数学建模微分方程实验.docx
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数学建模微分方程实验
数学建模微分方程实验
2微分方程实验
1、微分方程稳定性分析
根据微分方程稳定性理论,确定下列资质系统的平衡点,并说明那些点是稳定的,哪些点是不稳定,绘出相应的轨线,标出随t郑家的运动方向。
解:
(1)由f(x)=x=0,f(y)=y=0;可得平衡点为(0,0),
系数矩阵,求得特征值λ1=1,λ2=1;
p=-(λ1+λ2)=-2<0,q=λ1λ2=1>0;对照稳定性的情况表,可知平衡点(0,0)是不稳定的。
图形如下:
(2)如上题可求得平衡点为(0,0),特征值λ1=-1,λ2=2;
p=-(λ1+λ2)=-1<0,q=λ1λ2=-2<0;对照稳定性的情况表,可知平衡点(0,0)是不稳定的。
其图形如下:
(3)如上题可求得平衡点为(0,0),特征值λ1=0+1.4142i,λ2=0-1.4142i;
p=-(λ1+λ2)=0,q=λ1λ2=1.4142>0;对照稳定性的情况表,可知平衡点(0,0)是不稳定的。
其图形如下:
(4)如上题可求得平衡点为(1,0),特征值λ1=-1,λ2=-2;
p=-(λ1+λ2)=3>0,q=λ1λ2=2>0;对照稳定性的情况表,可知平衡点(1,0)是稳定的。
其图形如下:
2、种群增长模型
一个片子上的一群病菌趋向于繁殖成一个圆菌落.设病菌的数目为N,单位成员的增长率为r1,则由Malthus生长律有,但是,处于周界表面的那些病菌由于寒冷而受到损伤,它们死亡的数量与N1/2成比例,其比例系数为r2,求N满足的微分方程.不用求解,图示其解族.方程是否有平衡解,如果有,是否为稳定的?
解:
由题意很容易列出N满足的微分方程:
令=0,可求得方程的两个平衡点N1=0,N2=
进而求得
令可求得N=
则N=N1,N=N2,N=可以把第一象限划为三部分,且从下到上三部分中分别有;;。
则可以画出N(t)的图形,即微分方程的解族,如下图所示:
由图形也可以看出,对于方程的两个平衡点,其中N1=0是不稳定的;N2=是稳定的。
3、有限资源竞争模型
1926年Volterra提出了两个物种为共同的、有限的食物来源而竞争的模型
假设,称为物种i对食物不足的敏感度,
(1)证明当x1(t0)>0时,物种2最终要灭亡;
(2)用图形分析方法来说明物种2最终要灭亡.
解:
(1)由上述方程组f(x1)==0,
f(x2)==0,可得方程的平衡点为P0(0,0),P1(,0),P2(0,).
对平衡点P0(0,0),
系数矩阵
则p=-(b1+b2)<0,所以该平衡点不稳定。
对平衡点P1(,0),
系数矩阵
则p=,q=,
由题意,x1(t0)>0,可以得出p>0,q>0,因此该平衡点是稳定的。
即时,,说明物种2最终要灭亡。
对平衡点P2(0,),同理可以得到q<0,在该平衡点不稳定。
因此,在,x1(t0)>0的条件下,物种2最终要灭亡。
(2)对于线性方程组
在平面上匹配两条直线l1和l2,由题意,x1(t0)>0,可将第一象限分为三个区域。
在最左边区域,都大于0;在中间区域,都小于0,在最右边区域,分别是大于0和小于0.,由各区域中的取值可得到如下图形:
由图也可以看出,随着时间的增加,物种1最终能达到稳定值,物种2最终要灭亡。
4、蝴蝶效应与混沌解
考虑Lorenz模型
其中σ=10,ρ=28,β=8/3,且初值为,x1(0)=x2(0)=0,x3(0)=ε,ε为一个小常数,假设ε=10-10,且0≤t≤100。
(1)用函数ode45求解,并画出x2~x1,x2~x3,x3~x1的平面图;
(2)适当地调整参数σ,ρ,β值,和初始值x1(0),x2(0)=0,x3(0),重复一的工作,看有什么现象发生。
解:
(1)编写Lorenz函数,
functionxdot=lorenz1(t,x,b,a,c)
xdot=[-b*x
(1)+x
(2)*x(3);
-a*x
(2)+a*x(3);
-x
(1)*x
(2)+c*x
(2)-x(3)];
对各参数赋值并用ode45函数求解,可得数值解:
Columns1through9
00.12500.25000.37500.50000.53520.57050.60570.6409
00.00000.0000-0.0000-0.00000.00000.00000.00000.0000
00.00000.0000-0.0000-0.00000.00000.00000.0000-0.0000
0.0000-0.0000-0.00000.00000.00000.0000-0.00000.00000.0000
Columns10through18
0.67610.71140.74660.78180.83080.87970.92860.97761.0105
0.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.0000
0.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.0000
0.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.0000
Columns19through27
1.04341.07631.10921.14211.17501.20791.24091.27971.3186
0.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.0000
0.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00010.0001
0.00000.00000.00000.00000.00000.00010.00010.00020.0002
Columns28through36
1.35751.39641.42461.45281.48101.50921.53741.56561.5938
0.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.0000
0.00020.00030.00040.00050.00080.00110.00150.00210.0029
0.00040.00060.00080.00120.00160.00230.00320.00450.0063
...............
Columns5590through5598
99.575199.592199.609099.626099.646299.666499.686799.706999.7338
16.945716.526116.201015.985415.897816.034816.447617.193318.7894
-3.3551-3.7119-4.1098-4.5568-5.1636-5.8601-6.6527-7.5438-8.8677
-5.3476-5.9274-6.5941-7.3519-8.3766-9.5370-10.8209-12.1944-14.0725
Columns5599through5607
99.760899.787899.814899.830699.846599.862399.878299.894099.9099
21.218624.470928.262930.535432.653334.464535.846636.714937.0528
-10.3044-11.7459-12.9932-13.5361-13.8800-13.9854-13.8351-13.4302-12.7919
-15.7415-16.8309-16.9274-16.3648-15.3302-13.8707-12.0805-10.1013-8.1005
Columns5608through5613
99.925799.941699.956299.970899.9854100.0000
36.895736.323935.524834.543533.448132.2971
-11.9606-10.9899-10.0237-9.0332-8.0563-7.1223
-6.2187-4.5596-3.2818-2.2590-1.4835-0.9275
x2~x1,x2~x3,x3~x1的平面图分别如下:
(2)令参数σ,ρ,β值各减1,初始值x1(0),x2(0)不变,x3(0)=10-8
分别得到得到x2~x1,x2~x3,x3~x1的平面图如下:
可以看出,参数σ,ρ,β值各减1,初始值x1(0),x2(0)不变,x3(0)数值变为x3(0)=10-8,参数和初始值很小的改变,就会导致最后图形发生很大的变化。
5、用微分方程考察共振现象
设物体沿x轴运动(如图所示)其平衡位置取为原点0,物体的质量为1,在时间t物体的位置为x(t)其所受的恢复为(如弹性力等)与物体所在位置的坐标成正比,即k2x,其中常数k称为恢复系数,运动过程所受的阻力(由于介质及摩擦等)设与速度成正比,即,h>0,称为阻尼系数。
(1)根据Newton第二定律,建立相应的微分方程.不妨设初始位置为1,初始速度为0,取k=2,h=0(当h=0称为简谐振动的方程)和h=0.1,用Matlab软件得到相应的数值解,并在t-x平面上画出x(t)的图形。
(2)如果物体还受到附加外力的干扰,且外力是一个依据时间t的函数f(t)(设f(t)=Bsinwt),建立相应的微分方程(该方程称为强迫振动方程).在上述参数不变的情况下,取振幅B=1,分别取w=1,1.2,1.4,1.6,1.8,2.0,2.2,2.4,2.6,2.8,3.0,用Matlab软件得到相应的数值解,并在t-x平面上画出x(t)的图形。
(3)分别对上述图形讲行分析,并解释为什么会出现这些现象。
解:
(1)根据Newton第二定律,F=ma,可得微分方程:
由题意知边界值:
x(0)=1,x’(0)=0,令y1=x,y2=,
可将二阶方程转化为:
其中,m=1;g=9.8;k=2
当h=0时,由matlab解得数值解:
Columns1through9
00.00000.00000.00000.00000.00010.00010.00020.0002
1.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.0000
Columns10through18
0.00040.00060.00090.00110.00220.00320.00430.00540.0108
1.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00011.00011.0003
Columns19through27
0.01620.02160.02710
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