课题逻辑函数的公式化简和卡诺图化简Word下载.docx
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1(0?
1律A+1=1A?
0=0
2(自等律A+0=AA?
1=A
3(重叠律A+A=AA?
A=A
4(互补律A+A=1A?
A=0
5(交换律A+B=B+AA?
B=B?
A
6(结合律(A+B)+C=A+(B+C)(A?
B)?
C=A?
(B?
C)
7(分配律A(B+C)=A?
B+A?
CA+B?
C=(A+B)
(A+C)
8(吸收律A+AB=AA(A+B)=A
AB+A=A(A+B)(A+)=A
A+B=A+B(A+B)=AB
9(冗余定律AB+C+BC=AB+C
10(非非律=A
11(反演律=?
=+
反演律又称德?
摩根(DeMorgan)定理,在化简较复杂逻辑关
系时十分有用。
要判别两个含有相同逻辑变量的逻辑函数是否相等,只要分别列出这两个函数式的真值表,如果它们的真值表相同,则这两个逻辑函数相等。
上述公式可直接用真值表来证明。
二、逻辑代数的运算顺序
逻辑代数的运算顺序和普通代数一样:
1、先算逻辑乘,再算逻辑加,有括号时先算括号内。
2、逻辑式求反时可以不再加括号。
3、例如:
(A?
B+C)+(D?
E?
F)可写成AB+C+DEF
4、先或后与的运算式,或运算要加括号。
例如(A+B)?
(C+D)
不能写成A+B?
C+D
三、逻辑代数的运算规则
1(代入规则在任意一个逻辑等式中,若将等式两边所出现的同一变量都用另一个函数去置换,则等式仍然成立。
例如:
A+B=
,以C+D换等式中B可得:
A+(C+D)=(C+D)=仍成立。
2(反演规则对于任意一个逻辑函数式Y,若把式中所有的“?
”换成“+”,“+”换成“?
”;
0换成1,1换成0;
原变量换成反变量,反变量换成原变量,并保持原来的运算顺序,那么所得的结果就是。
Y=+B+D则=A?
(+C)?
就是它的反函数。
摩根定理是反演规则的一个特例。
3(对偶规则
(1)对于任意一个逻辑函数式Y,若把式中所有的“?
”换成“,”,“,”换成“?
换成,,,换成,;
并保持原来的运算顺序,那么所得的新函数Y’就是Y的对偶式。
Y,A,BC,D,则Y’,A(BC)?
D
(,)如果两个逻辑函数式Y和F相等,则它们的对偶式Y和F也一定相等。
A+AB=A+B,则它们的对偶式A(A+B)=AB一定成立。
四、公式法化简
1(逻辑函数最简式的标准
(1)与项最少,即表达式中“+”号最少。
(2)每个与项中的变量数最少,即表达式中“?
”号最少。
2(用逻辑代数法化简
(1)(利用公式AB+A=A将两乘积项合并成一项;
例1化简函数Y=ABC+ABC
解Y=ABC+ABC=AB(C+C)=AB
例2化简函数Y=ABC+AB+AC
解Y=ABC+A(B+C)=ABC+ABC=A
(2)(利用公式A+AB=A吸收多余的乘积项
例3化简函数Y=AB+ABCD(E+F)
解Y=AB+ABCD(E+F)=AB
(证明:
AB+ABCD(E+F)=AB[1+CD(E+F)]=AB?
1=AB)(3)(利用公式A+B=A+B消去多余因子
例4化简函数Y=AB+AC+BC
解Y=AB+AC+BC=AB+(A+B)C=AB+ABC=AB+C(4)(利用公式将函数式展开成与或式
例5Y=A(B+C)
解Y=A(B+C)=A+B+C=A+BC
例6Y=ABD+ABC
解Y=ABD+ABC=ABD?
ABC=(A+B+D)ABC=ABCD五、逻辑函数的卡诺图化简
美国工程师卡诺(Karnaugh)提出了一种描述逻辑函数的特殊方法-卡诺图法。
1、最小项的概念:
n个变量的逻辑函数中,包含全部变量的乘积项称为最小项。
nn变量逻辑函数的全部最小项共有2个。
以三变量的为例,n=3,
n最小项有2=8个。
3个变量A、B、C可组成8个最小项:
ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC
通常用符号m来表示最小项。
下标i的确定:
把最小项中的原变i
量记为1,反变量记为0,当变量顺序确定后,可以按顺序排列成一个二进制数,则与这个二进制数相对应的十进制数,就是这个最小项的下标i。
3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为:
m,ABC、m,ABC、m,ABC、m,ABC0123
m,ABC、m,ABC、m,ABC、m,ABC4567
2、逻辑函数最小项的表达式
任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和,这个表达式称为标准与或表达式,也称为最小项表达式
A,1和A(B+C),对于不是最小项表达式的与或表达式,可利用公式A,
AB,BC来配项展开成最小项表达式。
F,AB,AB,AB,C例7将下列逻辑函数转换成最小项表达式
解:
F,AB,AB,AB,C
AB,AB,AB,C,AB,(A,B)(A,B)C,AB,ABC,ABC
AB(C,C),ABC,ABC,ABC,ABC,ABC,ABC
=m+m+m+m=?
m(3,5,6,7)7635
3(表示最小项的卡诺图
(1)最小项的卡诺图
nn将n变量的2个最小项用2个小方格表示,并且使相邻最小项在
几何位置上也相邻且循环相邻,这样排列得到的方格图称为n变量最小项卡诺图,简称为变量卡诺图。
二变量、三变量、四变量的卡诺图如图1(a)、(b)、(C)所示。
图1变量卡诺图
注意:
卡诺图一般画成正方形或矩形,卡诺图中小方格数应为n2个;
变量取值的顺序按照一定规律排列。
(2)相邻最小项:
有逻辑相邻和几何相邻
逻辑相邻:
若两个最小项只有一个变量为互反变量,其余变量均相同,则这样的两个最小项为逻辑相邻,并把它们称为相邻最小项,简称相邻项。
例如三变量最小项ABC和AB,其中的C和为互反变量,其余变量AB都相同,故它们是相邻最小项。
显然两个相邻最小项相加可以合并为一项,消去互反变量,如。
几何相邻:
几何相邻的二种情况:
相接——紧挨着,如图7-28(b)、(c)中的m和m、m和m57812等;
相对——任意一行或一列的两头(即循环相邻性,也称滚转相
邻性)如图7-28(b)、(c)中的m和m、m和m、m和m等;
46810311
4(填写逻辑函数的卡诺图
上面讲的是空白卡诺图,任何逻辑函数都可以填到与之相对应的卡诺图中,称为逻辑函数的卡诺图。
对于确定的逻辑函数的卡诺图和真值表一样都是唯一的。
(1)由真值表填卡诺图
由于卡诺图与真值表一一对应,即真值表的某一行对应着卡诺图的某一个小方格。
因此如果真值表中的某一行函数值为“1”,卡诺图中对应的小方格填“1”;
如果真值表的某一行函数值为0”,卡诺图中对应的小方格填“0”。
即可以得到逻辑函数的卡诺图。
例8已知逻辑函数Y的真值表如图2所示,画出表示该函数的卡诺图
分析,从逻辑函数的真值表可见,其最小项m,m,m,m0367的Y函数值为1,根据最小项的对应编号,在小方格m、m、m、763m中填“1”,其余小方格中填“0”,直接填好卡诺图如下图所示0
图2图3
(2)由逻辑函数表达式填卡诺图
首先把逻辑函数表达式展开成最小项表达式,然后在每一个最小项对应的小方格内填“1”,其余的小方格内填“0”就可以得到该逻辑函数的卡诺图。
待熟练以后可以应用观察法填卡诺图(与由逻辑表达式填真值表的方法相同)。
例9已知逻辑函数,画出表示该函数的卡诺图。
在小方格m、m、m、m中填“1”,其余小方格中填“0”,仍然7630
可以得到如图3所示的卡诺图。
如果已知逻辑函数的卡诺图,也可以写出该函数的逻辑表达式。
其方法与由真值表写表达式的方法相同,即把逻辑函数值为“1”的那些小方格代表的最小项写出,然后“或”运算,就可以得到与之对应的逻辑表达式。
由于卡诺图与真值表一一对应,所以用卡诺图表示逻辑函数不仅具有用真值表表示逻辑函数的优点,而且还可以直接用来化简逻辑函数。
但是也有缺点:
变量多时使用起来麻烦,所以多于四变量时一般不用卡诺图表示。
5(利用卡诺图化简逻辑函数
化简的依据:
基本公式、常用公式。
因为卡诺图中最小项的排列符合相邻性规则,因此可以直接的在卡诺图上合并最小项。
因而达到化简逻辑函数的目的。
如果相邻的八个小方格同时为“1”,可以合并一个八格组,合并后可以消去三个取值互补的变量,留下的是取值不变的变量。
相邻
的情况举例如图4所示。
图4合并八格组
(,)画圈的原则是:
圈的个数要尽可能的少(因一个圈代表一个乘积项)
圈要尽可能的大(因圈越大可消去的变量越多,相应的乘积项就越简)。
每画一个圈至少包括一个新的“1”格,否则是多余的,所有的“1”都要被圈到。
(,)用卡诺图化简逻辑函数的步骤:
把给定的逻辑函数表达式填到卡诺图中
找出可以合并的最小项(画圈,一个圈代表一个乘积项)
写出合并后的乘积项,并写成“与,或”表达式
(,)化简逻辑函数时应该注意的问题:
n?
合并最小项的个数只能为2(n=0,1,2,3),即合并最小项的个数只能为:
1、2、4、8、16个。
(1)合并最小项的规则
如果相邻的两个小方格同时为“1”,可以合并一个两格组(用圈圈起来),合并后可以消去一个取值互补的变量,留下的是取值不变的变量。
逻辑相邻的情况举例如图5所示。
图5合并两格组
如果相邻的四个小方格同时为“1”,可以合并一个四格组,合并后可以消去二个取值互补的变量,留下的是取值不变的变量。
逻辑相邻的情况举例如图6所示。
图6合并四格组
如果卡诺图中填满了“1”则Y=1
函数值为“1”的格可以重复使用,但是每一个圈中至少有一个“1”未被其它的圈使用过,否则得出的不是最简单的表达式。
例10用卡诺图化简逻辑函数
首先画出逻辑函数Y的卡诺图,如图7所示。
由图7可以看出,可以合并一个四格组和一个二格组,合并后为Y=A+BC
图7例10卡诺图
课堂小结:
1、用公式法化简逻辑函数成最简式.
2、用卡诺图化简逻辑函数的步骤:
(1)、把给定的逻辑函数表达式填到卡诺图中
(2)、找出可以合并的最小项(画圈,一个圈代表一个乘积项)
(3)、写出合并后的乘积项,并写成“与,或”表达式
作业
参考书2:
P(154.习题15
P.155自测题5
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- 关 键 词:
- 课题 逻辑 函数 公式化 卡诺 图化简