矩阵可逆的若干判别方法文档格式.docx
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二、矩阵可逆的性质
(1)若矩阵A可逆,则A的逆矩阵A1也可逆,且(A-1)-1=A
(2)若矩阵A,B均可逆,则矩阵AB也可逆,且(AB)-1=31K。
(3)若矩阵A可逆,则AT也可逆,且(尺)-1=(A1)To
(4)若矩阵A可逆,0,则A也可逆,且(A)=1A1o
(6)矩阵A的逆矩阵4=工。
|A|
⑺若A为mxn阶矩阵,P为m阶矩阵,Q为n阶矩阵,A,P,Q均
为可逆矩阵,则有r(PAQ尸r(PA尸r(AQ尸r(A)。
三、矩阵可逆的若干判别方法
(一)定义判别法
对于n阶方阵A,若存在n阶方阵B,使得AB=BA=I,则A可逆,且B为A的逆,记为B=A1。
100
例1.判断矩阵A=001是否可逆?
010
100100
证存在矩阵B=001,使得AB=BA=010
010001
所以矩阵A可逆。
此方法大多适用于简单的矩阵。
(二)行列式判别法
矩阵A可逆的充要条件是A为方阵且网0。
105021
例2.判断矩阵A=382与矩阵B=131是否可逆?
11340-2
证因为|A|=-30,|B|=0,所以矩阵A可逆,而B不可逆
(三)秩判别法
n阶矩阵A可逆,则r(A)=n
证因为矩阵A可逆,则|A|0,可得到r(A)=n,反之也成立
13512
例3.判断矩阵A=210与矩阵B=11
1
0是否可逆?
11722-1
117012
所以r(A)=3,A可逆。
121021
B=100100
221021
所以r(B)=23,B不可逆
(四)伴随矩阵判别法
若A可逆,则存在矩阵B=公*,使得AB=BA=E
126
例4.矩阵A=352,判断它是否可逆,若可逆,求出它的逆。
143
证因为网=350,则A可逆,
A*=
71826
7316,所以
721
18
-26
5
35
-1=A*=
-1
16
|A|
3
-2
求伴随矩阵时,要注意元素的位置与符号
(五)初等变换判别法
对矩阵A施行行(列)初等变换,得到矩阵B,若B可逆,则A也
可逆。
证因为A与B等价,则有r(A)=r(B),所以当矩阵B可逆时,矩阵A
也可用初等行(列)变换求A的逆。
02
11的逆。
14
列初等变换:
AEB^的逆。
例5.求矩阵A=3
52
所以A-1=132
(六)初等矩阵判别法
若矩阵A可逆,则A可以表示为一系列初等矩阵的乘积,
即A=PP2……Ps
证因为|A|=|P1P2……Ps|0,所以矩阵A可逆,反之也成立
同时,若矩阵A可逆,则A可经过一系列初等变换化为单位矩阵。
012
例6.判断矩阵A=114是否可逆?
2-10
(七)矩阵的向量组的秩判别法
若矩阵A可逆,则A的各行或各列所形成的向量组线性无关。
若矩阵A可逆,则有r(A尸n,且行秩等于列秩等于n.
(八)线性方程组判别法
a11x1a12x2a1nxnb1
a21x1a22x2a2nxnb2
有方程组
an1x1an2x2annxnbn
①当bi=b2=……=bn=0时,方程组为齐次线方程组,
a11a12
a21a22
所以有
an1an2
a1nx1
a2nx2
=0,AX=0,当且仅当此方程组有零解时,
annxn
即Xl=X2==Xn=0时,设矩阵A各列形成的向量组为1、2
n,
所以X11X22Xnn0,而Xl=X2==Xn=0,则1、2、、n
线性无关,因此矩阵A可逆。
②当bi0时,即方程组为非齐次线性方程组时,方程组有唯一解时,矩
阵A可逆。
证b1、b2、、bn
x11x22xnn
因为网0,则XiX2、Xn由唯一确定。
(九)标准型判别法
任一sxn阶方阵A都与形为Er0nr的矩阵等价,此矩阵称为矩
0sr0sr
A的标准型,且r=r(A),E为单位矩阵,0为零矩阵。
即若n阶方阵A可逆,则可化为标准型Eo
(十)多项式判别法
n矩阵A可逆,则有多项式?
?
?
,满足?
=0,常数项不为零。
证?
()=n-(aii+&
2+••…+ann)n-1+••…+(-1)网
|A|0,则(-i)|A|0,常数项不为零。
反之也成立。
(十一)特征值判别法
n阶矩阵A可逆,则矩阵A的特征值不全为零。
()=n-(a11+&
2+••…+ann)n-1+••…+(-1)网
则|A|=12r(rn),所以矩阵A可逆。
四、常见矩阵的可逆性
(一)单位矩阵可逆,EE=E。
a0
0a
(二)数量矩阵A=
(四)分块矩阵可逆。
(五)上三角与下三角矩阵可逆。
(六)正交矩阵可逆,且A1=A
(七)过度矩阵与度量矩阵均可逆
小结:
我们更快的解决此类问题,同时也让我们领略到了高等代数的魅力,解决方法是多样化的,探索解决问题的过程是美妙的。
矩阵的运用极其广泛,可逆矩阵就是其中的关键部分,不伦结果是怎样的,毫无疑问的是数学真的是一门很神奇的学科。
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