学年浙江省杭州市第二中学高一尖子班上学期开学考数学试题解析版Word下载.docx
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说明/(X)在[0∙2]上不单调,排除B.
因为/(→)=→∙22-,-λ,=-X•22-ivl=-f(x),所以F(X)为奇函数,其图象关于原点对
称,排除C、D,
因为∕d)=∕
(2)=2,所以F(X)在[0,2]上不单调,排除3,
A
本题考査了函数图象的识别,考查了函数的奇偶性和单调性,属于基础题.
7.已知不等式iιx2+bx+c>
O的解集是(—3,2),则不等式cx2+bx+a>
0的解集是
()
A.(—2,3)B.(Yo2)U(3,+°
o)
【解析】根据已知不等式的解集利用韦达左理得到方、C与"
的关系,代入所求不等式
求岀解集即可•
由不等式Cix1+b.x+c>
0的解集是(一3,2)可知,a<
0,且方程Or2+bx+c=O的两个根分别为-3,2.
bC
由韦达定理可得:
—=1,—=-6,
aU
代入所求不等式得:
-6<
α2+tu+t∕>
化简得:
6x2-X-I>
0,:
即(3x+l)(2x-1)>
O,
解得x<
-*或X>
g
本题主要考查了一元二次不等式的解法,利用了转化的思想,确定岀“,kC的关系是解本题的关键,属于中档题.
&
己知关于X的方程F+ατ+∕eO(GjW/?
)在[0,1]上有实数根,且
-4≤2a+b<
-2f贝!
jα+2Λ的最大值为()
A.-1B.0C.丄D.1
2
【解析】由题意可转化为函数f(x)=-x2与g(x)=αr+"
在xw[0,l]上的图象有交点,再根据a+2b=2g^)t转化为求g(*)的最大值问题,数形结合即可求解.
关于A-的方程x1+cιx+b=O(CMWR)住[0,1]上有实数根,
即函数/(x)=-F与g(x)=αx+b在xw[0,l]上的图象有交点,作出函数/(x),g(x)
所以Y≤g
(2)=2α+b≤-2,
又a+2b=2(-a+b)=2g(丄),
22
数形结合可知当S(X)经过点(2,T且与y=f(x)图象交于(1,-1)时,g(*)有最大
值,
此时g
(2)=2a+b=-4,g(l)="
+b=-l,
联立可解得a=-∖b=2,
所以g(x)=-3x+2,
13
此时2g(—)=2(—+2)=1最大,
22
即a+2b的最大值为1,
本题主要考查方程的根,函数的图象和性质,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想,属于难题.
9.设集合s,TtStT中至少有2个元素,且S,T满足:
①对于任意的x,)<
S,若
XH〉'
,贝[jΛ+y∈T.②对于任意的X,yw7∖若XVy,贝IJy-XWS.若S有3个元素,
则卩可能有()
A.2个元素B.3个元素C.4个元素D.5个元素
【解析】S有3个元素,不妨设S={αbc},英中a<
b<
c,根据性质①②可得出T中
有且只有3个元素.
若S有3个元素,不妨设S={"
b,c},英中a<
c,
由①知,则必有-VI=a+b,x2=a+cyx3=b+ceT
由②知,x2-X1=c-beS,x3-x2=b-aeS,x3-xi=C-U∈S,
显然有c-a>
b-a>
O,c-a>
c-b>
O,
(1)若C-U=Ct则α=0,此时T中有元素b.c,则c-b=b,c=2b符合,
此时了中有3个元素:
(2)若C-Cl=b,则有c-b=b-a=a,即C=3"
*=2。
,
此时T={3α,4rt,5d}中有3个元素,
综上7中有3个元素•
本题主要考查了集合中新立义,考查了推理分析问题的能力,属于中档题•
二、多选题
10.已知函数/⑴七:
;
HVo.若/也)=心)"
3)=门兀)且
耐>
x2>
x3>
x4f则下列结论正确的有()
C.X1X2X3X4≥1
D.O<
A1X2X3X4<
1
【答案】BD
【解析】作出函数图象,根据数形结合,结合均值不等式,不等式的性质,即可求解.
的图象,
作岀函数/(x)=<
∣Iog2x∖,x>
Q-Iog2∣x+l∣,x≤0
由数形结合可得:
昴>
x2>
O>
X3>
七且內尤2V3+x4=一2,
所以X1+Λ⅛>
2λ∕JqXr=2,故x1+x2+x3+x4>
2-2=Of又2=-X3+(-q)>
2j-%3x(-兀4)zz>
O<
X3X4<
1,所以O<
舛兀2兀兀<
1,
BD
本题主要考查了分段函数的图象,对数函数的图象,考查了均值不等式,不等式的性质,属于中档题.
3.双空题
11.已知T=5λ=10,贝U4Y=
【答案诘
【解析】利用对数运算,结合指数幕和对数式的转化,即可容易求得两个结果.
因为2“=10,故可得«
=Iog210:
因为5〃=10.故可得^=IOg5IOt
JjIlJ4Y=4"
logjI)=2嗦硕=——•
、]0°
・
则-÷
7=IoglU2+IOgIO5=IOglolO=Lah
故答案为:
希;
L
本题考査对数的运算,属基础题.
4.填空题
12.已知函数/(λ∙)=是奇函数,则/(加)=
2+nι
【答案】*或-3
【解析】根据函数是奇函数的泄义可求出m=∖,即可求解.
是奇函数可知•
当Hl=1时,f(X)=,
Vf2r+l
所以/(/«
)=/
(1)=1,
当〃7=_1时,/(X)=—,/H=/(-1)=-3
2"
—1
+或-3
本题主要考查了奇函数的立义,根据解析式求函数值,属于中档题.
4Cl
13.设正实数Jb满足:
a+b=∖9则—+〒的最小值为J
ab
【答案】8
【解析】根据a+b=∖9-+y可化为-+y=4G/+/?
)+y>化简后利用均值不等式
ababab
求解即可.
因为正实数a,方满足:
a+b=∖.
当且仅当-=γ时,即0=;
小=]时等号成立,
ab33
4CI所以工+上的最小值为8,
8
【点睛】本题主要考查了均值不等式的应用,考查了“L的变形,属于中档题.
14.若对任意的x∈[l,5],不等式2Sx+^+bS5恒成立,贝加―〃的最大值是
【答案】4+4√3
【解析】令/(x)=λ-+-+^x∈[1,5],讨论α的取值范围,确泄函数的单调性,根据X
单调性确泄函数的最大值与最小值,使/(4llin≥2且f(X)max<
5恒成立,进而确定d的取值范羽以及/?
的取值范用,即求.
令/(λ)=λ÷
-+/?
%€[1,5]
X
I.当“so时,函数y^(χ)显然单调递增,
所以MLlT+a+"
,/(XLX=5+尹儿
a+b≥lU
fa5
UnI—a≤b≤—=>
a≥-9
-+b<
054
5
Λ+a+b≥2
由题意可得(Va…
∖5+-+b≤5
I5
这与“SO矛盾,故舍去:
II,当d>
0时,/(λ)=x+-+Z?
在(0,、/7)单调递减,[jN+s)单调递增,
1•当λ>
25时,即&
^>
5,所以y(x)maχ=∕(l)=l+α+b,∕ωmin=∕(5)=5÷
→^
这与a>
25矛盾(舍去)
2.当1≤π<
25时,RP1≤√7≤5,
所以f(x)max=max{∕(l)J(5)}=max{l+d+b,5+w+"
卜
/(叽n=∕(需)=2需+»
2∖∕a+b≥2b≥2-Iyla
a.当5<
a<
25时,此时4-αv-∙∣∙,
所以2-2∖fa≤Z?
≤4—d=>
2-2∖[a≤4-6/
=≠>
0≤√^≤λ^+1=>
0≤6∕≤4+2√3,故5vcS4+2√L
Ilrlj2a-4≤a-b≤a+2∖∣a-2,故α-"
Sα+2需-2S4+4苗,
b.当l≤α≤5时,此时4一"
》—上,所以2-2>
A7≤Z7≤--=>
2-2√J≤--
≡≠>
5-√15≤√^≤5+√15=>
40-10√15≤t∕≤40+10√15,
故40-10√Γ^K5,
≤a-b≤a+2∖∕a-2,
故G—b≤“+2,∙∖∕u—2≤3+2y∕5・
3.当0VdV1时,即0vJ7vl,所以/(x)≡1T+d+b,/(x)maχ=5÷
∣÷
z,>
由题意可得
∖+a+b≥2
5+-+^b≤5^
a+b≥∖
这与0VdV1矛盾,
综上所述:
a-b≤4+4∖∕^・
4+4
本题考査了对勾函数的单调性、利用单调性求函数的最值,考査了分类讨论的思想,属
于难题.
15.已知集合A=(YO,1]U(3,+oo),B=[m,m+2].
(1)若m=2,求(CRA)CB;
(2)若“x∈A”是“xwB”的必要不充分条件,求川的取值范围.
【答案】
(1)[2,3]
(2)γ,T53,+oo)
【解析】
(1)根据集合的交集、补集运算即可求解:
(2)由题意知βgA,结合数轴建立不等式求解即可.
(1)m=2时,B=[2,4],
∙.∙C/=(1,3],
/.(W)C3=[2,3]
(2)因为“x∈A”是““B”的必要不充分条件,
所以A,
故m+2≤1或m>
3,
解得mS-I或〃?
>
3
故加的取值范围为(一s,-l]53,u)
本题主要考查了集合的交集、补集运算,集合的真子集,必要不充分条件,属于中档题.
五、解答题
16.人类已经进入大数据时代.目前,数据量已经从TB(ITB=Io24GB)级别跃升到PB
(IPB=Io24TB),EB(IEB=IO24TB)乃至ZB(17B=1024EB)级别.国际数据公司(7De)
的研究结果表明,全球产生的数据量为:
年份
2008
2009
2010
2011
•••
X(单位:
年)
O
3
数据量(单位:
ZB)
0.49
0.8
1.2
L82
为了较好地描述2008年起全球产生的数据量与时间X(单位:
年)的关系,根据上述数据信息,选择函数f(x)=kx+b^g(X)=max(α>
0,α≠l)进行拟合研究.
(1)国际数据公司(/Df)预测2020年全球数据量将达到80.0ZB,你认为依据哪一个函数拟合更为合理;
(2)设我国2020年的数据量为cZB,根据拟合函数,请你估计我国的数据量达到
IOOeZB约需要多少年?
参考数据:
1.53K)Q70.29,1.53UIo7.55,1.53,2≈164.55,1.53°
«
251.76-
(1)依据函数g(x)="
7∕(d>
0,a≠∖)拟合更为合理;
(2)约需要11年.
(1)设2008,2009,2010,2011,…,2020年分别对应第1年,第2年,第3年,第4年,…,第13年,设数据量为y,然后列表,由数据表画出散点图,从而确左所选函数模型;
(2)将数据(1,0.49)和(13,80.0)代入g(χ)=MT中,求得g(x)的表达式,然后根
据题中条件进行计算求得结果即可•
(1)设2008,2009,2010,2011,…,2020年分别对应第1年,第2年,第3年,第
4年,…,第13年,设数据量为y,由已知列表如下:
4
y
1.82
80.0
画岀散点图如下:
012345678910H121314X
由散点图知,5个点在一条曲线上,应选择函数g(x)=maxi
0.49=ma
80.0=mal3
(2)将数据(1,0.49),(13,80.0)代入g(x)=必冲得:
<
解得:
加〜0.32go=。
32χ]53“,
由题意有C=0.32×
1.53b,贝IJlOOC=0.32×
1.53X,
解得x~24,所以我国的数据量达到IoOeZB约需要11年.
本题考査函数模型的应用,考查逻辑思维能力和讣算能力,属于常考题.
(1)若函数y=f(χ)恰有2个零点,求实数α的取值范围;
⑵若f(f(x))≥f(x)f求实数X的取值范围.
(1)(0,4]U(7,+8)
(2)答案见解析
(1)根据分段函数每段上函数的零点,结合零点个数可求出“的取值范羽:
(2)设u=f{x)y当Ii^a时,于("
)="
一7>
u,必无解,当ιι<
a时解得w≥5或w≤0,根据“的范国分类讨论,即可求出不等式的解.
(1)由x-7=0得x=l,
由χ2-4χ=0得X=O或x=4,
若函数y=∕(x)恰有2个零点,则2个零点分别为0,4时,可得“>
7,
若2个零点分别为0,7时,可得0VdW4,
若2个零点分别为4,7时,零点0必然出现,不符合题意
故实数“的取值范伟I为(0,4]∪(7,+od)
(2)设w=∕(λ),当时,f(u)=ιι-7>
ιι,必无解,
当H<
a时,u2-4w≥z∕,w≥5或"
冬0,
情况一:
当XO时,可得u<
il,即/(X)V"
1兀豪"
时,x-7<
t∕,则a^x<
l+a,
2Xv"
时,X2-4x<
a*因为X2-4x>
Ir-4a>
0>
a,无解,
因此实数X的取值范用是"
7+"
)
情况二:
当OWMW4时,可得/∕≤0,即/(λ)≤0,①时,+7W0,则u≤x≤7,
②XV"
时,x2-4x≤0>
则0WXS因此实数λ∙的取值范用是[0,7]
情况三:
当4vx5时,可得"
50,即∕W<
0.
1XNd时,x-7≤0,贝∣Jr∕≤x≤7t
2x<
"
时,χ2-4x≤0.贝IJO≤X≤4,因此实数X的取值范围是[0,4]U[α,7]
情况四:
当“>
5时,可得5Suva或hW0,即5≤∕(xXa或./U)Wo
1时,5≤x-7<
u<
x-7≤0,则12≤x<
7+a或λ≤7,
2X<
a时,5≤x2-4xVa或疋-4x≤0或5≤x<
2+JU+4或2-Ju+4<
x≤-l
或0Q≤4,
因为E+2)」—2)、仏+4)=/-孔>
o,故2+E—,
'
α-2+Jα+4a-2+Ja+4
因此
i.5<
α≤7时,
实数X的取值范围是(2—J市1]50,4卜[5,2+后可2“,7»
12,7+°
),
ii∙当7<
λ<
12时,
实数X的取值范围是(2-√7ΓN,-l]qθ,4]u[5,2+后可u[12,7+"
iii∙当a≥12时,实数X的取值范用是
(2—JCl+4,—1]<
√[0,4]u[5,2+Jd+4)u[α,7+α).
本题主要考查了分段函数的零点,换元法解不等式,分类讨论的思想,考査了运算能力,属于难题.
18.已知函数/(x)=lθgβx(Λ>
0,Λ≠l).
(1)若/(d+4)≤∕(3d),求实数4的取值范围;
⑵设α=2,函数^(^)=-∕2(^)+(3-2w)∕(x)+∕7z+2(0<
w≤1).
(0若xe[l,2"
],证明:
g(χ)≤*;
【答案](i)0<
dvl或αn2
(2)(i)证明见解析(“)/?
(加)=<
(1)对底数α分类讨论,根据对数函数的单调性可解得结果;
(2)(i)若xe[l,2"
],则/(λ)∈[0,∕h],令/=∕(x),则0<
t<
nι,所以
L—∙9
),=一/一上却!
+∕√-2∕n+->
0≤t≤m9根据对称轴与区间[0,加]的中点值之L2」4
间的关系求出最大值,对最大值配方可证不等式成立;
(”)若Xep2,则/(x)∈[-l,l],令t=f(x),则([—1,1],所以
+m2-2m+—,分类讨论对称轴可得0(/)
的最值,比较最值的绝对值与端点值的绝对值的大小可得结果.
Z、ZXfo<
«
1
(1)当0VdV1时,/(X)为递减函数,f(d+4)≤∕(3d)等价于{VC,解得
77a+4≥3a
OVdV1,
当“>
1时,/(刃为递增函数,f(a+4)≤f(3a)等价于\a>
\C,解得a≥2,
7a+4≤3a
■
0<
a<
i^a≥2・
(2)因为(1=2、所以fM=∣og2为增函数,
⑺若Λ-∈[l,2zυ],则/(x)e[0,也],令t=/(λ),贝∣Jθ≤∕≤w.
3-2m
当OS-~~—≤m,即』SmSI时,ymax=InI一2nι+—=(m-I)2+—<
—,
24443
32〃?
当■_»
耐,即0<
也<
已时,当/=加时,
24
所以g(x)s亍
("
)若XW1,2,则/(x)∈[-l,l],令t=f(x),则re[-l,l],
■βι2
所以g(x)=φ(t)=-t-^-^lU+nr-2nι+—»
∕e[-l,l],
因为O<
加51,所以丄S上凹V』,
222
当l≤2Ξlr!
2<
ι,即丄≤∏7<
1∣⅛,0(—1)二3加_2引一丄,1],丨0(—1)曰0,1],
2222
0
(1)=4-也>
0,φ(―)=∕w2-2m+——e[―,-],此时Ig(X)I=I©
(/)1的最大
π[7
值为〃2'
-2m+—,
当H>
1,即0VmV—时,0⑴在[一1,1]上单调递增,
0('
)min=0(一1)=伽一2∈(-2,-1),I0(∕)mitl∣=∣0(-1)∣∈(|,2),
^(OmaX=0
(1)=4-We(∣,4).
所以此时Ig(X)I=I卩⑴I的最大值为4—加,
4一”OV加V-
h(m)=lπj
nΓ一2/7/+—.-≤nι<
∖
42
本题考査了利用对数函数的单调性解不等式,考査了分类讨论求二次函数在闭区间上的
最值,考查了换元法,正确分类并利用二次函数的图象是解题关键,属于难题•
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