中考数学复习压轴题突破因动点产生的平行四边形问题.docx
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中考数学复习压轴题突破因动点产生的平行四边形问题
九道压轴题突破因动点产生的平行四边形问题
问题导入:
1.已知A、B、C三点,以A、B、C、D为顶点的平行四边形有几个,怎么画?
2.在坐标平面内,如何理解平行四边形ABCD的对边AB与DC平行且相等?
3.在坐标平面内,如何理解平行四边形ABCD的对角线互相平分?
图1图2图3
如图1,过△ABC的每个顶点画对边的平行线,三条直线两两相交,产生三个点D.
如图2,已知A(0,3),B(-2,0),C(3,1),如果四边形ABCD是平行四边形,怎样求点D的坐标呢?
点B先向右平移2个单位,再向上平移3个单位与点A重合,因为BA与CD平行且相等,所以点C(3,1)先向右平移2个单位,再向上平移3个单位得到点D(5,4).
如图3,如果平行四边形ABCD的对角线交于点G,那么过点G画任意一条直线(一般与坐标轴垂直),点A、C到这条直线的距离相等,点B、D到这条直线的距离相等.
关系式xA+xC=xB+xD和yA+yC=yB+yD有时候用起来很方便.
我们再来说说压轴题常常要用到的数形结合.
图4
如图4,点A是抛物线y=-x2+2x+3在x轴上方的一个动点,AB⊥x轴于点B,线段AB交直线y=x-1于点C,那么点A的坐标可以表示为(x,-x2+2x+3),点C的坐标可以表示为(x,x-1).
线段AB的长可以用点A的纵坐标表示为
AB=yA=-x2+2x+3,
线段AC的长可以用A、C两点的纵坐标表示为
AC=yA-yC=-x2+2x+3-(x-1)=-x2+x+4.
通俗地说,数形结合就是:
点在图象上,可以用图象的解析式表示点的坐标,用点的坐标表示点到坐标轴的距离.
练习反馈:
1.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(2,9),与y轴交于点A(0,5),与x轴交于点E、B.
(1)求二次函数y=ax2+bx+c的表达式;
(2)过点A作AC平行于x轴,交抛物线于点C,点P为抛物线上的一点(点P在AC上方),作PD平行于y轴交AB于点D,问当点P在何位置时,四边形APCD的面积最大?
并求出最大面积;
(3)若点M在抛物线上,点N在其对称轴上,使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形,且AE为其一边,求点M、N的坐标.
思路:
1.设抛物线的顶点式比较简便.
2.四边形APCD的对角线互相垂直,面积等于对角线积的一半.
3.因为AE与MN平行且相等,所以M、N两点间的水平距离、竖直距离与A、E两点间的水平距离、竖直距离分别相等.
2.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2-2x+m(m>0)的对称轴与比例系数为5的反比例函数图象交于点A,与x轴交于点B,抛物线的图象与y轴交于点C,且OC=3OB.
(1)求点A的坐标;
(2)求直线AC的表达式;
(3)点E是直线AC上一动点,点F在x轴上方的平面内,且使以A、B、E、F为顶点的四边形是菱形,直接写出点F的坐标.
思路:
1.从待定系数的二次函数的解析式中可以得到抛物线的对称轴是直线x=1,然后这道题目和抛物线没有什么关系了.
2.第(3)题以AB为分类标准,分两种情况讨论菱形.两种情况的菱形都可以画出准确的示意图.
3.如图,在平面直角坐标系中,抛物线C:
y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点,顶点为D(0,4),AB=4.设点F(m,0)是x轴正半轴上一点,将抛物线C绕点F旋转180°,得抛物线C'.
(1)求抛物线C的函数表达式;
(2)若抛物线C'与抛物线C在y轴右侧有两个不同的公共点,求m的取值范围;
(3)如图2,P是第一象限内抛物线C上一点,它到两坐标轴的距离相等,点P在抛物线C'上的对应点为P'.设M是C上的动点,N是C'上的动点,试探究四边形PMP'N能否成为正方形?
若能,求出m的值;若不能,请说明理由.
图1图2
思路:
1.用m表示抛物线C'的顶点坐标,设抛物线C'的顶点式.
2.抛物线C'与抛物线C在y轴右侧有两个不同的公共点,一个临界时刻是抛物线C'经过点D,另一个临界时刻是B、F重合.
3.第(3)题:
先构造正方形,用m表示点M的坐标,再把点M代入抛物线C的解析式求解m的值.
4.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+1交y轴于点A,交x轴正半轴于点B(4,0),与过点A的直线相交于另一个点D,𝟑,,𝟓-𝟐..,过点D作DC⊥x轴,垂足为C.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点P在线段OC上(不与点O、C重合),过点P作PN⊥x轴,交直线AD于点M,交抛物线于点N,连结CM,求△PCM面积的最大值;
(3)若点P是x轴正半轴上一动点,设OP的长为t,是否存在t,使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
思路:
1.点N、M、P的横坐标都用t表示,点N、M的纵坐标分别用抛物线和直线AD的解析式表示.
2.第
(2)题先求S△PCM关于t的二次函数,再求这个二次函数的最大值.
3.第(3)题根据NM与DC相等列方程,分两种情况:
N在M上方,M在N上方.
5.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3).点M、N为抛物线上的动点,过点M作MD∥y轴,交直线BC于点D,交x轴于点E.
(1)求二次函数的表达式;
(2)过点N作NF⊥x轴,垂足为点F,若四边形MNFE为正方形(此处限定点M在对称轴的右侧),求该正方形的面积;
(3)若∠DMN=90°,MD=MN,求点M的横坐标.
图1备用图
思路:
1.设MN与抛物线的对称轴交于点H,那么MN=2MH.因此ME、MN的长就可以用点M的坐标表示了.
2.第(3)题中MN=MD,点M与D、N的位置关系存在四种情况.
6.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-2x-3交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧),将该抛物线位于x轴上方曲线记作M,将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折,翻折后所得曲线记作N,曲线N交y轴于点C,连结AC、BC.
(1)求曲线N所在抛物线相应的函数表达式;
(2)求△ABC外接圆的半径;
(3)点P为曲线M或曲线N上的一个动点,点Q为x轴上的一个动点,若以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求点Q的坐标.
思路:
1.翻折以后的抛物线与x轴的交点不变,开口方向改变了,可以直接写出交点式.
2.观察△ABC的三个顶点,发现AB边和BC边的垂直平分线都是特殊的直线,这两条直线的交点就是△ABC外接圆的圆心.
3.第(3)题的平行四边形,以BC为分类标准,按照边或者对角线分两种情况讨论.
7.如图,已知一个直角三角形纸片ACB,其中∠ACB=90°,AC=4,BC=3,E、F分别是AC、AB边上点,连接EF.
(1)图①,若将纸片ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在AB边上的点D处,且使S四边形ECBF=3S△EDF,求AE的长;
(2)如图②,若将纸片ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在BC边上的点M处,且使MF∥CA.
①试判断四边形AEMF的形状,并证明你的结论;
②求EF的长;
(3)如图③,若FE的延长线与BC的延长线交于点N,CN=1,CE=,求的值.
思路:
1.先利用折叠的性质得到EF⊥AB,△AEF≌△DEF,则S△AEF≌S△DEF,则易得S△ABC=4S△AEF,再证明Rt△AEF∽Rt△ABC,然后根据相似三角形的性质得到=()2,再利用勾股定理求出AB即可得到AE的长;
2.①通过证明四条边相等判断四边形AEMF为菱形;
②连结AM交EF于点O,如图②,设AE=x,则EM=x,CE=4﹣x,先证明△CME∽△CBA得到==,解出x后计算出CM=,再利用勾股定理计算出AM,然后根据菱形的面积公式计算EF;
3.如图③,作FH⊥BC于H,先证明△NCE∽△NFH,利用相似比得到FH:
NH=4:
7,设FH=4x,NH=7x,则CH=7x﹣1,BH=3﹣(7x﹣1)=4﹣7x,再证明△BFH∽△BAC,利用相似比可计算出x=,则可计算出FH和BH,接着利用勾股定理计算出BF,从而得到AF的长,于是可计算出的值.
8.如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点,其中点A(0,1),点B(﹣9,10),AC∥x轴,点P时直线AC下方抛物线上的动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F,当四边形AECP的面积最大时,求点P的坐标;
思路:
1.用待定系数法求出抛物线解析式即可;
2.设点P(m,m2+2m+1),表示出PE=﹣m2﹣3m,再用S四边形AECP=S△AEC+S△APC=AC×PE,建立函数关系式,求出极值即可;
9.如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,B点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,﹣3)
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P在抛物线位于第四象限的部分上运动,当四边形ABPC的面积最大时,求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积.
思路:
1.由B、C两点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线的解析式;
2.连接BC,则△ABC的面积是不变的,过P作PM∥y轴,交BC于点M,设出P点坐标,可表示出PM的长,可知当PM取最大值时△PBC的面积最大,利用二次函数的性质可求得P点的坐标及四边形ABPC的最大面积;
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