计算方法与实习第四版孙志忠著东南大学出版社课后答案文档格式.docx
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.*****,
案
wx3=4.*****,
答:
3.2589,3.2590,4.3820后
0.
***-*****.3.若近似数x具有n位有效数字,且表示为
课
a
x=±
(a1+da2×
101++an×
10(n1))×
10m,
证明其相对误差限为
h
εr≤
1
×
10(n1)2a,1
并指出近似数x1=86.734,x2=0.0489的相对误差限分别是多少。
x有n位有效数字,kx=±
a1.a2a3an×
10m,ε≤1×
10
(n1),.
∴εεr=
x|≤ε1
a=×
10(n1)|.12a1
wx1=86.734,n=5,a1=8,
ε1
r≤×
10416;
x2=0.0489,n=3,a1=4,
r≤
102
8.4.求下列各近似数的误差限(其中x1,x2,x3均为第1题所给出的数):
d
k.
ww
wm
x4=96.4730,
x4=0.***-*****7.a1=0,
oc
.w
wwwww
1)x1+x2+x3;
co
2)x1x2;
13)x1/x2.
105+
15+x1×
104=2.*****×
104.2).|e(x1x2)|≈|x1e(x2)+x2e(x1)|≤x112×
1011
3).|e(x2)|≈|2e(x1)
x1
e(x2)|2
daw.
e,
e
r=,
1).|e(x1+x2+x3)|≤
104+×
105=6×
105.
≤
112×
104+
x112
105=1.3692×
105
.
w.kh
5.证明
er=
2ee1r=.rer=r=r=rxe+x1+r1+r
7.设y0=28,按递推公式
答
√
计算到y100,若取≈27.982(5位有效数字),试问计算到y100将有多大误差?
设x=x=27.982,x=x+e.
w.
y|=e≤n=100时,|ynn
kh
2y∴ynn=yn1yn110e2=yn2yn22×
10e=
yn×
102e=y0
=28).=102ne,(y0=y0
y|→∞,计算过程不稳定。
注:
此题中,|ynn
8.序列{yn}满足递推关系
yn=5yn12,
n=1,2,
2
aw
.c
om
103.
da
1√
yn=yn1100
网后
6.机器数C略。
2=yynn110(x+e),
yn=yn1102x,
//.cn
e2rr
rer==.
1+r1er
y|=510e≤n=10时,|ynn0
若y0=≈1.73(3位有效数字),计算到y10时误差有多大?
这个计算过程稳定吗?
√y≤1×
102,答:
设y0=y0=1.73,e0=y00=5yynn12,
nnynyn=5(yn1yn1)==5(y0y0)=5e0→∞.
.cn
后
n=0,1,2,,10
103,2
3)4x=tanx,x∈[3,4];
4)ex3x2=0.
当x∈[0,1]时,
所以此迭代格式对任意的x0∈[0,1]均收敛。
取x0=0.5,迭代得到
kxk
10.*****
20.*****
30.*****
40.*****
50.*****
60.*****
70.*****
80.*****
90.*****
0.x
62.*****
72.*****
82.*****
92.*****
102.*****
112.1534
所以x2≈2.153。
6.求方程x3x21=0在x0=1.5附近的根,将其改写为如下4种不同的等价形式,构造相应的迭代格式,试分析它们的收敛性。
选一种收敛速度最快的迭代格式求方程的根,精确至4位有效数字。
1)x=1+2)x=
√3
;
w.
3)x=4)x=
1.
注:
如果已知根的一个比较好的近似值x0,即已知根x在某点x0附近,则当|(x0)|1时迭代法局部收敛,当|(x0)|1时不收敛。
5
在收敛的情况下,|(x0)|越小收敛越快。
分别计算|(1.5)|,得到0.5926,0.4558,2.120,1.414,前两种迭代格式收敛,且第二种收敛最快。
2).迭代格式xk+1=31+x2k,k=0,1,2,x0=1.5.
记(x)=3则
21
(x)=(1+x2)2x,
3计算得
2×
1.5
|(1.5)|==0.4558,
33网
收敛性分析:
m=1时,牛顿迭代序列为常序列a,显然收敛。
√f(ε)
m≥2时,对任意正数ε(0εn),令M(ε)=,则
k=1,2,
(1).f(ε)=εma0,f(M)Mma(x)ma≥aa=0,所以f(ε)f(M)0.
M(ε)=(1
因而5≈2.981。
√a11
)ε+ε1m=(ε++ε+aε1m)m=x.mmm
3.用高斯消去法解下列线性方程组:
1)
2x1x2+3x3=14x1+2x2+5x3=4
x1+2x2=7
2)
=311x13x22x3
23x1+11x2+x3=0
x1+2x2+2x3=1
本章重点:
用列主元高斯消去法解线性方程组,用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解线性方程组并判断迭代格式的收敛性。
3线性方程组数值解法P81
用列主元高斯消去法,对于n1步消元,每一步消元之前均需选主元素。
答:
1).解为x3=6,x2=1,x1=9.2).
回代得
4.用追赶法求解线性方程组:
与原方程组同解的三角方程组为
x3=1.*****,x2=0.*****,x1=0.*****
8
2311323***-*****1
r,r+rr+1312r2r1→00→11323*****
012211221
********-*****
r+(r)32r3r2***-*****→→011***-*****0300193答
23x1+11x2+x3=05747
x2+x3=*****193x3=***-*****
2M0+M1=5.520059M+2M+M2=4.314410141432M+M3=3.*****M+125534M+M4=2.*****M+2377M+2M=2.*****
11
5257网
13547案
031
本题是严格对角占优的三对角线性方程组,每步消元只要消一个元素,按顺序高斯消去法即可,用追赶法求解,运算量小。
M4=0.*****,M3=0.*****,M2=1.03314,M1=1.*****,M0=2.02859
***-*****/52/54/531/57/51/***-*****1
*****
31/5→6/52/54/57/51/2517/21/2
103/51/103/10
10x4=
3x4=1
171x4=2213x4=1010
8.用LU紧凑格式分解法解解线性方程组
5675
用改进平方根方法解线性方程组,系数矩阵对称,可由U的第k行元素直接得到L的第k列元素,计算量比通常的LU紧凑格式分解约减少一半。
由改进平方根法分解
4241042410*****→1/*****4109711097
4241042410→1/*****→1/*****
11/29711/211
得同解方程组为
4x12x24x3=1016x2+8x3=8
x3=1
x3=1,x2=1,x1=2
||A||∞=max{1+1+0,2+2+3,5+4+1}=10,||A||1=max{1+2+5,1+2+4,0+3+1}=8,
***-*****251
ATA=124223=25212,
031
12.设x=(1,2,3)T,计算||x||∞,||x||1,||x||2.
x=2,||x||∞=max{|1|,|2|,|3|}=3,||x||1=|1|+|2|+|3|=6,||x||2=
3
1+
(2)+3=110
13.设A=223,计算||A||∞,||A||1,||A||2.
541
54
10
由|λEATA|=0,得λ361λ2+510λ9=0.记
f(λ)=λ361λ2+510λ9,
则f(λ)=3λ2122λ+510,f(λ)=0的根为λ1=4.7307,λ2=35.936.当λ∈(λ1,λ2)时,f减;
否则,f。
用牛顿迭代公式解方程的最大根,λ3≈51.0043,
||A||2=51.0043=7.*****
12
x112122
15.给定线性方程组111x2=0.
221x310
1)写出雅可比迭代格式和高斯-赛德尔迭代格式;
2)证明雅可比迭代法收敛而高斯赛德尔迭代法发散;
3)给x(0)=(0,0,0)T,用迭代法求出该方程组的解,精确到
||x(k+1)x(k)||∞≤
103.2
17.给定方程组
c5x1x2x3x4=4.
x
+10x2x3x4=12wxx12+5x3x4=8ax
x2x3+10x4
=34
考查雅可比迭代格式和高斯d-赛德尔迭代格式的收敛性。
h
系数矩阵为
k51
11.A=11011
1151,
11110
A
是严格对角占优的,所以两种迭代格式均是收敛的。
oc网
.答
w后
dh
wd12
hk.wwwm
oc.wwwwaww
x1=100,x2=121,y(x1)=10,y(x2)=11,
L1(x)=y(x1)
xx2xx1x121x100
+y(x2)=10×
+11×
x1x2x2x1100*****100
y(115)=|y(115)L2(115)|=
插值多项式的定义,存在唯一性,拉格朗日插值多项式,牛顿插值多项式,多项式插值的余项表示。
√√
1.利用函数y=在x1=100,x2=121处的值,计算co
nj=0
4插值法
115≈L2(115)=10×
误差分析
y(ξ)1
(xx1)(xx2)=ξ3/2(x100)(x121),ξ∈(100,121).y(x)L2(x)=2!
8
所以,
3.对于n次拉格朗日基本插值多项式,证明
证:
令f(x)=xk,作f(x)的n次插值多项式,以x0,x1,,xn为插值节点,则有
Ln(x)=
插值余项为
j=0
f(x)=Ln(x),
即
xkjlj(x)=x.
13
所以
n
f(n+1)(ξ)
(xxj)=0f(x)Ln(x)=
(n+1)!
lj(x)xkj,
注:
要会写出两点的线性插值公式及余项表达式。
估计误差时,不是去求实际误差y(115)L2(115),
而是应用已知的插值余项表达式去得到估计值。
11|(115100)(115121)|≤×
15×
6=0.01125
.8ξ3/28×
1003/2
xkjlj(x)=x,k=0,1,,n
115*****100
+11×
=10.*****.
100*****100
5.给出函数表
7
xy
00
116
246
488
50
试求各阶差商,并写出牛顿插值多项式。
写牛顿插值公式,首先就要计算出差商表,对角线上的数字就是牛顿插值公式的系数。
解:
牛顿插值多项式为
N4(x)=0+16(x0)+7(x0)(x1)+(5)(x0)(x1)(x2)
+(7)(x0)(x1)(x2)(x4)
=16x+7x(x1)5x(x1)(x2)x(x1)(x
2)(x4).
x0x1
=
(ax0)(ax1)
codaw.
f[x0,x1,,xk]=
ki=0
k=1,2,,n.
(axi)
下面用数学归纳法证明。
当k=1时,结论成立,假设结论对k=l成立,即有
f[x0,x1,,xl]=
li=0
f[x1,x2,,xl,xl+1]=
l+1i=1
(axi)(axi)
则有
f[x0,x1,,xl,xl+1]=
f[x0,x1,,xl]f[x1,x2,,xl,xl+1]
111=×
[ll+1]x0xl+1
i=0
i=1
l+1i=0
即结论对l+1成立。
f(x)的n次牛顿插值多项式为
nk=0
f[x0,x1,,xn]
Nn(x)=
9.给定数据表
0.125
0.250
f(x)
0.*****
f0
t
解此题的关键是从f[x0],f[x0,x1],f[x0,x1,x2]的表达式猜想出f[x0,x1,,xk],然后用归纳法进行严格的证明,有了各阶差商的表达式,很容易写出牛顿插值多项式。
0.375
试用三次牛顿差分插值公式计算f(0.1581)及f(0.636)。
N0(x0+th)=f0+
4
+1)+1)(t2)
f(0.1581)≈N5(0.1581)=N5(0.125+0.2648h)=0.***-*****2,f(0.636)≈N5(0.636)=N5(0.125+4.088h)=0.***-*****6.
15
+f0t(t1)(t2)(t3)+
5f0
t(t
1)(t2)(t3)(t4).
2f0
t(t3f0
解:
等距节点x0=0.125,h=0.125,xi=x0+ih,0≤i≤5.计算差分表,令x=x0+th,则牛顿插值多项式为
k1i=0ki=0
k1
(xxi)=
(xxi)
0.5000.*****
0.6250.*****
0.7500.*****
此题求等距节点的牛顿前插公式,只要正确计算出差分表即可。
11.设f(x)=
定义在区间[1,1]上。
将[1,1]作n等分,按等距节点求分段线性插值函数Ik(x),
1+25x2
并求各相邻节点中点处Ik(x)的值,与f(x)相应的值进行比较,误差为多大?
1
(1)2
=,xk=1+kh,0≤k≤n,nn
记h=
50(75x21)
f(x)=,
(1+25x)xxk+1xxk
+f(xk+1)=[f(xk)(xk+1x)+f(xk+1)(xxk)]/h,
xkxk+1xk+1xk
1.设某实验数据如下:
1.36
最小二乘原理,会求线性拟合函数及超定方程组的最小二乘解,重点是会正确写出正规方程组并求解。
1.49
5曲线拟合
1.73
1.81
1.95
2.16
0.7
0.8
0.9
或将求拟合多项式问题看作解矛盾方程组.
设φ(x)=a0+a1x+a2x2++amxm,φ(xi)=yi,i=1,2,,n,用最小二乘法确定系数a0,a1,,am,矛盾方程组为Aα=b,其中
ma0y11x1x1
ay1x2xm122.,b=..A=,α=..
..
1xnxmamynn正规方程组为
ATAα=ATb.
5i=1
解此方程组即可。
3.用最小二乘法求形如y=a+bx2的经验公式,使它与下列数据拟合:
19.032.349.073.397.8
0(x)=1,
1(x)=x2,
1925
1=5,
(0,0)=0(xi)=
(0,1)=(1,0)=
(y,0)=
0(xi)1(xi)=
(y,1)=
==
yi0(xi)=
yi×
1=271.4,
将上述数据代入正规方程组
得到
(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)***-********-*****
a0=221.9828,a1=0.***-*****,
y=221.98280
.***-*****x2.
18
所以经验公式为
解此方程组得
31
38
44
(1,1)=
5i=15i=1
1(xi)=
x4i=***-*****,
1×
x2i=5327,
yi1(xi)=
x2i=*****.15.
a0
a1
(y,0)(y,1)
a0a1
271.*****.15
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