泰勒公式及其应用典型例题文档格式.docx
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一、【求解问题一】
问题一的求解就是确定多项式的系数口D,口1,…*%。
次有■J+仃1S-工u)斗占L)'
+…+&
方-%)日
•■勾=入(勺)
P;
(K)=及"
*(应・^0)+3^0-立淀4…+^aK(x-z0)M'
}
二^1=P;
(x0)
PZfx)=2L%+32%3一利)+43/(上一沔沪+…+为伽一1)冬•知广’
二2・y=p;
(Q
或@)=321%+432龟&
-毛)+543%Q-母)'
+…+叩(n-1)(n-T)(r-Jt^T-3
二3,2,1,知=尸怜。
)
上述工整且有规律的求系数过程,不难归纳出:
一般地,有
用(上―1)0—•%=p渲(气)=
从而,得到系数计算公式:
%=
广3。
1(
广5)
ZI
尸(冲)
1:
-.!
⑵
二、【解决问题二】
泰勒(Tayler)中值定理
若函数「3)在含有*的某个开区间(白力)内具有直到"
1阶导数,
这里"
是工。
与耸之间的某个值。
先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路:
这表明:
只要对函数&
(r)=尸⑥-成)及g。
)=。
一标)"
'
在笠与知
之间反复使用n+1次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。
【证明]-11\
以工口与艺为端点的区间Ixo]或[马工d]记为T,1仁(门或)。
函数M)=N)-W在I上具有直至”+1阶的导数,
且■..L\〔、[——_尺"
厂.〕_U
函数典)=(」*)"
在I上有直至"
十1阶的非零导数,
q("
l)(t)=(刘+功
于是,对函数尺(*)及典)在I上反复使用E次柯西中值
定理,有
W]在险与x之间
土在心与ft之间
A在冲与土之间
勺(肩=RZ)-_&
(言i)qE,«
鸟)
_%«
鸟)-&
:
(2_砒W『)
矿显)->
(0-时(品)
=%”(%)・R:
E)_肾仔)
时QQ-"
3Q一才)(窑
g"
」g)
产”7(土心)
(>
+1)1
记4=M在气与工之间
冥)e、.尸)(4)三、几个概念
1、
,⑴=了(为)+苴马羿,(sW'
芸卑。
-均广k\(打+1)!
此式称为函数丁3)按(工-工口)的籍次展开到近阶的泰勒公式;
或者称之为函数了仁)在点叱处的灯阶泰勒展开式。
当门5时,泰勒公式变为
/(UH)'
公
,(工)二,(为)+、:
*(x-r0)a+1=/(为)+广(最(s标)
(0+1)!
这正是拉格朗日中值定理的形式。
因此,我们也称泰勒公式中的余项。
户+1)陌
耳(武)=-(x-x0)n+l
O+1)!
为拉格朗日余项。
c<
Ma<
x<
b
2、对固定的凡,若V'
'
看…一;
小"
此式可用作误差界的估计
-<
——X一兀口1一0(工T工0)
J寸(E)L011°
故』「厂:
-1(•:
,门('
L)
表明:
误差虬(X)是当I冲时较3一为『高阶无穷小,这一余项表达式称之为皮亚诺余项。
3、若xo=0,则菱在。
与¥
之间,它表示成形
式,:
..一•"
,
泰勒公式有较简单的形式——麦克劳林公式
近似公式
73K川)+2^22"
2^22产”。
).必(0<
<
1)
1121用
误差估计式
n+l
麦瓦芳林展开式是一种特殊形式的奉勒展升式.容易札因此.求函数/■⑴在任意点X=为处的泰勒屐开式时.可通过变量昔换x-xc=tfl;
归到这一情况,
令X-X0=t
则/(x)=y(t^x0)=F(O
对函数F(:
)作麦在黄抹展开.
【例1】求JO)二/的麦克劳林公式。
解:
•「I—LLI巳-•..,••」
川)二尸(。
)=广(o)二…二"
)(。
)=/=i,"
十°
(&
・对二打
『yM妇
]=1+立+七4…——注H(0<
^<
1)
于是u-•:
(・E
rrx3r"
S'
财1+—++,■■+
有近似公式1:
2!
■!
|"
世斗.|笆件
其误差的界为「1)!
我们有函数/二的一些近似表达式。
.y+
(1)、'
初1*工
(2)、2(3)、
11213
+XXHX
/26
在matlab中再分别作出这些图象,观察到它们确实在逐渐逼近指数函
数。
尸泊(x)=sinfx十—)
一-
了(0)=0,no)=i,r(o)=o,产)(。
)=-1了网(0)=°
,…
其中:
作出它们的图象。
a=o=2
®
:
|在0=0,(珀x)h=Q=l,(怎1广|村口=0>
(①c)“
232
客二x+—r+于是:
一%
利用泰勒展开式求函数的极限,可以说是求极限方法中的“终极武
器”,使用这一方法可求许多其它方法难以处理的极限。
.-sinr
…一…一lim———
133
sinx-r--x+c?
(r)
【例4】利用泰勒展开式再求极限in/。
1f
愆JC二JC+-X+o(x)
3,
tgx-sinx=[x+-x34o(xJ)]-[x-—x3+o(w'
)]
36
=(x-X)+(-X3+—X3)4-(口(工'
)一0(/))
lim稣_:
nx=iim项*+:
版+-
I。
x->
0注x-^0AT。
JC>
2
【注解】现在,我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处
因为怂"
伞血工(x-0),从而
tgx-^nrr-X「门n
lim———=lim―y-=limO=0
1j3
c3cirnv_nf^r-sinx^-r+o(x)
当x—>
0时,访f0,应为2
【例5】利用三阶泰勒公式求的近似值,并估计误差。
186=18-
M。
1。
『3sin[Px+-^1
5!
血=顶+(—川.疽
.刀JT1.jT.3皿a.()
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- 泰勒 公式 及其 应用 典型 例题