∴为第二象限角或第四象限角.
又=-sin,
∴sin<0,故为第四象限角.
【答案】 D
7.在△ABC中,=a,=b,且=,则=( )
A.a-bB.a+b
C.a-bD.a+b
【解析】 因为=,
所以-=(-),
即=+,
亦即=+=a+b.
【答案】 B
8.已知ω>0,0<φ<π,直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴,则φ=( )
A.B.
C.D.
【解析】 由题意可知函数f(x)的周期T=2×=2π,故ω=1,
所以f(x)=sin(x+φ),
令x+φ=kπ+,将x=代入可得φ=kπ+,
因为0<φ<π,所以φ=.
【答案】 A
9.设O,A,B,M为平面上四点,=λ+(1-λ),λ∈(0,1),则( )
A.点M在线段AB上
B.点B在线段AM上
C.点A在线段BM上
D.O,A,B,M四点共线
【解析】 因为=λ+(1-λ),
所以-=λ(-),
即=λ.
又0<λ<1,
所以点M在线段AB上.
【答案】 A
10.已知A,B,C是△ABC的三个内角,设f(B)=4sinB·cos2+cos2B,若f(B)-m<2恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.m<1B.m>-3
C.m<3D.m>1
【解析】 f(B)=4sinB·cos2+cos2B
=4sinB·+cos2B
=2sinB(1+sinB)+(1-2sin2B)
=2sinB+1.
∵f(B)-m<2恒成立,即m>2sinB-1恒成立.
∵0
∴-1<2sinB-1≤1,故m>1.
【答案】 D
11.在△ABC中(+)·=0,则△ABC一定是( )
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形D.直角三角形
【解析】 由已知得:
(+)·(-)=0,∴-=0,∴||=||,即AC=AB,△ABC为等腰三角形.
【答案】 B
12.在平面上,1⊥2,||=|2|=1,=1+2.若||<,则||的取值范围是( )
A.B.
C.D.
【解析】 ∵⊥,∴·=(-)·(-)=·-·-·+2=0,
∴·-·-·=-.
∵=+
∴-=-+-,
∴=+-.
∵||=||=1,
∴=1+1++2(·-·-·)
=2++2(-)=2-.
∵||<,∴0≤||2<,
∴0≤2-<,
∴<≤2,即||∈.
【答案】 D
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)
13.y=Asin(ωx+φ)的图像的一段如图1所示,它的解析式是.
图1
【解析】 由图像可知A=,
T=2×=π,
∴ω===2,
∴y=sin(2x+φ),代入点,
得sin=1,∴φ=π,
∴y=sin.
【答案】 y=sin
14.设sin2α=-sinα,α∈,则tan2α的值是.
【导学号:
66470079】
【解析】 ∵sin2α=-sinα,∴2sinαcosα=-sinα.
∵α∈,sinα≠0,∴cosα=-.
又∵α∈,∴α=π,
∴tan2α=tanπ=tan=tan=.
【答案】
15.设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=.
【解析】 y=sinx-2cosx=,
设=cosα,=sinα,
则y=(sinxcosα-cosxsinα)=sin(x-α).
∵x∈R∴x-α∈R,∴ymax=.
又∵x=θ时,f(x)取得最大值,
∴f(θ)=sinθ-2cosθ=.
又sin2θ+cos2θ=1,
∴即cosθ=-.
【答案】 -
16.给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为120°,如图2,点C在以O为圆心的圆弧上变动,若=x+y,其中x,y∈R,则x+y的最大值是.
图2
【解析】 建立如图所示的坐标系,则A(1,0),B(cos120°,sin120°),即B.
设∠AOC=α,则=(cosα,sinα).
∵=x+y=(x,0)+=(cosα,sinα),
∴∴
∴x+y=sinα+cosα=2sin(α+30°).
∵0°≤α≤120°,
∴30°≤α+30°≤150°.
∴当α=60°时,x+y有最大值2.
【答案】 2
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=2cosωx(ω>0),且函数y=f(x)的图像的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值;
(2)将函数y=f(x)的图像向右平移个单位后,再将得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图像,求g(x)的单调递减区间.
【解】
(1)∵f(x)的周期T=π,
故=π,∴ω=2.
∴f(x)=2cos2x,∴f=2cos=.
(2)将y=f(x)的图像向右平移个单位后,得到y=f的图像,再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,
得到y=f的图像,
所以g(x)=f
=2cos=2cos.
当2kπ≤-≤2kπ+π(k∈Z),
即4kπ+≤x≤4kπ+(k∈Z)时,g(x)单调递减,
因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z).
18.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,A(1,2),B(-3,4).
(1)求向量的坐标及||;
(2)求向量与的夹角的余弦值.
【解】
(1)因为A(1,2),B(-3,4),所以=-=
(-3,4)-(1,2)=(-4,2),
所以||==2.
(2)设与的夹角为θ.
因为·=5,||=,||=5,
所以cosθ===.
19.(本小题满分12分)已知向量a=(3sinα,cosα),b=(2sinα,5sinα-4cosα),α∈,且a⊥b.
(1)求tanα的值;
(2)求cos的值.
【导学号:
69992043】
【解】
(1)∵a⊥b,∴a·b=0.
而a=(3sinα,cosα),b=(2sinα,5sinα-4cosα),
故a·b=6sin2α+5sinαcosα-4cos2α=0.
由于cosα≠0,∴6tan2α+5tanα-4=0,
解得tanα=-或tanα=.
∵α∈,tanα<0,
∴tanα=-.
(2)∵α∈,∴∈.
由tanα=-,求得tan=-或tan=2(舍去).
由
∴sin=,cos=-,
cos=coscos-sinsin=-×-×=-.
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图像如图3所示.
图3
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数g(x)=f-f的单调递增区间.
【解】
(1)由题设图像知,周期T=2=π,
所以ω==2.
因为点在函数图像上,
所以Asin=0,
即sin=0.
又因为0<φ<,
所以<+φ<.
从而+φ=π,即φ=.
又点(0,1)在函数图像上,所以Asin=1,解得A=2.
故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin.
(2)g(x)=2sin
-2sin
=2sin2x-2sin
=2sin2x-2
=sin2x-cos2x
=2sin.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
所以函数g(x)的单调递增区间是,k∈Z.
21.(本小题满分12分)如图4,矩形ABCD的长AD=2,宽AB=1,A,D两点分别在x,y轴的正半轴上移动,B,C两点在第一象限,求OB2的最大值.
图4
【解】 过点B作BH⊥OA,垂足为H.
设∠OAD=θ,则∠BAH=-θ,OA=2cosθ,BH=sin=cosθ,
AH=cos=sinθ,
所以B(2cosθ+sinθ,cosθ),
OB2=(2cosθ+sinθ)2+cos2θ
=7+6cos2θ+2sin2θ=7+4sin.
由0<θ<,知<2θ+<,
所以当θ=时,OB2取得最大值7+4.
22.已知f(x)=x+(1-x).
(1)求证:
1≤f(x)≤;
(2)确定f(x)的单调区间.
【解】 令x=sin2θ,θ∈,则f(x)=sinθ+cosθ=sin
(1)证明:
①由θ∈知,θ+∈,得sin∈,故值域为[1,],即1≤f(x)≤.
(2)由正弦函数的单调性可知,当θ+∈,即x∈时,f(x)单调递增;当θ+∈,即x∈时,f(x)单调递减.