常用数学算法C语言实现文档格式.docx
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{s=s+i;
/*累加式*/
i=i+1;
/*特殊的累加式*/
1+2+3+...+100=%d\n"
s);
【解析】程序中加粗部分为累加式的典型形式,赋值号左右都出现的变量称为累加器,其中“i=i+1”为特殊的累加式,每次累加的值为1,这样的累加器又称为计数器。
3.累乘
累乘算法的要领是形如“s=s*A”的累乘式,此式必须出现在循环中才能被反复执行,从而实现累乘功能。
“A”通常是有规律变化的表达式,s在进入循环前必须获得合适的初值,通常为1。
例1、求10!
[分析]10!
=1×
2×
3×
……×
10
{inti;
longc;
c=1;
=10)
{c=c*i;
/*累乘式*/
1*2*3*...*10=%ld\n"
c);
二、非数值计算常用经典算法
1.穷举
也称为“枚举法”,即将可能出现的每一种情况一一测试,判断是否满足条件,一般采用循环来实现。
例1、用穷举法输出所有的水仙花数(即这样的三位正整数:
其每位数位上的数字的立方和与该数相等,比如:
13+53+33=153)。
[法一]
{intx,g,s,b;
for(x=100;
x<
=999;
x++)
{g=x%10;
s=x/10%10;
b=x/100;
if(b*b*b+s*s*s+g*g*g==x)printf("
%d\n"
x);
【解析】此方法是将100到999所有的三位正整数一一考察,即将每一个三位正整数的个位数、十位数、百位数一一求出(各数位上的数字的提取算法见下面的“数字处理”),算出三者的立方和,一旦与原数相等就输出。
共考虑了900个三位正整数。
[法二]
{intg,s,b;
for(b=1;
b<
=9;
b++)
for(s=0;
s<
s++)
for(g=0;
g<
g++)
if(b*b*b+s*s*s+g*g*g==b*100+s*10+g)printf("
b*100+s*10+g);
【解析】此方法是用1到9做百位数字、0到9做十位和个位数字,将组成的三位正整数与每一组的三个数的立方和进行比较,一旦相等就输出。
共考虑了900个组合(外循环单独执行的次数为9,两个循环单独执行的次数分别为10次,故if语句被执行的次数为9×
10×
10=900),即900个三位正整数。
与法一判断的次数一样。
2.排序
(1)冒泡排序(起泡排序)
假设要对含有n个数的序列进行升序排列,冒泡排序算法步骤是:
①从存放序列的数组中的第一个元素开始到最后一个元素,依次对相邻两数进行比较,若前者大后者小,则交换两数的位置;
②第①趟结束后,最大数就存放到数组的最后一个元素里了,然后从第一个元素开始到倒数第二个元素,依次对相邻两数进行比较,若前者大后者小,则交换两数的位置;
③重复步骤①n-1趟,每趟比前一趟少比较一次,即可完成所求。
例1、任意读入10个整数,将其用冒泡法按升序排列后输出。
#definen10
{inta[n],i,j,t;
for(i=0;
i<
n;
i++)scanf("
%d"
a[i]);
for(j=1;
j<
=n-1;
j++)/*n个数处理n-1趟*/
=n-1-j;
i++)/*每趟比前一趟少比较一次*/
if(a[i]>
a[i+1]){t=a[i];
a[i]=a[i+1];
a[i+1]=t;
i++)printf("
a[i]);
(2)选择法排序
选择法排序是相对好理解的排序算法。
假设要对含有n个数的序列进行升序排列,算法步骤是:
①从数组存放的n个数中找出最小数的下标(算法见下面的“求最值”),然后将最小数与第1个数交换位置;
②除第1个数以外,再从其余n-1个数中找出最小数(即n个数中的次小数)的下标,将此数与第2个数交换位置;
③重复步骤①n-1趟,即可完成所求。
例1、任意读入10个整数,将其用选择法按升序排列后输出。
{inta[n],i,j,k,t;
i++)scanf("
n-1;
i++)/*处理n-1趟*/
{k=i;
/*总是假设此趟处理的第一个(即全部数的第i个)数最小,k记录其下标*/
for(j=i+1;
j++)
if(a[j]<
a[k])k=j;
if(k!
=i){t=a[i];
a[i]=a[k];
a[k]=t;
}
i++)
(3)插入法排序
要想很好地掌握此算法,先请了解“有序序列的插入算法”,就是将某数据插入到一个有序序列后,该序列仍然有序。
插入算法参见下面的“数组元素的插入”。
例1、将任意读入的整数x插入一升序数列后,数列仍按升序排列。
#definen10
{inta[n]={-1,3,6,9,13,22,27,32,49},x,j,k;
/*注意留一个空间给待插数*/
x);
if(x>
a[n-2])a[n-1]=x;
/*比最后一个数还大就往最后一个元素中存放*/
else/*查找待插位置*/
{j=0;
while(j<
=n-2&
&
x>
a[j])j++;
/*从最后一个数开始直到待插位置上的数依次后移一位*/
for(k=n-2;
k>
=j;
k--)a[k+1]=a[k];
a[j]=x;
/*插入待插数*/}
for(j=0;
j++)printf("
%d"
a[j]);
插入法排序的要领就是每读入一个数立即插入到最终存放的数组中,每次插入都使得该数组有序。
例2、任意读入10个整数,将其用插入法按降序排列后输出。
{inta[n],i,j,k,x;
a[0]);
/*读入第一个数,直接存到a[0]中*/
j++)/*将第2至第10个数一一有序插入到数组a中*/
{scanf("
if(x<
a[j-1])a[j]=x;
/*比原数列最后一个数还小就往最后一个元素之后存放新读的数*/
else/*以下查找待插位置*/
{i=0;
while(x<
a[i]&
=j-1)i++;
/*以下for循环从原最后一个数开始直到待插位置上的数依次后移一位*/
for(k=j-1;
k>
=i;
k--)a[k+1]=a[k];
a[i]=x;
/*插入待插数*/
(4)归并排序
即将两个都升序(或降序)排列的数据序列合并成一个仍按原序排列的序列。
例1、有一个含有6个数据的升序序列和一个含有4个数据的升序序列,将二者合并成一个含有10个数据的升序序列。
#definem6
#definen4
{inta[m]={-3,6,19,26,68,100},b[n]={8,10,12,22};
inti,j,k,c[m+n];
i=j=k=0;
m&
j<
n)/*将a、b数组中的较小数依次存放到c数组中*/
{if(a[i]<
b[j]){c[k]=a[i];
i++;
else{c[k]=b[j];
j++;
k++;
while(i>
=m&
n)/*若a中数据全部存放完毕,将b中余下的数全部存放到c中*/
{c[k]=b[j];
while(j>
=n&
i<
m)/*若b中数据全部存放完毕,将a中余下的数全部存放到c中*/
{c[k]=a[i];
m+n;
i++)printf("
c[i]);
3.查找
(1)顺序查找(即线性查找)
顺序查找的思路是:
将待查找的量与数组中的每一个元素进行比较,若有一个元素与之相等则找到;
若没有一个元素与之相等则找不到。
例1、任意读入10个数存放到数组a中,然后读入待查找数值,存放到x中,判断a中有无与x等值的数。
#defineN10
{inta[N],i,x;
N;
/*以下读入待查找数值*/
i++)if(a[i]==x)break;
/*一旦找到就跳出循环*/
if(i<
N)printf("
Found!
\n"
);
elseprintf("
Notfound!
(2)折半查找(即二分法)
顺序查找的效率较低,当数据很多时,用二分法查找可以提高效率。
使用二分法查找的前提是数列必须有序。
二分法查找的思路是:
要查找的关键值同数组的中间一个元素比较,若相同则查找成功,结束;
否则判别关键值落在数组的哪半部分,就在这半部分中按上述方法继续比较,直到找到或数组中没有这样的元素值为止。
例1、任意读入一个整数x,在升序数组a中查找是否有与x等值的元素。
{inta[n]={2,4,7,9,12,25,36,50,77,90};
intx,high,low,mid;
/*x为关键值*/
high=n-1;
low=0;
mid=(high+low)/2;
while(a[mid]!
=x&
low<
high)
{if(x<
a[mid])high=mid-1;
/*修改区间上界*/
elselow=mid+1;
/*修改区间下界*/
mid=(high+low)/2;
if(x==a[mid])printf("
Found%d,%d\n"
x,mid);
elseprintf("
Notfound\n"
三、数值计算常用经典算法:
1.级数计算
级数计算的关键是“描述出通项”,而通项的描述法有两种:
一为直接法、二为间接法又称递推法。
直接法的要领是:
利用项次直接写出通项式;
递推法的要领是:
利用前一个(或多个)通项写出后一个通项。
可以用直接法描述通项的级数计算例子有:
(1)1+2+3+4+5+……
(2)1+1/2+1/3+1/4+1/5+……等等。
可以用间接法描述通项的级数计算例子有:
(1)1+1/2+2/3+3/5+5/8+8/13+……
(2)1+1/2!
+1/3!
+1/4!
+1/5!
+……等等。
(1)直接法求通项
例1、求1+1/2+1/3+1/4+1/5+……+1/100的和。
{floats;
inti;
s=0.0;
for(i=1;
=100;
i++)s=s+1.0/i;
1+1/2+1/3+...+1/100=%f\n"
【解析】程序中加粗部分就是利用项次i的倒数直接描述出每一项,并进行累加。
因为i是整数,故分子必须写成1.0的形式!
(2)间接法求通项(即递推法)
例2、计算下列式子前20项的和:
1+1/2+2/3+3/5+5/8+8/13+……。
[分析]此题后项的分子是前项的分母,后项的分母是前项分子分母之和。
{floats,fz,fm,t,fz1;
inti;
s=1;
/*先将第一项的值赋给累加器s*/
fz=1;
fm=2;
t=fz/fm;
/*将待加的第二项存入t中*/
for(i=2;
=20;
{s=s+t;
/*以下求下一项的分子分母*/
fz1=fz;
/*将前项分子值保存到fz1中*/
fz=fm;
/*后项分子等于前项分母*/
fm=fz1+fm;
/*后项分母等于前项分子、分母之和*/
1+1/2+2/3+...=%f\n"
下面举一个通项的一部分用直接法描述,另一部分用递推法描述的级数计算的例子:
例3、计算级数
的值,当通项的绝对值小于eps时计算停止。
#include<
math.h>
floatg(floatx,floateps);
{floatx,eps;
%f%f"
x,&
eps);
\n%f,%f\n"
x,g(x,eps));
floatg(floatx,floateps)
{intn=1;
floats,t;
t=1;
do{t=t*x/(2*n);
s=s+(n*n+1)*t;
/*加波浪线的部分为直接法描述部分,t为递推法描述部分*/
n++;
}while(fabs(t)>
returns;
2.一元非线性方程求根
(1)牛顿迭代法
牛顿迭代法又称牛顿切线法:
先任意设定一个与真实的根接近的值x0作为第一次近似根,由x0求出f(x0),过(x0,f(x0))点做f(x)的切线,交x轴于x1,把它作为第二次近似根,再由x1求出f(x1),过(x1,f(x1))点做f(x)的切线,交x轴于x2,……如此继续下去,直到足够接近(比如|x-x0|<
1e-6时)真正的根x*为止。
而f'
(x0)=f(x0)/(x1-x0)所以x1=x0-f(x0)/f'
(x0)
例如,用牛顿迭代法求下列方程在1.5附近的根:
2x3-4x2+3x-6=0。
#include"
math.h"
{floatx,x0,f,f1;
x=1.5;
do{x0=x;
f=2*x0*x0*x0-4*x0*x0+3*x0-6;
f1=6*x0*x0-8*x0+3;
x=x0-f/f1;
}while(fabs(x-x0)>
=1e-5);
printf("
%f\n"
(2)二分法
算法要领是:
先指定一个区间[x1,x2],如果函数f(x)在此区间是单调变化的,则可以根据f(x1)和f(x2)是否同号来确定方程f(x)=0在区间[x1,x2]是否有一个实根;
如果f(x1)和f(x2)同号,则f(x)在区间[x1,x2]无实根,要重新改变x1和x2的值。
当确定f(x)在区间[x1,x2]有一个实根后,可采取二分法将[x1,x2]一分为二,再判断在哪一个小区间中有实根。
如此不断进行下去,直到小区间足够小为止。
具体算法如下:
(1)输入x1和x2的值。
(2)求f(x1)和f(x2)。
(3)如果f(x1)和f(x2)同号说明在[x1,x2]无实根,返回步骤
(1),重新输入x1和x2的值;
若f(x1)和f(x2)不同号,则在区间[x1,x2]必有一个实根,执行步骤(4)。
(4)求x1和x2的中点:
x0=(x1+x2)/2。
(5)求f(x0)。
(6)判断f(x0)与f(x1)是否同号。
①如果同号,则应在[x0,x2]中寻找根,此时x1已不起作用,用x0代替x1,用f(x0)代替f(x1)。
②如果不同号,则应在[x1,x0]中寻找根,此时x2已不起作用,用x0代替x2,用f(x0)代替f(x2)。
(7)判断f(x0)的绝对值是否小于某一指定的值(例如10-5)。
若不小于10-5,则返回步骤(4)重复执行步骤(4)、(5)、(6);
否则执行步骤(8)。
(8)输出x0的值,它就是所求出的近似根。
例如,用二分法求方程2x3-4x2+3x-6=0在(-10,10)之间的根。
{floatx1,x2,x0,fx1,fx2,fx0;
do{printf("
Enterx1&
x2"
scanf("
x1,&
x2);
fx1=2*x1*x1*x1-4*x1*x1+3*x1-6;
fx2=2*x2*x2*x2-4*x2*x2+3*x2-6;
}while(fx1*fx2>
0);
do{x0=(x1+x2)/2;
fx0=2*x0*x0*x0-4*x0*x0+3*x0-6;
if((fx0*fx1)<
0){x2=x0;
fx2=fx0;
else{x1=x0;
fx1=fx0;
}while(fabs(fx0)>
1e-5);
x0);
3.梯形法计算定积分
定积分
的几何意义是求曲线y=f(x)、x=a、x=b以及x轴所围成的面积。
可以近似地把面积视为若干小的梯形面积之和。
例如,把区间[a,b]分成n个长度相等的
小区间,每个小区间的长度为h=(b-a)/n,第i个小梯形的面积为
[f(a+(i-1)·
h)+f(a+i·
h)]·
h/2,将n个小梯形面积加起来就得到定积分的近似值:
根据以上分析,给出“梯形法”求定积分的N-S结构图:
输入区间端点:
a,b
输入等分数n
h=(b-a)/2,s=0
i从1到n
si=(f(a+(i-1)*h)+f(a+i*h))*h/2
s=s+si
输出s
上述程序的几何意义比较明显,容易理解。
但是其中存在重复计算,每次循环都要计算小梯形的上、下底。
其实,前一个小梯形的下底就是后一个小梯形的上底,完全不必重复计
算。
为此做出如下改进:
矩形法求定积分则更简单,就是将等分出来的图形当作矩形,而不是梯形。
例如:
求定积分
的值。
等分数n=1000。
floatDJF(floata,floatb)
{floatt,h;
intn,i;
floatHSZ(floatx);
n=1000;
h=fabs(a-b)/n;
t=(HSZ(a)+HSZ(b))/2;
i++)t=t+HSZ(a+i*h);
t=t*h;
return(t);
floatHSZ(floatx)
{return(x*x+3*x+2);
{floaty;
y=DJF(0,4);
y);
四、其他常见算法
1.迭代法
其基本思想是把一个复杂的计算过程转化为简单过程的多次重复。
每次重复都从旧值的基础上递推出新值,并由新值代替旧值。
例如,猴子吃桃问题。
猴子第一天摘下若干个桃子,当即吃了一半,还不过瘾,又多吃了一个。
第二天早上又将剩下的桃子吃掉一半,又多吃了一个。
以后每天早上都吃了前一天剩下的一半零一个。
到第10天早上想再吃时,就只剩一个桃子了。
编程求第一天共摘多少桃子。
{intday,peach;
peach=1;
for(day=9;
day>
=1;
day--)peach=(peach+1)*2;
Thefirstday:
peach);
又如,用迭代法求x=
的根。
求平方根的迭代公式是:
xn+1=0.5×
(xn+a/xn)
[算法]
(1)设定一个初值x0。
(2)用上述公式求出下一个值x1。
(3)再将x1代入上述公式,求出下一个值x2。
(4)如此继续下去,直到前后两次求出的x值(xn+1和xn)满足以下关系:
|xn+1-xn|<
10-5
{floata,x0,x1;
%f"
a);
x0=a/2;
x1=(x0+a/x0)/2;
do{x0=x1;
}while(fabs(x0-x1)>
x1);
2.进制转换
(1)十进制数转换为其他进制数
一个十进制正整数m转换成r进制数的思路是,将m不断除以r取余数,直到商为0时止,以反序输出余数序列即得到结果。
注意,转换得到的不是数值,而是数字字符串或数字串。
例如,任意读入一个十进制正整数,将其转换成二至十六任意进制的字符串。
voidtran(intm,intr,charstr[],int*n)
{charsb[]="
0123456789ABCDEF"
;
inti=0,g;
do{g=m%r;
str[i]=sb[g];
m=m/r;
i++;
}while(m!
=0);
*n=i;
{intx,r0;
/*r0为进制基数*/
inti,n;
/*n中存放生成序列的元素个数*/
chara[50];
r0);
0&
r0>
=2&
r0<
=16)
{tran(x,r0,a,&
n);
for(i=n-1;
i>
=0;
i--)printf("
%c"
printf("
elseexit(0);
(2)其他进制数转换为十进制数
其他进制整数转换为十进制整数的要领是:
“按权展开”,例如,有二进制
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