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比如,同样是加法计算,对于9加几这样的数学内容,由于学生需要借助一定的观察与实物操作活动,在“凑十”基础上完成相对应算法的建构,从而,创设如图15-1所示的现实情境就显得十分必要,而得到了三位数加三位数时,相应的现实情境就显得不那么必要了。
因为,此时的实现情境对于学生理解三位数加法的算理,突破三位数加法中的“进位”或“连续进位”的认知难点意义不大,此时,引入计数器这一工具,并引导学生在操作过程中建构相应的算理与算法,反而显得更为迫切,也更有实现价值。
又如,同样是认数,认识1—10时,由于这是学生初次认识自然数,对于数的意义的建构与抽象,无疑需要依赖特定现实情境的支撑。
事实上,苏教版教材也的确作了类似的安排。
及至认识11—20时,考虑到此时“数的组成”已经成为学生理解数的意义的重要构成,因而,如何依托小棒及计数器这些相对抽象的工具来获得对“数的组成”“位值制”等的理解,从而更好地把握为些数的含义,无疑就显得更为重要。
因而,教材在编排这一内容时,则放弃了对现实情境的依赖,而直接选择了由“数小棒”以及“计算器上拨珠”等教学活动展开数学学习(如图15-2)。
由此可见,现实情境并非教学学习情境的全部,根据数学知识内部的逻辑关系而设置的教学情境,同样是学生开展教学学习的好的背景。
创设怎样的情境,关键在于不同数学内容以及数学学习的内在规定性,不可简单化、单一化,要视具体情形而定。
二、好的现实情境还需必要的“教学化”
情境只是教学学习得以展开背景和素材,现实情境更是如此。
有现实情境必然包含着鲜明的、准确的数学内涵,数学内涵是数学情境内在的灵魂。
如果我们的数学教学始终停留于现实情境中,缺乏对现实情境中非数学内容、非数学本质属性的剥离屯剔除,继而缺乏对现实情境中所蕴涵着的数学知识、数学方法、数学思想、数学结构、数学模型的分析和抽象,那么,这种缺失了必要“教学化”过程的教学学习,显然无法真正帮助学生实现对数学内核的把握与建构。
因而,基于现实情境的数学学习,必然涉及“教学化”这一过程。
根据弗赖登塔尔的观点,“教学化”包括水平教学化和垂直教学化,前者指由与现实问题到教学问题的转化,是把生活情境问题表述为数学问题的过程,通过这一过程,现实情境转化为教学符号;
后者是在前者之后的教学化,是从具体问题到抽象概念和方法之后的转化,是数学范畴内对已经符号化了的问题作进一步抽象化处理的数学过程。
而基于现实情境后的“教学化”,则是指引导学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。
当然,在实际教学中,我们还需要注意数学知识的系统性,重视引导学生建立良好的教学知识结构。
比如,苏教版五年级下册《公因数和最大公因数》一课,为了引导学生了解公因数和最大公因数的含义,教材创设了小正方形铺长方形的现实情境(如图15-3)。
但很显然,用小正方形铺长方形只是教材引导学生理解公因数含义的一个载体而已。
在学生通过操作或想象发现解决问题的答案之后,教材继续引导学生对相知的现实问题进行思考,为相应的“教学化”做好准备(如图15-4)。
在结合现实情境对这一问题进行深入思考的基础上,教材呈现了学和一基于解决现实问题的过程可能作出的数学思考(如图15-5)。
至此,现实情境是什么已经不重要,学生逐步实现了由具体情境中数量之间的关系上升到对抽象的数之间的关系的认识。
上述基于现实情境逐步“教学化”的过程,既有利于学生理解知识的现实背景,体会知识的形成过程,又有利于学生利用已有的知识经验把握数学知识的本质,发展数学思维。
三、有效的“教学化”,仍需回到现实情境接受检验
创设现实情境不是数学学习的目的,同样地,“数学化”也只是数学学习的重要环节之一。
经由现实情境的必要“教学化”后,学生可以透过现实情境纷繁复杂的表面现象,触摸到情境背后所隐藏着的数学对象、关系、方法、思想等。
但与此同时,学生所获得的数学知识、数学方法有时还需要再次回到具有现实背景的问题情境中接受检验。
如果说,“教学化”的过程是学生撇开现实情境中的非数学信息,进而获得对于纯粹数学对象的把握与理解的话,那么,这一纯粹的知识或方法是否真实、准确、可靠,是否具有普遍的适用性,是否可以解决具体的实际问题,同样是数学学习不可或缺的重要环节。
因而,数学教学在引导学生经历了必要的数学化,并掌握相关的数学知识、方法后,还需要有一个运用刚刚获得的抽象数学知识解释客观现象、解决现实问题的过程。
如此,由现实情境到“数学化”,再回到现实情境的循环往复、螺旋上升,才是完整的数学学习过程。
当然,现实情境与“数学化”的关系,在某种意义上反映的也是数学学习过程中直观与抽象的关系。
所谓直观,是通过对客观事物的直接接触而获得的感性认识。
在辨证唯物主义著作中,直观一词的含义通常与感性认识同义,指人们在实践中对客观事物的直接的、生动的反映。
《现代汉语词典》中,直接则指“用感官直接接受的,或直接观察的”。
所谓抽象,是指从众多事物中抽取出共同的、本质性的特征,而舍弃其非本质的特征。
例如苹果、香蕉、生梨、葡萄、桃子等,颜色、大小、形状、口味都不是它们的共同特征,将这些非本质特征一一排除,抽取出其共同的、本质的特征(水果),这一过程就叫抽象,显然,抽象的过程是一个裁剪的过程,不同的、非本质性的特征被全部裁剪掉了,因而留下的本质特征部分通常不显得不那么形象、不那么生动,也不那么容易为学习者所直观把握了。
所以,在自然语言中,很多人把凡是不能被人们的感官所直接把握的东西,也就是通常所说的“看不见,摸不着”东西,叫做“抽象”;
有的则把抽象作为孤立、片面、思想内容贫乏空洞的同义词。
这些都是“抽象”的引申和转义。
毫无疑问,数学是抽象的。
这是由数学本身所决定的。
数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。
比较普通的观点是,数学有抽象性、精确性和应用的广泛性等特点,其中最本质的特点是抽象性。
亚历山大洛夫说,“甚至对数学只的很肤浅的知识就能容易地觉察到数学的这些特征:
第一是它的抽象性,第二是精确性,或者更好地说是逻辑的严格性以及它的结论的确定性,最后是它的应用的极端广泛”。
事实上,数学的后两大特点也恰恰取决于其第一个特点。
正因为数学本身的绝对抽象性,所以才决定生理与心理发展的特点,加上其知识水平及所接触事物的有限性,其思维发展的基本特点是从以具体形象思维为主要形式逐步过渡到以抽象逻辑思维为要主形式。
并且,这种抽象逻辑思维在很大程度上仍然是直接与感性经验相关联系的,具有很大的具体形象性,从而,数学本身的抽象性与儿童思维的直观形象性,便构成了小学阶段数学教学需要着力解决的一对重要矛盾。
由此,我们不难发现,强调现实情境的价值,本身便是对学生数学学习直观性的一种直接呼应,而现实情境后的必要“教学化”,恰恰又昭示着教自身的抽象特性。
因此,正确处理好现实情境与“教学化”的关系,实则上也就理顺了直观与抽象的关系,两者可谓貌“离”神“合”,具有一种内在的关联。
创设有效的现实情境,组织有序的“数学化”
如前所述,一切的数学学习都依赖于特定的学习情境的营造,而具有一定实际意义和生活背景的现实情境,对于小学生学习抽象的数学内容,更是具有独特而不可替代的价值。
然而,是否所有的现实情境都是好的,都有其存在的价值?
怎样的现实情境才能真正促进并激发学生学习?
更进一步地,我们的数学课堂又该如何实现由现实情境向数学自身的“数学化”过程,籍此帮助学生更好地透过现实情境,把握数学知识的实质,理解并掌握数学的思想方法?
所有这些问题,都需要在实践层面作出思考和回应。
一、善于创设生动而有意义的现实情境
现实情境的创设应服务并促进学生的数学学习。
首先,现实情境应体现现实性,情境要的一定的生活背景,能够有效调度学生的生活积累,建立起问题情境与学生生活经验之间的关联,以便于学生能够利用已有的生活储备,获得对数学内容或结构的理解和把握。
其次,情境的创设应体现趣味性,数学本身是抽象的,抽象的数学内容要能够调动起学生的学习兴趣和主观愿望,情境本身的趣味性就显得尤为重要。
这种趣味性既表现在其外在的形式上,比如,针对低年级学生的年龄特点和兴趣指向,教师可以创设一些童话、故事情境,或是具体的活动情境,以便于吸引学生参与到故事或活动背后的数学问题或思考中来。
当然,现实情境的趣味性有时还要表现在其内部的特征上,尤其是,现实情境是否具有一定的问题张力,是否能够有效地激发学生主动思考、积极探索的愿望,是否富有一定的挑战性,这些同样是创设现实情境时需要着重思考的问题,可以说,好的现实情境上内外兼修的,既要满足儿童好玩、好动、好胜的需求,又要有效调动学生的探索欲望,唯有如此,现实情境才能更好地服务并促进学生的数学发展。
【案例1】分数的初步认识(南京市北京东路小学张春华执教)
师:
喜欢野餐吗?
生:
喜欢
丁丁和当当地野餐时遇到了一些和数有关的问题。
想不想一起去看看?
想!
瞧,他们带来了不少东西。
(出示图15-6)可是,究竟该怎么分呢?
他们遇到了一些麻烦。
你能帮助他们把这些食物分一分吗?
能!
4个苹果,每人分2个。
(课件演示均分的过程。
)
真好!
那2瓶矿泉水呢?
2瓶矿泉水,每人可以分1瓶。
(课件演示。
看来,咱们班同学不但聪明,而且还善解人意呢。
像这样,每人分得同样多,数学上,我们把它叫做——
平均分。
可是,蛋糕只有1个,还能平均分给2人吗?
那么,把1个蛋糕平均分给2个人,每人又能分得多少呢?
每人可以分得蛋糕的一半。
每人可以分得半个蛋糕。
老师这儿就的一个这样的蛋糕模型,你能上来给大家试着分一分吗?
(学生从中间奖蛋糕模型分成两半)指一指,蛋糕的一半在哪里?
(学生有些指这一半,有些指另一半)看来,只要把一个蛋糕平均分成2份,每份都是它的一半。
不过,数学是用来研究数的,那“一半”如果也要用一个数来表示,又该如何表达呢?
这就是我们今天要研究的问题。
……
案例中,教师所选择的野餐的问题,就是一个典型的现实情境。
一方面,在类似野餐这样的现实活动中,学生通常都会面临如何时公平地分东西这样的问题,并已经积累了一定的活动经验。
因而,野餐情境人创设,恰可以自然地唤醒学生的相关经验,为学生迅速理解平均分这一分数的本质属性奠定良好的基础,更重要的是,野餐这一情境并没的仅仅满足于“现实性”这一维度,在学生借助原有的经验成功地分完苹果、矿泉水,并用已经认识的整数表示出均分后的结果之后,“蛋糕只有1个,还能平均分给2人吗?
”“把1个蛋糕平均分给2个人,每人又能分得多少呢?
”两个新问题的适时引入,展现出了这一现实情境的真正意图:
原有的整数显然已红无法表示出此时分得的结果,我们究竟又该引入怎样的新数,以表示出最终的结果呢?
教学至此,现实情境的价值和意义得到了充分的彰显。
由此也不难发现,现实情境的创设除了可以为数学学习的展开奠定基础,在某种程度上也会成为吸引学生参与数学学习的重要筹码,毕竟,情境的现实性更容易接近数学与生活、数学与学生经验之间的关系,有利于唤起学生主动参与数学学习的积极性。
然而,在具体实施过程中,不少教师过分夸大现实情境和趣味性、吸引力,在情境的“现实性”上大做文章,反而使情境缺失了必要的“数学味”与“数学化”的可能。
因而,创设有效的现实情境,除了其基本的内在要求之外,还需要注意以下几点:
其一,现实情境的主题要与即将展开的数学学习高度相关,现实情境要服务于数学学习。
其二,现实情境的创设要有利于调动学生数学学学习的积极性,但不宜过度,要把握好分寸,切忌因情境的创设而使学生将注意力持续集中在现实情境所描述的故事、画面、情节之中,分散学生数学学习的注意力,影响学生对随后数学学习的一个载体而已。
过于复杂的情境设计,不但不能够有效表达相关的数学内容,情境中的非数因素反而会干扰学生的注意力,弱化他们对情境所内含的数学内容的关注。
善于把握“数学化”的恰当时机
现实情境是数学内容的重要载体,但载体不等于内容本身。
好的现实情境,还需要教师通过必要的引导,帮助学生剥离其中非数学的成分,而逐步接近数学的内核,进而在观察、比较、分析、抽象、概括等教学活动中,理解数学知识,掌握数学方法,领悟数学思想。
然而,如何实现这种剥离,尤其是,在具体的教学情境中,我们该选择怎样的时机引导学生透过现实情境来把握情境背后所潜藏着的数学实质,以实现对情境的必要超越呢?
我们以为,如果过早地进行“数学化”,由于学生对现实情境中所包含的数学内容缺乏全面、充分、细致地感知,他们不易在现实情境与“数学化”后的数学内容或结构之间找到内在关联,从而影响对数学内容的理解。
反之,如果学生对现实情境中的数学内容、关系、结构等已经有了充分的感知,教师仍迟迟不组织学生对情境中的数学内容进行由表及里的抽象与提取,则会使学生过多地沉浸在现实的情境与画面中,缺少对其中更为核心、更加本质的数学内容要素的把握。
更有甚者,教师若至始至终不组织学生展开必要的“数学化”,学生的数学学习永远停留于现实情境的维度,缺乏提升,更缺少对数学内核的关照。
这样的数学教学显然是不可取的。
因此,我们提出,“数学化”应该发生在学生对现实情境有了一个充分但不过度的感知的基础之上,“数学化”应遵循着“不愤不启,不悱不发”的基本原则,要做到顺其自然,“化”在不得不“化”时,“化”在不得不“化”处。
可以说,这里既有一个度的把握问题,更包含着丰富的实践智慧。
【案例2】用数对确定位置(南京市北京东路小学张齐华执教)
二年级我们已经研究过用“第几排,第几个”等方式来确定人或物体的位置,还记得吗?
记得!
那行。
下面的照片中,哪一个是张老师的儿子,你能用二年级确定位置的方法大胆猜猜看吗?
我猜是第3组第2个。
嗯,你是竖着看的。
第3组——第2个——呵,瞧这小伙子长得多帅气,怎么看就像张老师的儿子,对吧?
(学生笑)这是你的想法,有不一样的吗?
我觉得可能是第5组第1个。
你也是竖着看的,觉得是他,对吧。
一看就是一副聪明相!
我觉得是第3行的第2个。
你是横着看的,第3行——第2个——觉得是他。
还有不一样吗?
我觉得还可能是第4组第5个。
这样看来,光靠猜,要一下子确定张老师儿子的位置,感觉怎么样?
有点困难。
那就给点提醒吧,看看会不会好一些。
他呀,在第4组——
我知道了,是第4组第3个。
不一定,还可能是第4组第5个。
第4组有两个男生,光说第4组还是无法确定,还得看看在第几个。
找到了,是他!
看来,二年级掌握的方法,还真能帮我们很快确定一个人的位置。
不过,换个角度看看,除了第4组第三个以外,还可以怎么确定他的位置?
第3排第4个。
(教师板书:
无论是第3排第4个,还是第4组第3个,能确定张老师儿子的位置吗?
既然这样的方式已经能够确定位置了,那我们今天还来研究什么呢?
我觉得是不是有比像“第3排第4个,第4组第3个”更简洁的方法,也可以用来确定位置。
是呀,真和数学家想到一块去了!
那你们觉得,会不会有比它更简洁的确定位置的方法呢?
应该会有。
如果有,那又会是什么样的呢下面的时间,我把这一任务留给每一个小组,看看能不能集中大家的智慧,在“第3排第4个、第4组第3个”这一方法的基础上,创造出一种更简洁,同时也很准确的方法。
有没有信心?
有!
别忘了,把研究出的方法在自己的作业本上。
如果能找到不同的方法,都可以记录下来。
案例中,如何引导学生由原有的用“第几排第几个”确定照片中的某一人的位置,向着更抽象的“用数对确定位置”迈进,无疑是一种重要的“数学化”过程。
教师在引导时很好地把握了时机。
首先,出示照片后,教师没有急于告诉学生“儿子在哪里”进而引导他们展开相应“数学化”过程,而是先引导学生“猜一猜,并用已经掌握的方法来确定儿子的位置”。
这一过程看似随意,但猜的过程,恰是学生回顾并应用已有确定位置的方法的过程,有利于强化在二维平面空间中确定一个点的位置的教学实质,即无论这个人在哪里,要确定他的位置,至少需要行数和列数,从而为随后由“第几排第几个”这样现实的方式向“用数对确定位置”这一方面更加“数学化”的方式的抽象奠定坚实的基础。
其次,在学生经历充分的猜一猜、说一说等活动后,教师提出“既然这样的思维推向深入,寻求更简洁的确定位置的方法已然不完全是教师的外在要求了。
面对这一现实的情境,学生在教师的启发下引发的新思考、新需要、新冲突,为他们随后主动开展新的”数学化“活动蓄足了势。
此时,教师再顺水推舟引导学生自己去创造“更好的方法”,就显得水到渠成。
二、善于组织“数学化”的精致过程
"
数学化“通常都不是一蹴而成的,需要一个有序的、富有层次的过程。
这取决于数学内容本身的抽象度,也取决于学生的思维水平与认知特点。
如何在现实情境与数学内容之间架设一座适宜的桥梁,引导学生从现实情境一步步向数学内容挺进,需要教师做出精心的规划与设计。
[案例3]认知乘法
仔细观察画面(如图15-7),你发现了哪些数学信息?
我发现图上有一些鸡,每堆3只,一共有4堆。
我还发现了6只兔,每2只一堆,一共有3堆。
观察得真仔细!
那么,根据这些数学信息,你能提出怎样的数学问题?
鸡一共的多少只?
兔一共有多少只?
能列算式解决这两个问题吗?
3+3+3+3=12,鸡有12只。
2+2+2=6,兔子有6只。
观察这两道加法算式,有什么共同的地方?
它们都是同样的几个数在相加。
能具体说一说吗?
比如第一道算式里,相加的数都是3;
而第二道算式里,相加的数都是2。
那么,在第一道算式里,有几个3在相加?
4个。
第二道算式呢?
是3个2在相加。
那么,像这样加数相同的加法算式,你还能再举出一些吗?
试一试,并说说你列举的算式中,相同加数是几,有几个几在相加。
我举的是5+5+5+5。
相同加数是5,有4个5相加。
我列的算式是6+6+6+6+6+6,相同加数是6,的6个6相加。
像这些加数相同的加法算式,在数学上还有更简洁的写法呢。
案例中,教师在组织学生经历现实情境“数学化”的过程时,可谓步步为营。
首先,引导学生由现实情境中发现数学信息,进而提出数学问题,这是现实情境“数学化”的重要过程,是“水平数学化”。
教师在引导学生经历这一过程时,并没有放任自流,而是通过“你发现了哪些数学信息”根据这些数学信息,你能提出怎样的数学问题呢“这两个问题的引导,将学生的思维很快引向现实情境中所包含的数学内容。
事实上,也正因为教师的有效引导,学生的思维才没有被现实情境中其他的非数学信息所干扰,才没有偏离现实情境“数学化”的正确轨道。
其次,当学生由现实情境中得出两道加法算式后,教师及时引导他们通过观察、比较,寻找这两道算式之间的相似之处。
当学生经由比较发现它们都是加数相同的加法算式后,教师没有满足于此,而是继续推进学生更深入地思维:
“像这样加数的相同的加法算式,你还能再举出一些吗?
”由于在先前的观察和比较中,学生已经对两道算式内部结构的相似性有了发现,此时,他们循着自己的发现,很自然地又举出了若干符合相关特征的加法算式。
在这一过程中,既有对两道算式铁初步比较与归纳,又有根据归纳后的发现所作的演绎枚举,至此,学生已经——加数相同。
此时,再引导学生由“相同加数的加法”向“乘法”做出第二次“数学化”,也就是“垂直数学化”,已是水到渠成的事情了。
上述环节看似简单,但细细梳理其间的脉络,我们不难发现,学生实则经历了“现实情境——数学信息——数学问题——加法算式——乘法算式”这一完整的“数学化”过程中理解了乘法这一新的数学内容的意义,数学思维水平获得了有效的提升。
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临近发稿,适逢项武义教授来访。
座谈中提到数学教育中有“去数学化”的倾向。
细细想来,觉得颇“切中时弊”。
数学教育,自然是以“数学”内容为核心。
数学课堂教学的优劣,自然应该以学生是否能学好“数学”为依归。
也就是说,教育手段必须为数学内容服务。
可惜的是,这样的常识,近来似乎一再正确了。
君不见,评论一堂课的优劣,只问教师是否创设了现实情境?
学生是否自主探究,气氛是否活跃?
是否分小组活动?
用了多媒体没有?
至于数学内容,反倒可有可无起来。
再看近些年的一些数学教育研究文章,尤其是一些博士、硕士的学位论文,数学几乎看不见了。
通常是教育学、心理学的语汇,结果无非是为某教育理论的正确做一个“数学注解”,涂了点“数学”的油彩而已。
当大批的数学教育博士、硕士走上讲台,或成为数学教育的专家或领导,掌握着数学教育的命脉,就有可能使“去数学化”成为一种潮流。
当然,数学教育不能离开一般教育规律的指导,但是,数学教育必须研究自己的特殊规律。
打个比方,航天工程必然会依据一般力学的原理进行设计,却也一定要寻求航天本身的扶技术规律。
在攻克航天技术难关的同时,反过
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