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从而拟定棵数与段数关系
5.鸡兔同笼问题
基本概念:
鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题;
就是把假设错那某些置换出来;
基本思路:
①假设;
即假设某种现象存在(甲和乙同样或者乙和甲同样):
②假设后;
发生了和题目条件不同差;
找出这个差是多少;
③每个事物导致差是固定;
从而找出浮现这个差因素;
④再依照这两个差作恰当调节;
消去浮现差。
基本公式:
①把所有鸡假设成兔子:
鸡数=(兔脚数×
总头数-总脚数)÷
(兔脚数-鸡脚数)
②把所有兔子假设成鸡:
兔数=(总脚数一鸡脚数×
总头数)÷
(兔脚数一鸡脚数)
找出总量差与单位量差。
一定量对象;
按照某种原则分组;
产生一种成果:
按照另一种原则分组;
又产生一种成果;
由于分组原则不同;
导致成果差别;
由它们关系求对象分组组数或对象总量.
先将两种分派方案进行比较;
分析由于原则差别导致成果变化;
依照这个关系求出参加分派总份数;
然后依照题意求出对象总量.
基本题型:
①一次有余数;
另一次局限性;
总份数=(余数+局限性数)÷
两次每份数差
②当两次均有余数;
总份数=(较大余数一较小余数)÷
③当两次都局限性;
基本公式:
总份数=(较大局限性数一较小局限性数)÷
基本特点:
对象总量和总组数是不变。
拟定对象总量和总组数。
7.牛吃草问题
假设每头牛吃草速度为“1”份;
依照两次不同吃法;
求出其中总草量差;
再找出导致这种差别因素;
即可拟定草生长速度和总草量。
原草量和新草生长速度是不变;
拟定两个不变量。
生长量=(较长时间×
长时间牛头数-较短时间×
短时间牛头数)÷
(长时间-短时间);
总草量=较长时间×
长时间牛头数-较长时间×
生长量;
8.周期循环与数表规律
周期现象:
事物在运动变化过程中;
某些特性有规律循环浮现。
周期:
咱们把持续两次浮现所通过时间叫周期。
拟定循环周期。
闰年:
一年有366天;
①年份能被4整除;
②如果年份能被100整除;
则年份必要能被400整除;
平年:
一年有365天。
①年份不能被4整除;
但不能被400整除;
9.平均数
①平均数=总数量÷
总份数
总数量=平均数×
总份数=总数量÷
平均数
②平均数=基准数+每一种数与基准数差和÷
基本算法:
①求出总数量以及总份数;
运用基本公式①进行计算.
②基准数法:
依照给出数之间关系;
拟定一种基准数;
普通选与所有数比较接近数或者中间数为基准数;
以基准数为原则;
求所有给出数与基准数差;
再求出所有差和;
再求出这些差平均数;
最后求这个差平均数和基准数和;
就是所求平均数;
详细关系见基本公式②。
10.抽屉原理
抽屉原则一:
如果把(n+1)个物体放在n个抽屉里;
那么必有一种抽屉中至少放有2个物体。
例:
把4个物体放在3个抽屉里;
也就是把4分解成三个整数和;
那么就有如下四种状况:
①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1
观测上面四种放物体方式;
咱们会发现一种共同特点:
总有那么一种抽屉里有2个或多于2个物体;
也就是说必有一种抽屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二:
如果把n个物体放在m个抽屉里;
其中n>
m;
那么必有一种抽屉至少有:
①k=[n/m]+1个物体:
当n不能被m整除时。
②k=n/m个物体:
当n能被m整除时。
理解知识点:
[X]表达不超过X最大整数。
例[4.351]=4;
[0.321]=0;
[2.9999]=2;
构造物体和抽屉。
也就是找到代表物体和抽屉量;
而后根据抽屉原则进行运算。
定义一种新运算符号;
这个新运算符号包具有各种基本(混合)运算。
严格按照新定义运算规则;
把已知数代入;
转化为加减乘除运算;
然后按照基本运算过程、规律进行运算。
对的理解定义运算符号意义。
注意事项:
①新运算不一定符合运算规律;
特别注意运算顺序。
②每个新定义运算符号只能在本题中使用。
12.数列求和
等差数列:
在一列数中;
任意相邻两个数差是一定;
这样一列数;
就叫做等差数列。
首项:
等差数列第一种数;
普通用a1表达;
项数:
等差数列所有数个数;
普通用n表达;
公差:
数列中任意相邻两个数差;
普通用d表达;
通项:
表达数列中每一种数公式;
普通用an表达;
数列和:
这一数列所有数字和;
普通用Sn表达.
等差数列中涉及五个量:
a1;
an;
d;
n;
sn;
;
通项公式中涉及四个量;
如果己知其中三个;
就可求出第四个;
求和公式中涉及四个量;
就可以求这第四个。
通项公式:
an=a1+(n-1)d;
通项=首项+(项数一1)公差;
数列和公式:
=(a1+an)n2;
数列和=(首项+末项)项数2;
项数公式:
n=(an+a1)d+1;
项数=(末项-首项)公差+1;
公差公式:
d=(an-a1))(n-1);
公差=(末项-首项)(项数-1);
拟定已知量和未知量;
拟定使用公式;
13.二进制及其应用
十进制:
用0~9十个数字表达;
逢10进1;
不同数位上数字表达不同含义;
十位上2表达20;
百位上2表达200。
因此234=200+30+4=2102+310+4。
=An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n-7+……+A3102+A2101+A1100
注意:
N0=1;
N1=N(其中N是任意自然数)
二进制:
用0~1两个数字表达;
逢2进1;
不同数位上数字表达不同含义。
(2)=An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7
+……+A322+A221+A120
An不是0就是1。
十进制化成二进制:
①依照二进制满2进1特点;
用2持续去除这个数;
直到商为0;
然后把每次所得余数按自下而上依次写出即可。
②先找出不不不大于该数2n次方;
再求它们差;
再找不不不大于这个差2n次方;
依此办法始终找到差为0;
按照二进制展开式特点即可写出。
14.加法乘法原理和几何计数
加法原理:
如果完毕一件任务有n类办法;
在第一类办法中有m1种不同办法;
在第二类办法中有m2种不同办法……;
在第n类办法中有mn种不同办法;
那么完毕这件任务共有:
m1+m2.......+mn种不同办法。
核心问题:
拟定工作分类办法。
基本特性:
每一种办法都可完毕任务。
乘法原理:
如果完毕一件任务需要提成n个环节进行;
做第1步有m1种办法;
不论第1步用哪一种办法;
第2步总有m2种办法……不论前面n-1步用哪种办法;
第n步总有mn种办法;
m1×
m2.......×
mn种不同办法。
核心问题:
拟定工作完毕环节。
基本特性:
每一步只能完毕任务一某些。
直线:
一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动;
形成轨迹。
直线特点:
没有端点;
没有长度。
线段:
直线上任意两点间距离。
这两点叫端点。
线段特点:
有两个端点;
有长度。
射线:
把直线一端无限延长。
射线特点:
只有一种端点;
①数线段规律:
总数=1+2+3+…+(点数一1);
②数角规律=1+2+3+…+(射线数一1);
③数长方形规律:
个数=长线段数×
宽线段数:
④数长方形规律:
个数=1×
1+2×
2+3×
3+…+行数×
列数
质数:
一种数除了1和它自身之外;
没有别约数;
这个数叫做质数;
也叫做素数。
合数:
尚有别约数;
这个数叫做合数。
质因数:
如果某个质数是某个数约数;
那么这个质数叫做这个数质因数。
分解质因数:
把一种数用质数相乘形式表达出来;
叫做分解质因数。
通惯用短除法分解质因数。
任何一种合数分解质因数成果是唯一。
分解质因数原则表达形式:
N=;
其中a1、a2、a3……an都是合数N质因数;
且a1<
a2<
a3<
……<
an。
求约数个数公式:
P=(r1+1)×
(r2+1)×
(r3+1)×
……×
(rn+1)
互质数:
如果两个数最大公约数是1;
这两个数叫做互质数。
<
/a2<
约数和倍数:
若整数a可以被b整除;
a叫做b倍数;
b就叫做a约数。
公约数:
几种数公有约数;
叫做这几种数公约数;
其中最大一种;
叫做这几种数最大公约数。
最大公约数性质:
1、几种数都除以它们最大公约数;
所得几种商是互质数。
2、几种数最大公约数都是这几种数约数。
3、几种数公约数;
都是这几种数最大公约数约数。
4、几种数都乘以一种自然数m;
所得积最大公约数等于这几种数最大公约数乘以m。
例如:
12约数有1、2、3、4、6、12;
18约数有:
1、2、3、6、9、18;
那么12和18公约数有:
1、2、3、6;
那么12和18最大公约数是:
6;
记作(12;
18)=6;
求最大公约数基本办法:
1、分解质因数法:
先分解质因数;
然后把相似因数连乘起来。
2、短除法:
先找公有约数;
然后相乘。
3、辗转相除法:
每一次都用除数和余数相除;
可以整除那个余数;
就是所求最大公约数。
公倍数:
几种数公有倍数;
叫做这几种数公倍数;
其中最小一种;
叫做这几种数最小公倍数。
12倍数有:
12、24、36、48……;
18倍数有:
18、36、54、72……;
那么12和18公倍数有:
36、72、108……;
那么12和18最小公倍数是36;
记作[12;
18]=36;
最小公倍数性质:
1、两个数任意公倍数都是它们最小公倍数倍数。
2、两个数最大公约数与最小公倍数乘积等于这两个数乘积。
求最小公倍数基本办法:
1、短除法求最小公倍数;
2、分解质因数办法
一、基本概念和符号:
1、整除:
如果一种整数a;
除以一种自然数b;
得到一种整数商c;
并且没有余数;
那么叫做a能被b整除或b能整除a;
记作b|a。
2、惯用符号:
整除符号“|”;
不能整除符号“”;
由于符号“∵”;
因此符号“∴”;
二、整除判断办法:
1.能被2、5整除:
末位上数字能被2、5整除。
2.能被4、25整除:
末两位数字所构成数能被4、25整除。
3.能被8、125整除:
末三位数字所构成数能被8、125整除。
4.能被3、9整除:
各个数位上数字和能被3、9整除。
5.能被7整除:
①末三位上数字所构成数与末三位此前数字所构成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字2倍后能被7整除。
6.能被11整除:
①末三位上数字所构成数与末三位此前数字所构成数之差能被11整除。
②奇数位上数字和与偶数位数数字和差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7.能被13整除:
①末三位上数字所构成数与末三位此前数字所构成数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字9倍后能被13整除。
三、整除性质:
1.如果a、b能被c整除;
那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。
2.如果a能被b整除;
c是整数;
那么a乘以c也能被b整除。
3.如果a能被b整除;
b又能被c整除;
那么a也能被c整除。
4.如果a能被b、c整除;
那么a也能被b和c最小公倍数整除。
基本概念:
对任意自然数a、b、q、r;
如果使得a÷
b=q……r;
且0<
r<
b;
那么r叫做a除以b余数;
q叫做a除以b不完全商。
余数性质:
①余数不大于除数。
②若a、b除以c余数相似;
则c|a-b或c|b-a。
③a与b和除以c余数等于a除以c余数加上b除以c余数和除以c余数。
④a与b积除以c余数等于a除以c余数与b除以c余数积除以c余数。
一、同余定义:
①若两个整数a、b除以m余数相似;
则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m;
如果m|a-b;
就称a、b对于模m同余;
记作a≡b(modm);
读作a同余于b模m。
二、同余性质:
①自身性:
a≡a(modm);
②对称性:
若a≡b(modm);
则b≡a(modm);
③传递性:
b≡c(modm);
则a≡c(modm);
④和差性:
c≡d(modm);
则a+c≡b+d(modm);
a-c≡b-d(modm);
⑤相乘性:
则a×
c≡b×
d(modm);
⑥乘方性:
则an≡bn(modm);
⑦同倍性:
整数c;
c(modm×
c);
三、关于乘方预备知识:
①若A=a×
则MA=Ma×
b=(Ma)b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×
Md
四、被3、9、11除后余数特性:
①一种自然数M;
n表达M各个数位上数字和;
则M≡n(mod9)或(mod3);
②一种自然数M;
X表达M各个奇数位上数字和;
Y表达M各个偶数数位上数字和;
则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod11);
五、费尔马小定理:
如果p是质数(素数);
a是自然数;
且a不能被p整除;
则ap-1≡1(modp)。
基本概念与性质:
分数:
把单位“1”平均提成几份;
表达这样一份或几份数。
分数性质:
分数分子和分母同步乘以或除以相似数(0除外);
分数大小不变。
分数单位:
表达这样一份数。
百分数:
表达一种数是另一种数百分之几数。
惯用办法:
①逆向思维办法:
从题目提供条件反方向(或成果)进行思考。
②相应思维办法:
找出题目中详细量与它所占率直接相应关系。
③转化思维办法:
把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。
最常用是转换成比例和转换成倍数关系;
把不同原则(在分数中普通指是一倍量)下分率转化成同一条件下分率。
常用解决办法是拟定不同原则为一倍量。
④假设思维办法:
为理解题以便;
可以把题目中不相等量假设成相等或者假设某种状况成立;
计算出相应成果;
然后再进行调节;
求出最后成果。
⑤量不变思维办法:
在变化各个量当中;
总有一种量是不变;
无论其她量如何变化;
而这个量是始终固定不变。
有如下三种状况:
A、分量发生变化;
总量不变。
B、总量发生变化;
但其中有分量不变。
C、总量和分量都发生变化;
但分量之间差量不变化。
⑥替代思维办法:
用一种量代替另一种量;
从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。
⑦同倍率法:
总量和分量之间按照同分率变化规律进行解决。
⑧浓度配比法:
普通应用于总量和分量都发生变化状况。
/r<
基本办法:
①通分分子法:
使所有分数分子相似;
依照同分子分数大小和分母关系比较。
②通分分母法:
使所有分数分母相似;
依照同分母分数大小和分子关系比较。
③基准数法:
拟定一种原则;
使所有分数都和它进行比较。
④分子和分母大小比较法:
当分子和分母差一定期;
分子或分母越大分数值越大。
⑤倍率比较法:
当比较两个分子或分母同步变化时分数大小;
除了运用以上办法外;
可以用同倍率变化关系比较分数大小。
(详细运用见同倍率变化规律)
⑥转化比较办法:
把所有分数转化成小数(求出分数值)后进行比较。
⑦倍数比较法:
用一种数除以另一种数;
成果得数和1进行比较。
⑧大小比较法:
用一种分数减去另一种分数;
得出数和0比较。
⑨倒数比较法:
运用倒数比较大小;
然后拟定原数大小。
⑩基准数比较法:
每一种数与基准数比较。
一、将一种分数单位分解成两个分数之和公式:
完全平方数特性:
1.末位数字只能是:
0、1、4、5、6、9;
反之不成立。
2.除以3余0或余1;
3.除以4余0或余1;
4.约数个数为奇数;
反之成立。
5.奇数平方十位数字为偶数;
6.奇数平方个位数字是奇数;
偶数平方个位数字是偶数。
7.两个相临整数平方之间不也许再有平方数。
平方差公式:
X2-Y2=(X-Y)(X+Y)
完全平方和公式:
(X+Y)2=X2+2XY+Y2
完全平方差公式:
(X-Y)2=X2-2XY+Y2
比:
两个数相除又叫两个数比。
比号前面数叫比前项;
比号背面数叫比后项。
比值:
比前项除后来项商;
叫做比值。
比性质:
比前项和后项同步乘以或除以相似数(零除外);
比值不变。
比例:
表达两个比相等式子叫做比例。
a:
b=c:
d或
比例性质:
两个外项积等于两个内项积(交叉相乘);
ad=bc。
正比例:
若A扩大或缩小几倍;
B也扩大或缩小几倍(AB商不变时);
则A与B成正比。
反比例:
B也缩小或扩大几倍(AB积不变时);
则A与B成反比。
比例尺:
图上距离与实际距离比叫做比例尺。
按比例分派:
把几种数按一定比例提成几份;
叫按比例分派。
行程问题是研究物体运动;
它研究是物体速度、时间、路程三者之间关系.
基本公式:
路程=速度×
时间;
路程÷
时间=速度;
速度=时间
拟定运动过程中位置和方向。
相遇问题:
速度和×
相遇时间=相遇路程(请写出其她公式)
追及问题:
追及时间=路程差÷
速度差(写出其她公式)
流水问题:
顺水行程=(船速+水速)×
顺水时间
逆水行程=(船速-水速)×
逆水时间
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
静水速度=(顺水速度+逆水速度)÷
2
水速=(顺水速度-逆水速度)÷
核心是拟定物体所运动速度;
参照以上公式。
过桥问题:
核心是拟定物体所运动路程;
重要办法:
画线段图法
基本题型:
已知路程(相遇路程、追及路程)、时间(相遇时间、追及时间)、速度(速度和、速度差)中任意两个量;
求第三个量。
①工作总量=工作效率×
工作时间
②工作效率=工作总量÷
③工作时间=工作总量÷
工作效率
基本思路:
①假设工作总量为“1”(和总工作量无关);
②假设一种以便数为工作总量(普通是它们完毕工作总量所用时间最小公倍数);
运用上述三个基本关系;
可以简朴地表达出工作效率及工作时间.
拟定工作量、工作时间、工作效率间两两相应关系。
经验简评:
合久必分;
分久必合。
基本办法简介:
①条件分析—假设法:
假设也许状况中一种成立;
然后按照这个假设去判断;
如果有与题设条件矛盾状况;
阐明该假设状况是不成立;
那么与她相反状况是成立。
例如;
假设a是偶数成立;
在判断过程中浮现了矛盾;
那么a一定是奇数。
②条件分析—列表法:
当题设条件比较多;
需要多次假设才干完毕时;
就需要进行列表来辅助分析。
列表法就是把题设条件所有表达在一种长方形表格中;
表格行、列分别表达不同对象与状况;
观测表格内题设状况;
运用逻辑规律进行判断。
③条件分析——图表法:
当两个对象之间只有两种关系时;
就可用连线表达两个对象之间关系;
有连线则表达“是;
有”等必定状态;
没有连线则表达否定状态。
例如A和B两人之间有结识或不结识两种状态;
有连线表达结识;
没有表达不结识。
④逻辑计算:
在推理过程中除了要进行条件分析推理之外;
还要进行相应计算;
依照计算成果为推理提供一种新判断筛选条件。
⑤简朴归纳与推理:
依照题目提供特性和数据;
分析其中存在规律和办法;
并从特殊状况推广到普通状况;
并递推出有关关系式;
从而得到问题解决。
在某些面积计算上;
不能直接运用公式状况下;
普通需要对图形进行割补;
平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等;
使不规则图形变为规则图形进行计算;
此外需要掌握和记忆某些常规面积规律。
1.连辅助线办法
2.运用等底等高两个三角形面积相等。
3.大胆假设(有些点设立题目中说是任意点;
解题时可把任意点设立在特殊位置上)。
4.运用特殊规律
①等腰直角三角形;
已知任意一条边都可求出面积。
(斜边平方除以4等于等腰直角三角形面积)
②梯形对角线连线后;
两腰某些面积相等。
③圆面积占外接正方形面积78.5%。
长方体
8个顶点;
6个面;
相对面相等;
12条棱;
相对棱相等;
S=2(ab+ah+bh)V=abh=Sh
正方体
所有面相等;
所有棱相等;
S=6a2V=a3
圆柱体
上下两底是平行且相等圆;
侧面展开后是长方形;
S=S侧+2S底S侧=ChV=Sh
圆锥体
下底是圆;
只有一种顶点;
l:
母线;
顶点究竟圆周上任意一点距离;
S=S侧+S底
S侧=rlV=Sh
球体圆心到圆周上任意一点距离是球半径。
S=4r2V=r3
1、按照行程问题中思维办法解题;
2、不同表当成速度不同运动物体;
3、路程单位是分格(表一周为60分格);
4、时间是原则表所通过时间;
合理运用行程问题中比例关系;
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