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新浙教九年级上册知识点
九年级上册
第1章二次函数
一、二次函数概念:
1.二次函数的概念:
一般地,形如(是常数,)的函数,叫做二次函数。
这里需要强调:
和一元二次方程类似,二次项系数,而可以为零.二次函数的定义域是全体实数.
2.二次函数的结构特征:
⑴等号左边是函数,右边是关于自变量的二次式,的最高次数是2.
⑵是常数,是二次项系数,是一次项系数,是常数项.
二、二次函数的基本形式
1.二次函数基本形式:
的性质:
a的绝对值越大,抛物线的开口越小。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.
向下
轴
时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.
2.的性质:
上加下减。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.
向下
轴
时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.
3.的性质:
左加右减。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.
向下
X=h
时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.
4.的性质:
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.
向下
X=h
时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.
三、二次函数图象的平移
1.平移步骤:
方法一⑴将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标;
⑵保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下:
2.平移规律
在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”.
概括成八个字“左加右减,上加下减”.
方法二:
⑴沿轴平移:
向上(下)平移个单位,变成
(或)
⑵沿轴平移:
向左(右)平移个单位,变成(或)
四、二次函数与的比较
从解析式上看,与是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即,其中.
五、二次函数图象的画法
五点绘图法:
利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:
顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点,(若与轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).
画草图时应抓住以下几点:
开口方向,对称轴,顶点,与轴的交点,与轴的交点.
六、二次函数的性质
1.当时,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为.
当时,随的增大而减小;当时,随的增大而增大;当时,有最小值.
2.当时,抛物线开口向下,对称轴为,顶点坐标为.当时,随的增大而增大;当时,随的增大而减小;当时,有最大值.
七、二次函数解析式的表示方法
1.一般式:
(,,为常数,);
2.顶点式:
(,,为常数,);
3.两根式:
(,,是抛物线与轴两交点的横坐标).
注意:
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.二次项系数
二次函数中,作为二次项系数,显然.
⑴当时,抛物线开口向上,的值越大,开口越小,反之的值越小,开口越大;
⑵当时,抛物线开口向下,的值越小,开口越小,反之的值越大,开口越大.
总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小.
2.一次项系数
在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴.
⑴在的前提下,
当时,,即抛物线的对称轴在轴左侧;
当时,,即抛物线的对称轴就是轴;
当时,,即抛物线对称轴在轴的右侧.
⑵在的前提下,结论刚好与上述相反,即
当时,,即抛物线的对称轴在轴右侧;
当时,,即抛物线的对称轴就是轴;
当时,,即抛物线对称轴在轴的左侧.
总结起来,在确定的前提下,决定了抛物线对称轴的位置.
的符号的判定:
对称轴在轴左边则,在轴的右侧则,概括的说就是“左同右异”
3.常数项
⑴当时,抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正;
⑵当时,抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为;
⑶当时,抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负.
总结起来,决定了抛物线与轴交点的位置.
总之,只要都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.
二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:
1.已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
2.已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;
3.已知抛物线与轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;
4.已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.
九、二次函数与一元二次方程:
1.二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与轴交点情况):
一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.
图象与轴的交点个数:
①当时,图象与轴交于两点,其中的是一元二次方程的两根.这两点间的距离.
②当时,图象与轴只有一个交点;
③当时,图象与轴没有交点.
当时,图象落在轴的上方,无论为任何实数,都有;
当时,图象落在轴的下方,无论为任何实数,都有.
2.抛物线的图象与轴一定相交,交点坐标为,;
3.二次函数常用解题方法总结:
⑴求二次函数的图象与轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;
⑵求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;
⑶根据图象的位置判断二次函数中,,的符号,或由二次函数中,,的符号判断图象的位置,要数形结合;
⑷二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.
抛物线与轴有两个交点
二次三项式的值可正、可零、可负
一元二次方程有两个不相等实根
抛物线与轴只有一个交点
二次三项式的值为非负
一元二次方程有两个相等的实数根
抛物线与轴无交点
二次三项式的值恒为正
一元二次方程无实数根.
⑸与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式本身就是所含字母的二次函数;下面以时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:
第2章简单事件的概率
一、可能性
1、必然事件:
有些事件我们能确定它一定会发生,这些事件称为必然事件.
2、不可能事件:
有些事件我们能肯定它一定不会发生,这些事件称为不可能事件.
3、确定事件:
必然事件和不可能事件都是确定的。
4、不确定事件:
有很多事件我们无法肯定它会不会发生,这些事件称为不确定事件。
5、一般来说,不确定事件发生的可能性是有大小的。
二、简单事件的概率
1、概率的意义:
表示一个事件发生的可能性大小的这个数叫做该事件的概率。
2、必然事件发生的概率为1,记作P(必然事件)=1,不可能事件发生的概率为0,记作P(不可能事件)=0,如果A为不确定事件,那么0
3、一步试验事件发生的概率的计算公式:
(n为该事件所有等可能出现的结果数,k为事件包含的结果数)。
两步试验事件发生的概率的计算有两种方法(列表法和画树状图)
三、用频率估计概率:
1.对于任何一个随机事件都有一个固定的概率客观存在。
2.有些随机事件不可能用树状图和列表法求其发生的概率,只能通过试验、统计的方法估计其发生的概率。
3.对随机事件做大量试验时,根据重复试验的特征,我们确定概率时应当注意几点:
(1)做实验时应当在相同条件下进行;
(2)实验的次数要足够多,不能太少;
(3)把每一次实验的结果准确,实时的做好记录;
(4)分阶段分别从第一次起计算事件发生的频率,并把这些频率用折线统计图直观的表示出来;观察分析统计图,找出频率变化的逐渐稳定值,并用这个稳定值估计事件发生的概率,这种估计概率的方法的优点是直观,缺点是估计值必须在实验后才能得到,无法事件预测。
注意:
事件发生的概率是一个确定的值,而频率是不确定的。
当实验次数增大时,频率的大小波动变小,逐渐稳定在概率附近,此时它会非常接近概率,但不一定相等。
四、概率综合运用:
概率可以和很多知识综合命题,主要涉及平面图形、统计图、平均数、中位数、众数、函数等。
常见考法
(1)判断游戏公平:
游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。
这类问题有两类一类是计算游戏双方的获胜理论概率,另一类是计算游戏双方的理论得分;
(2)命题者经常以摸球、抛硬币、转转盘、抽扑克这些既熟悉又感兴趣的事为载体,设计问题。
进行摸球、抽卡片等实验时,没有注意“有序”还是“无序”、“有放回”还是“无放回”故造成求解错误。
第3章圆的基本性质
【本章知识框架】
圆基本元素:
圆的定义,圆心,半径,弧,弦,弦心距
的垂径定理
认对称性:
旋转不变性,轴对称,中心对称(强)
识圆心角、弧、弦、弦心距的关系
与圆有关的角:
圆心角,圆周角
弧长,扇形的面积,弓形的面积,及组合的几何图形
圆中的有关计算:
圆锥的侧面积、全面积
一、圆的概念
1、圆的定义:
线段OA绕着它的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的封闭曲线,叫做圆.点O叫做圆心,线段OP叫做半径。
2、弧:
圆上任意两点间部分叫做圆弧,简称弧。
优弧、劣弧以及表示方法。
3、弦,弦心距,圆心角,圆周角,
4、判定一个点P是否在⊙O上.
设⊙O的半径为R,OP=d,则有:
d>r?
点P在⊙O外;
d=r?
点P在⊙O上;
d 点P在⊙O内。 5、三角形的外接圆,外心 三角形的外心: 是三角形三边垂直平分线的交点,它是三角形外接圆的圆心。 知识点: 锐角三角形外心在三角形内部,直角三角形的外心是斜边中点,钝角三角形外心在三角形外部。 三角形外心到三角形三个顶点的距离相等。 相关知识: 三角形重心,是三角形三边中线的交点,在三角形内部。 二、圆的性质 1、旋转不变性: 圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合; 2、圆是中心对称图形,对称中心是圆心. 性质: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两个弦心距中有一对量相等,那么它们所对应的其余各对量也分别相等。 3、轴对称: 圆是轴对称图形,经过圆心的任一直线都是它的对称轴. 垂径定理——垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧 垂径定理的推论 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 ④在同圆或等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 即: ①是直径②③④弧弧 ⑤弧弧中,任意2个条件推出其他3个结论。 推论2: 圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即: 在⊙中,∵∥ ∴弧弧 4、与圆有关的角 ⑴圆心角: 顶点在圆心的角叫圆心角。 圆心角的性质: 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 ⑵圆周角: 顶点在圆上,两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角的性质: ①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. ②同弧或等弧所对的圆周角相
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