最新中考数学知识点梳理 考点04 一次方程组教师版Word格式.docx
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合并同类项
把方程化成
的形式
系数化成1
在方程两边都除以未知数的系数
,得到方程的解为
注意:
解方程时移项容易忘记改变符号而出错,要注意解方程的依据是等式的性质,在等式两边同时加上或减去一个代数式时,等式仍然成立,这也是“移项”的依据.移项本质上就是在方程两边同时减去这一项,此时该项在方程一边是0,而另一边是它改变符号后的项,所以移项必须变号.
三、二元一次方程(组)及解的概念
1.二元一次方程:
含有2个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程.
2.二元一次方程的解:
使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解.
3.二元一次方程组:
由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组.方程组中同一个字母代表同一个量,其一般形式为
.
4.解二元一次方程组的基本思想
解二元一次方程组的基本思想是消元,即将二元一次方程组转化为一元一次方程.
5.二元一次方程组的解法
(1)代入消元法:
将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来,并代入另一个方程中,消去一个未知数,化二元一次方程组为一元一次方程.
(2)加减消元法:
将方程组中两个方程通过适当变形后相加(或相减)消去其中一个未知数,化二元一次方程组为一元一次方程.
四、一次方程(组)的应用
1.列方程(组)解应用题的一般步骤
(1)审题;
(2)设出未知数;
(3)列出含未知数的等式——方程;
(4)解方程(组);
(5)检验结果;
(6)作答(不要忽略未知数的单位名称).
2.一次方程(组)常见的应用题型
(1)销售打折问题:
利润
售价-进价(成本价);
总利润=单个利润×
数量;
利润率=
×
100%;
售价=标价×
折扣;
销售额=售价×
数量
(2)储蓄利息问题:
利息=本金×
利率×
期数;
本息和=本金+利息=本金×
(1+利率×
期数);
贷款利息=贷款额×
期数.
(3)工程问题:
工作量=工作效率×
工作时间.
(4)行程问题:
路程=速度×
时间.
(5)相遇问题:
总路程=甲走的路程+乙走的路程=甲乙速度和×
(6)追及问题(同地不同时出发):
前者走的路程=追者走的路程.
(7)追及问题(同时不同地出发):
前者走的路程+两地间距离=追者走的路程.
(8)水中航行问题:
顺水速度=静水速度+水流速度;
逆水速度=静水速度-水流速度.
一.选择题(共10小题)
1.(2021•河北模拟)洛书被世界公认为组合数学的鼻祖,它是中华民族对人类的伟大贡献之一.它是在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中,任意一横行,一纵列及对角线的几个数之和都相等,如图也是一个洛书,上面只有部分数字可见,则x对应的数是( )
A.1B.4C.6D.8
【分析】直接利用任意一横行,一纵列及对角线的几个数之和都相等,得出等式进而得出答案.
【解答】解:
由题意可得:
x+3+15=5+11+8,
解得:
x=6.
故选:
C.
2.(2021•路北区三模)已知2×
m=1,则m表示数( )
A.
B.
C.2D.﹣2
【分析】根据已知方程求出m的值即可.
方程2×
m=1,
m
,
则m表示的数为
3.(2021•衡水模拟)下列等式变形正确的是( )
A.若2x=1,则x=2
B.若4x﹣1=2﹣3x,则4x+3x=2﹣1
C.若2x=3,则x
D.若
,则3(3x+1)﹣2(1﹣2x)=1
【分析】根据等式的性质逐个判断即可.
【解答】A、若2x=1,则x
,故本选项错误,不符合题意;
B、若4x﹣1=2﹣3x,则4x+3x=2+1,故本选项错误,不符合题意;
C、若2x=3,则x
,故本选项正确,符合题意;
D、若
,则3(3x+1)﹣2(1﹣2x)=6,故本选项错误,不符合题意;
4.(2021•新华区模拟)长江比黄河长836km,黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284km,设长江长度为xkm,则下列方程中正确的是( )
A.5x﹣6(x﹣836)=1284B.6x﹣5(x+836)=1284
C.6(x+836)﹣5x=1284D.6(x﹣836)﹣5x=1284
【分析】根据长江比黄河长836km,设长江长度为xkm,即可得到黄河的长度为(x﹣834)km,再根据黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284km,可以列出相应的方程,从而可以解答本题.
由题意可得,
6(x﹣836)﹣5x=1284,
D.
5.(2021•新华区校级模拟)下列等式变形正确的是( )
C.若﹣2x=3,则
【分析】根据等式的性质即可解决.
A、若2x=1,则x
,原变形错误,故这个选项不符合题意;
B、若4x﹣1=2﹣3x,则4x+3x=2+1,原变形错误,故这个选项不符合题意;
C、若﹣2x=3,则x
,原变形正确,故这个选项符合题意;
1,则3(3x+1)﹣2(1﹣2x)=6,原变形错误,故这个选项不符合题意;
6.(2021•保定模拟)新型冠状肺炎疫情正在全球蔓延肆虐,口罩成了人们生活中必不可少的物品,某口罩厂有26名工人,每人每天可以生产800个口罩面或1000个口罩耳绳.一个口罩面需要配两个耳绳,为使每天生产的口罩刚好配套,设安排x名工人生产口罩面,则下面所列方程正确的是( )
A.2×
1000(26﹣x)=800xB.1000(13﹣x)=800x
C.1000(26﹣x)=2×
800xD.1000(26﹣x)=800x
【分析】题目已经设出安排x名工人生产口罩面,则(26﹣x)人生产耳绳,由一个口罩面需要配两个耳绳可知耳绳的个数是口罩面个数的2倍从而得出等量关系,就可以列出方程.
设安排x名工人生产口罩面,则(26﹣x)人生产耳绳,由题意得
1000(26﹣x)=2×
800x.
7.(2021•海港区模拟)下列变形中,正确的是( )
A.若a=b,那么a+c=b﹣cB.若﹣3x=5,则x
C.若a=b,那么
D.若
x=1,则x=﹣3
【分析】根据等式的性质一一判断即可.
A、错误.若a=b,那么a+c=b+c;
B、错误.若﹣3x=5,则x
;
C、错误.c=0时,不成立;
D、正确.
8.(2019•襄阳)《九章算术》是我国古代数学名著,卷七“盈不足”中有题译文如下:
今有人合伙买羊,每人出5钱,会差45钱;
每人出7钱,会差3钱.问合伙人数、羊价各是多少?
设合伙人数为x人,所列方程正确的是( )
A.5x﹣45=7x﹣3B.5x+45=7x+3C.
D.
【分析】设合伙人数为x人,根据羊的总价钱不变,即可得出关于x的一元一次方程,此题得解.
设合伙人数为x人,
依题意,得:
5x+45=7x+3.
B.
9.(2021•河北模拟)根据大马和小马的对话求大马和小马各驮了几包货物.
大马说:
“把我驮的东西给你1包多好哇!
这样咱俩驮的包数就一样多了.”
小马说:
“我还想给你1包呢!
”
“那可不行!
如果你给我1包,我驮的包数就是你的2倍了.”
小明将这个实际问题转化为二元一次方程组问题.设未知数x,y,已经列出一个方程x﹣1=y+1,则另一个方程应是( )
A.x+1=2yB.x+1=2(y﹣1)C.x﹣1=2(y﹣1)D.y=1﹣2x
【分析】设大马驮x袋,小马驮y袋.本题中的等量关系是:
2×
(小马驮的﹣1袋)=大马驮的+1袋;
大马驮的﹣1袋=小马驮的+1袋,据此可列方程组求解.
设大马驮x袋,小马驮y袋.
根据题意,得
10.(2021•衡水模拟)在解二元一次方程组
时,若①﹣②可直接消去未知数y,则⊕和⊗( )
A.互为倒数B.大小相等C.都等于0D.互为相反数
【分析】当未知数y的系数相等时,两式相减即可直接消去未知数y;
当未知数y的系数互为相反数时,两式相加,即可消去未知数y.
当y的系数相等时,①﹣②可直接消去未知数y,
二.填空题(共5小题)
11.(2021•海港区模拟)已知关于x,y的二元一次方程kx﹣y=k﹣1.
(1)当k=1和k=2时,所得两个方程组成的方程组是
,这个方程组的解是
;
(2)当k=﹣1和k=﹣2时,所得两个方程组成的方程组是
(3)猜想:
无论k取何值时,关于x,y的方程kx﹣y=2k﹣3一定有一个解是
.
【分析】
(1)利用加减消元法求解即可;
(2)利用加减消元法求解即可;
(3)归纳总结确定出所求即可.
【解答】解
(1)
②﹣①得:
x=1,
把x=1代入①得:
y=1,
∴
故答案为:
(2)
①﹣②得:
(3)由题kx﹣y=2k﹣3可得:
y=k(x﹣2)+3,
当x=2时,y=3,等式成立与k值无关,
∴无论k取何值,关于x,y的方程kx﹣y=2k﹣3一定有一个解是
12.(2021•玉田县二模)如图,在长方形ABCD中,放入6个形状、大小都相同的长方形,所标尺寸如图所示,则图中阴影部分面积是 67cm2 ,若平移这六个长方形,则图中剩余的阴影部分面积是否改变?
不变 (填“变”或“不变”).
【分析】设小长方形的长为xcm,宽为ycm,观察图形,根据图中各边之间的关系,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出小长方形的长和宽,再利用阴影部分的面积=大长方形的面积﹣6×
小长方形的面积,即可求出阴影部分的面积,由该值为定值可得出:
若平移这六个长方形,则图中剩余的阴影部分面积不变.
设小长方形的长为xcm,宽为ycm,
依题意得:
∴19×
(7+2y)﹣6xy=19×
(7+2×
3)﹣6×
10×
3=67,
∴若平移这六个长方形,则图中剩余的阴影部分面积不变.
67cm2;
不变.
13.(2021•保定模拟)如图,已知数轴上点A表示的数为6,点B是数轴上在点A左侧的一点,且A、B两点间的距离为10,动点P从点A出发,以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动.
(1)数轴上点B表示的数是 ﹣4 ;
(2)运动1秒时,点P表示的数是 0 ;
(3)动点Q从点B出发,以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,若点P、Q同时出发.当点P运动 6 秒时,点P与点Q相遇.
(1)由AB的长、点A表示的数及点B在点A的左侧,可求出点B表示的数;
(2)利用1秒后点P表示的数=点A表示的数﹣点P运动的速度×
运动时间,即可求出结论;
(3)当运动时间为t秒时,点P表示的数为6﹣6t,点Q表示的数为﹣4﹣4t,由点P,Q相遇,即可得出关于t的一元一次方程,解之即可得出结论.
(1)∵A、B两点间的距离为10,点A表示的数为6,且点B在点A的左侧,
∴点B表示的数为6﹣10=﹣4,
﹣4;
(2)运动1秒时,点P表示的数为6﹣6=0,
0;
(3)当运动时间为t秒时,点P表示的数为6﹣6t,点Q表示的数为﹣4﹣4t.
6﹣6t=﹣4﹣4t,
t=5,
∴当点P运动5秒时,点P与点Q相遇,
5.
14.(2020•丰南区二模)如图,在长方形ABCD中,放入6个形状、大小都相同的长方形,所标尺寸如图所示,则图中阴影部分面积是 44cm2 ,若平移这六个长方形,则图中剩余的阴影部分面积是否改变?
【分析】设小长方形的长为xcm,宽为ycm,利用长方形的对边相等,可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出x,y的值,再利用图中阴影部分面积=大长方形的面积﹣6×
小长方形的面积,即可求出结论.
∴图中阴影部分面积为14×
(6+2y)﹣6xy=44(cm2).
无论怎么平移这六个长方形,阴影部分的面积均为14×
44cm2;
15.(2020•长安区模拟)若关于x、y的方程组
的解是
,则mn的值为 ﹣2 .
【分析】将
代入方程组即可求出m与n的值.
将
代入
∴mn=﹣2,
﹣2.
三.解答题(共3小题)
16.(2021•路南区二模)小明到某水果店购买苹果和梨,他发现一人购买1千克苹果和2千克梨共花费了26元,另一人购买2千克苹果和1千克梨共花费了22元.
(1)妈妈给小明带了20元钱,想购买1千克苹果和1千克梨,小明带的钱够用吗?
说明理由;
(2)到家后妈妈给小明出了一道题:
如果给你带100元钱,①当购买苹果和梨的重量相等时,最多能够买多少千克苹果?
(千克只取整数)②当购买苹果的重量是梨的重量的2倍时,最多能够买多少千克苹果?
(千克只取整数)
(1)设1千克苹果的价格为x元,1千克梨的价格为y元,根据“购买1千克苹果和2千克梨共花费了26元,购买2千克苹果和1千克梨共花费了22元”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出x,y的值,再将其代入(x+y)中可求出购买1千克苹果和1千克梨所需费用,将其与20比较后可得出小明带的钱够用;
(2)①设可以购买m千克苹果,则购买m千克梨,利用总价=单价×
数量,结合总价不超过100元,即可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出m的取值范围,再结合m为正整数,即可得出最多能够买6千克苹果;
②设可以购买n千克苹果,则购买
n千克梨,利用总价=单价×
数量,结合总价不超过100元,即可得出关于n的一元一次不等式,解之即可得出n的取值范围,再结合n,
n均为正整数,即可得出最多能够买8千克苹果.
(1)小明带的钱够用,理由如下:
设1千克苹果的价格为x元,1千克梨的价格为y元,
∴x+y=6+10=16.
∵20>16,
∴小明带的钱够用.
(2)①设可以购买m千克苹果,则购买m千克梨,
6m+10m≤100,
m≤6
又∵m为正整数,
∴m的最大值为6.
答:
最多能够买6千克苹果.
n千克梨,
6n+10
n≤100,
n≤9
又∵n,
n均为正整数,
∴n的最大值为8.
最多能够买8千克苹果.
17.(2021•唐山一模)对于实数a、b,定义关于“※”的一种运算:
a※b=2a+b.
例如1※3=2×
1+3=5.
(1)求4※(﹣3)的值;
(2)若x※y=﹣2,(2y)※x=﹣1,求x和y的值.
(1)根据新定义直接代入即可;
(2)由已知可得方程组
,解出方程组即可.
(1)4※(﹣3)=4×
2+(﹣3)=8﹣3=5;
(2)∵x※y=﹣2,(2y)※x=﹣1,
②×
2,得8y+2x=﹣2③,
解得y=0,
将y=0代入①得x=﹣1,
∴x=﹣1,y=0.
18.(2021•迁西县模拟)解密数学魔术:
魔术师请观众心想一个数a,然后将这个数按以下步骤操作:
魔术师能立刻说出观众想的那个数.
(1)如果小明想的数是﹣1,那么她告诉魔术师的结果应该是 1 ;
(2)如果小明想了一个数计算后,告诉魔术师结果为42,那么魔术师立刻说出小明想的那个数是 40 ;
(3)观众又进行了几次尝试,魔术师都能立刻说出他们想的那个数.请通过计算说明这个魔术的奥妙.
(1)利用已知条件,这个数按步骤操作,直接代入即可;
(2)假设这个数,根据运算步骤,求出结果等于42,得出一元一次方程,即可求出;
(3)结合
(2)中方程,关键是发现运算步骤的规律.
(1)根据题意知:
(﹣1×
2﹣4)÷
2+4=1.
故答案是:
1;
(2)设小明想的数是x,则(2x﹣4)÷
2+4=42.
解得x=40.
40.
(3)观众心想的数为a,
则根据题意得:
因此,魔术师只要将最终结果减去2,就能得到观众想的数了.
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