线性代数模拟试题4套.docx
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线性代数模拟试题4套.docx
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线性代数模拟试题4套
模拟试题一
-、判断题:
(正确:
一错误:
X)(每小题2分,共10分)
1、若A,B为n阶方阵,则ABAB.()
2、可逆方阵A的转置矩阵AT必可逆.()
3、n元非齐次线性方程组Axb有解的充分必要条件R(A)n.・••()
4、A为正交矩阵的充分必要条件ATA1()5、设A是n阶方阵,且A0,则矩阵A中必有一列向量是其余列向量的线性组
合.()
二、填空题:
(每空2分,共20分)
1、A,B为3阶方阵,如果|A|3,|B|2,那么12AB1|.
2、行列式中元素aj的余子式和代数余子式Mj,Aj的关系是.
3、在5阶行列式中,项a13a32a24a41a55所带的正负号是.
6
4、已知A201,B5则AB.
2
什52ml
5、右A,则A.
21
10108
6、设矩阵011013是4元非齐次线性方程组Axb的增广矩阵,则
00012
Axb的通解为.
7、RABRARB.
8、若A是A的伴随矩阵,则AA.
111
9、设A012,则当t时,A的行向量组线性无关
00t5
解.
如果线性相关,求一个最大无关组,并用它表示其余向量七、综合计算:
(本题14分)
22
已知二次型f(Xi,X2,X3)Xi2X2
(1)求二次型所对应的矩阵A,并写出二次型的矩阵表示;
(2)求A的特征值与全部特征向量;
(3)求正交变换XPY化二次型为标准形,并写出标准形;
(4)判断该二次型的正定性。
八、证明题:
(每小题5分,共10分)
1、已知向量ai,a2,a3线性无关,证明bi2ai3a2,b2a24a3,b35a3ai线性无关.
2、某矿产公司所属的三个采矿厂ai,a2,a3,在20ii年所生产的四种矿石
bi,b2,b3,b4,b5的数量(单位:
吨)及各种矿石的单位价格(万元/吨)如下表:
工厂
bi
b2
b3
b4
b5
ai
i00
20
30
50
20
a2
80
20
20
70
30
a3
30
60
i0
60
50
各矿石单价
2
3
6
5
4
(i)做矩阵A35表示20ii年工厂ai产矿石bj的数量(ii,2,3;ji,2,3,4,5);
(2)通过矩阵运算计算三个工厂在20ii年的生产总值.
模拟试题二
判断题(正确的打,,不正确的打)(每小题2分,共i0分)
()1、设A,B为n阶方阵,则|AB||A|B|;
()2、可逆矩阵A总可以只经若干次初等行变换化为单位矩阵E;
()3、设矩阵A的秩为r,则A中所有r1阶子式必不是零;
()4、若xi,x2是非齐次线性方程组Axb的解,则xi2也
是该方程组的解.
()5、n阶对称矩阵一定有n个线性无关的特征向量。
填空题(每小题2分,共16分)
1、排列7623451的逆序数是
其中Aj为元素aj的代数余子式;
一1,
3、设A、B均为5阶矩阵,A—,B2,则BA1;
2
4、3
(1)2
(2)5(3),其中1(2,5,1,3)T,2(10,1,5,10)T
T
3(4,1,1,1),贝U;
..一一k2.一1一一
5、已知向量组A:
1,2,向量b,当k时,b可由A
211
线性表示,且表示法唯一;
1123
6、设齐次线性方程组AX0的系数矩阵通过初等行变换化为0102,则
0000
此线性方程组的基础解系所含解向量的个数为
7、设向量(1,2,1)T,=2,,2T正交,则8、设3阶矩阵A的行列式|A|=8,已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值
三、计算题(每小题8分,共16分)
2、已知矩阵A
求矩阵方程AXBC
四、计算题(每小题8分,共16分)
1k2
1、已知向量组10,2k2,3k2,
01k2
(1)k取何值时,该向量组线性相关;
(2)k取何值时,该向量组线性无关,
说明理由
2
5x34x1X24x1X38X2X3,
22
2、已知二次型f(X1,X2,X3)2x15x2
(1)写出此二次型对应的矩阵A;
(2)判断该二次型是否正定二次型,说明理由
五、计算题(每小题10分,共20分)
求:
(1)矩阵A秩;
(2)矩阵A的列向量组的一个最大线性无关组。
系和此方程组的通解
131
六、(12分)设矩阵A011
002
(1)求矩阵A的特征值和全部的特征向量;
(2)求可逆矩阵P,使得P1AP(其中是对角矩阵),并写出对角矩阵
七、(5分)证明题
设方阵A满足A2AEO,证明:
A可逆并求它的逆矩阵。
八、(5分)应用题
假设我们已知下列涉及不同商店水果的价格,不同人员需要水果的数量以及不
同城镇不同人员的数目的矩阵:
设第一个矩阵为A,第二个矩阵为B,而第三个矩阵为C
(1)求出一个矩阵,它能给出在每个商店每个人购买水果的费用是多少?
(2)求出一个矩阵,它能确定在每个城镇每种水果的购买量是多少?
模拟试题三
一、判断题:
(正确:
V,错误:
X)(每小题2分,共10分)
1、A,B为n阶方阵则AB|BA()
2、设A为mn(mn)矩阵,则Axb有无穷多解。
()
3、向量组Ai是向量组A的一部分,向量组Ai线性无关,则向量组A一定线性相
关;()
4、设1,2是方阵A的特征值,则12也是方阵A的特征值。
()
5、4个3维向量一定线性相关。
()
二、填空题:
(每空2分,共20分)
1、已知A为3阶方阵,且A2,则2A;
2、六阶行列式中某项a15a21a36a42a53a64带有的符号为;
3、设A为n阶方阵,满足A2AE,则A1;
4、设1,2是n元非齐次线性方程组Axb的两个解,且A的秩R(A)n1,则Axb的通解x;
5、设非齐次线性方程组的增广矩阵为
102-11
B=01-300,贝Uk
000(1-k)k1k2
时方程组无解,
当k时方程组有无穷解,此时该方程组对应的齐次线性方程组的基
础解系中有
个向量。
6、二次型f2x24xy6y24z2
4xz的秩为
(请选正定、负定、不定之一)
7、方阵A的特征值为,方阵BA2
2A3E,则B的特征值为
、计算:
(每小题8分,
共16分)
1、已知4阶行列式D
1
2、已知A1
1
伴随矩阵A*
四、计算:
(每小题
10
1、求齐次线性方程组
2、已知线性方程组
1
1
2
1
0
1
1
1
1
2
0
1
2
1
2
1
A21A312A41
试判断A是否可逆。
若可逆,
分,共20分)
2x1x2
Xi
4x1
2x1
x2
2x2
2x2
x3
2x3
2x3
4x3
x4
求A1,若不可逆,求A的
x
2x
2x
x4
2x4
3x4
的基础解系和它的通解。
3y3z2有解,求yza
a,并求全部解;
1
2
2
0
(10分)判断向量组
1
0
1,2
1
2,3
1
0,
4
1
2
1
0
1
1
的线性相关性,并求它的一个最大无关组,并用最大无关组表示该组中其它向量。
六、综合计算:
(本题14分)
二次型f(Xi,X2,X3)X2X2X22XiX2
(1)求二次型所对应的矩阵A,并写出二次型的矩阵表示
(2)求A的特征值与全部特征向量;
(3)求正交矩阵P,使P1AP为对角形矩阵。
(4)求正交变换XPY化二次型为标准形
(5)写出标准形
七、证明题:
(每小题5分,共10分)
1、设°是非齐次线性方程组Axb的一个解,1,2,3是对应的齐次线性方程组
Ax0的一个基础解系,证明:
0,1,2,3线性无关;
2、某石油公司所属的三个炼油厂a1,a2,a3,在2010年所生产的四种油品
b1,b2,b3,b4
的数量(单位:
吨)及各种油品的单位价格(元/吨)如下表:
工厂
b
b2
b3
b4
a1
5
2
3
4
a2
7
3
1
5
a3
6
2
1
3
各油品单价
100
150
130
110
(1)做矩阵A34表示2010年工厂ai产油品bj的数量(i1,2,3;j1,2,3,4)
(2)计算三个工厂在2010年的生产总值。
模拟试题四
一、判断题:
(正确:
V,错误:
X)(每小题2分,共10分)
1、设A,B均为n阶方阵,则若A或B可逆,则AB必可逆.()
2、已知A,B是n阶方阵,k为整数,则(AB)kAkBk.()
3、已知向量组1,2,3,4的秩为3,则1,2,3,4中至少有三个向量线性无关.
()
4、一个向量组的最大无关组与这个向量组本身等价.()
5、设1,2是矩阵A的两个不同的特征值,P1,P2是对应的特征向量,则P1与P2正
交.()
二、填空题:
(每空2分,共20分)
1、4阶行列式det(aj)中含a13,a21的带正号的项为.
2、A,B为3阶方阵,如果网2,B3,那么3AB.
3、m个n维向量构成的向量组ai,a2,,am线性相关的充分必要条件是矩阵
有无穷多解.
6、已知A
7、已知4阶行列式D
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
则A21A22A23A24的值为
中Aij为D
的第i行第j列元素的代数余子式.
8、矩阵A
对应的二次型是
2
9、矩阵A
0的列向量组的秩为
2
10、已知
2是A特征值,且A可逆,则
是A1的特征值.
三、计算:
(每小题8分,共16分)
(2)A20122BT1
0
0,求
(1)A1;
3
2、设矩阵A和B满足关系式AB
A2B,其中A
四、(10分)求齐次线性方程组
X1
X2
X3
4x4
3x5
X1
X2
3X3
2x4
X5
2x1
X2
3X3
5x4
5X5
3x1
X2
5X3
6x4
7X5
的一个基础解系和它
0
0
0
0
的通解.
五、(10分)设有5个向量ai
1
0
1
1
6
1
3
1
2
12
c,a2
「,a3
c,a4
c,a5
2
1
2
3
10
4
2
0
14
0
求此向量组中的一个最大线性无关组,并用它表示其余的向量.
六、(10分)设非齐次线性方程组AXb的增广矩阵为
10
01
00
00
211
300
01k1k'
0(1k)k1k
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- 线性代数 模拟 试题