.利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似.
例.如图,四边形ABCD的坐标分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个以原点O为位似中心,相似比为
的位似图形.
例.
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